曲線凹凸性和漸近線

1、關(guān)于曲線的凹凸性和漸近線第一張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月一、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義1*:第五張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月對于曲線的彎曲方向，我們換一個角度來看曲線上任一點的切線位于曲線的上方曲線上任一點的切

2、線位于曲線的下方機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 我們可以證明：定義1和定義2是等價的。第八張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1（凹凸性的充分條件）：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明1：用定義1證第十張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動

3、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由定義2，(1)成立。同理可以證明(2)。證明2：用定義2證第十二張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月推論：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十三張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：解：注意到,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十四張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例2解：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1)(2)第十五張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月二、曲線的拐點1、定義注意: 拐點處的切線必在拐點處穿過曲線。2、拐點的求法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十六張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月證機動

4、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十七張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例3：解凹的凸的凹的拐點拐點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十八張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月注意:例4：解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十九張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求函數(shù) f (x) 的拐點的步驟：注意：例第二十張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月定理4證明：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十一張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例5：解：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十二張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于20

5、22年6月三、漸近線定義:1.鉛直漸近線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十三張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例如有鉛直漸近線兩條:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十四張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十五張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月3.斜漸近線斜漸近線求法:顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十六張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：由漸近線的定義，有要使此時成立，必須機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十七張，PPT共

6、五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月注意:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十八張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例6解第二十九張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例7： 確定常數(shù) a , b , 使解:由條件知，第三十一張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月四、函數(shù)作圖利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 步驟：第三十二張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第五步第四步 求曲線的漸近線；第七步第六步 作圖。機動

7、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十三張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例8解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十四張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十五張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月作圖機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十六張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十七張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例9解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點與拐點

8、:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)沒有漸近線。第三十八張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月拐點極大值極小值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十九張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四十張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月1、凹凸性的定義：兩種定義； 用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，由二階導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)在各個區(qū)間的凹凸性，再由凹凸性的改變判別拐點;2、凹凸性的判別和拐點的求法：3、漸近線的求法：水平漸近線和斜漸近線；機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、小結(jié)4、函數(shù)作圖。第四十一張

9、，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月作業(yè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習(xí)題3-4(P188) 1(3)(6)；2(2)；3；5； 7(2)(6)；8；11(2) ；12 第四十二張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月解：例機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)第四十三張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月解：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四十四張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 ; .的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及 ;第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 曲線第