概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)課件(第六章)詳解

1、第六章 統(tǒng)計量及其抽樣分布6.1 引言6.2 總體和樣本6.3 統(tǒng)計量及其分布6.1引 言 在我們的現(xiàn)實生活中，許多問題的不確定現(xiàn)象都是由隨機因素的影響所造成的 通常情況下，需要經(jīng)過對實際中大量數(shù)據(jù)的處理或理論分析，可以確定這些隨機因素所要服從的概率分布，根據(jù)其概率分布規(guī)律利用一些統(tǒng)計方法可對所研究的問題做出估計、推斷和預(yù)測 具體地講，數(shù)理統(tǒng)計方法是研究從一定總體中隨機抽取一部分（稱為樣本）的性質(zhì)，來推斷和預(yù)測總體的性質(zhì)的一類有效方法概率論與數(shù)理統(tǒng)計之間的關(guān)系：數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題做出推測和預(yù)測，直至采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建

2、議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。統(tǒng)計方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這這樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是概率論的一種應(yīng)用. 但是它們是兩個并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系前面講的知識都屬于概率論的范疇，在那里，隨機變量及其概率分布全面描述了隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。在概率論的許多問題中，概率分布通常被假定為已知的，而一切的計算推理均基于這個已知的分布進(jìn)行。例如，已知隨機變量 求其數(shù)學(xué)期望和方差這里的參數(shù)我們是假定已知的，在實際問題中事先 并不知道，需要我們自己去加以判定。再來看一個例子： 某公司要采購一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品要么是

3、正品，要么是次品。若設(shè)這批產(chǎn)品的次品率為p(一般是未知的),則從該批產(chǎn)品中隨機抽取一件，用X表示抽到的次品數(shù)，不難看出X服從0-1分布。當(dāng)分布中的參數(shù)p是不知道的。而p的大小決定了該批產(chǎn)品的質(zhì)量，它直接影響采購行為的經(jīng)濟效益，因此人們對p提出一些問題，例如，“p的大小是多少？”，“p大概落在什么范圍內(nèi)” 從這個例子中我們可以看出，在概率論中研究的隨機變量，它們的分布往往假定為已知的。但在實際問題中，我們所考察的隨機現(xiàn)象雖然可以用某個隨機變量X去描述它們，但隨機變量X的概率分布往往是未知的，這就需要我們用數(shù)理統(tǒng)計的方法來解決此類實際問題。一、總體與個體總體：研究對象的全體。如一批燈泡。個體：組成

4、總體的每個元素。如某個燈泡。注：對多數(shù)實際問題，總體中的個體是一些實在的人或物。比如，我們要研究某大學(xué)的學(xué)生身高情況，則該大學(xué)的全體學(xué)生構(gòu)成問題的總體，而每個學(xué)生即是一個個體。 事實上，每個學(xué)生都有許多特征：性別、年齡、身高、體重等等，而在該問題中，我們關(guān)心的只是該校學(xué)生的身高如何，對其他的特征不予考慮。這樣，每個學(xué)生（個體）所具有的數(shù)量指標(biāo)值身高就是個體，而將所有的身高全體看成總體。 6.2 總體和樣本 這樣一來，若拋開實際背景，總體就是一堆數(shù)，這堆數(shù)中有大有小，有的出現(xiàn)機會多，有的出現(xiàn)機會少，因此用一個概率分布去描述和歸納是恰當(dāng)?shù)?從這個意義上看，總體就是一個分布，而其數(shù)量指標(biāo)就是服從這個

5、分布的隨機變量，以后說“從總體中抽樣”與“從某分布中抽樣”是同一個意思。例1：考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，將其產(chǎn)品只分為合格品與不合格品，并以0記合格品，以1記不合格品，則總體=該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品=由0或1組成的一堆數(shù) 設(shè)P表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個二點分布表示XP011-PP不同的P反映了總體的差異。比如：兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品總體分布為：XP010.9830.017XP010.9150.085 顯然第一個工廠的產(chǎn)品質(zhì)量優(yōu)于第二個工廠，但是在實際中，分布中的不合格品率是未知的，如何對之進(jìn)行估計是統(tǒng)計學(xué)要研究的問題。二、樣本樣本：為了了解總體的分布，我們從總

6、體中隨機地抽取n個個體，記其指標(biāo)值為 , 則稱為總體的一個樣本，n稱為樣本容量，或簡稱樣本量，樣品：樣本中的個體例2：啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640g,由于隨機性，事實上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640g?，F(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機抽取10瓶測定其凈含量，得到如下結(jié)果：641 635 640 637 642 638 645 643 639 640這是一個容量為10的樣本的觀測值，對應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量。抽樣：從總體X中抽取有限個個體對總體進(jìn)行觀察的取值過程。 從總體中抽取樣本可以有不同的抽法，為了能由樣本對總體作出較可靠的推斷，就希望樣本能很好的代表總體。這就需要對抽

7、樣方法提出一些要求，最常用的是“簡單隨機抽樣”簡單隨機樣本：滿足以下兩個條件的隨機樣本(x1,x2,xn)稱為簡單隨機樣本。1. 樣本具有隨機性：每一個樣品Xi與總體X具有相同的分布（要求總體中每一個個體都有同等機會被選入樣本）2. 樣本具有獨立性：x1,x2,xn是相互獨立的隨機變量（即要求樣本中每一個樣品的取值不影響其他樣品的取值）說明：后面提到的樣本均指簡單隨機樣本，由概率論知，若總體X具有密度函數(shù)f(x)，則樣本（x1,x2,xn）具有聯(lián)合密度函數(shù)：例3：設(shè)某種電燈泡的壽命X服從指數(shù)分布E(),其概率密度為則來自這一總體的簡單隨機樣本 的聯(lián)合概率密度為例4：考慮電話交換臺一小時內(nèi)的呼喚

8、次數(shù)X,求來自這一總體的簡單隨機樣本 的樣本分布。解：由概率論知識，X服從泊松分布P(),其分布律為則來自這一總體的簡單隨機樣本 的聯(lián)合分布律為6.3 統(tǒng)計量及其分布 樣本來自總體，樣本觀測值中含有總體的各種信息，但這些信息較為分散，有時顯得雜亂無章。為將這些分散在樣本中的有關(guān)總體的信息集中起來以反映總體的各種特征，需要對樣本進(jìn)行加工，其中最常用的一種方法就是構(gòu)造關(guān)于樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。定義：設(shè) 為取自總體的樣本，若關(guān)于樣本的函數(shù) 中不含有任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。例如：若x1,x2,xn為樣本，則 都是統(tǒng)計量；而當(dāng) 未知時，都不是統(tǒng)計量。一

9、些常用的統(tǒng)計量一些常用的統(tǒng)計量例如：某單位收集到20名青年人某月的娛樂支出費用數(shù)據(jù)79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4正態(tài)分布),(2smN密度函數(shù)：222)(21)(smsp-=xexp分布函數(shù)：dyexFyx222)(21)(smsp-=其中m為均值，2s為方差，+-x.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：N（0，1）密度函數(shù)2221)(xex-=pjdyexyx2221)(-=Fp， 分布函數(shù) 幾個在統(tǒng)計中常用

10、的概率分布 有許多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布總體的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有著廣泛的應(yīng)用。這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，它們被稱為統(tǒng)計中的“三大抽樣分布”注：分位數(shù)的值可以人表中查到。注：分位數(shù)的值可以人表中查到。F分布F（10，50）的密度函數(shù)曲線注：分位數(shù)的值可以人表中查到。本章小結(jié)1. 總體、個體、簡單隨機樣本2. 統(tǒng)計量及其常用分布3. 分布、t分布、F分布4. 正態(tài)總體的抽樣分布總體、個體、簡單隨機樣本的概念，要求：識記考核的知識點1. 總體與樣本2. 統(tǒng)計量2.1 統(tǒng)計量的概念，要求：識記2.2 樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本矩的概念，要求：識記3. 幾種統(tǒng)計量的分別3.1 分布、t分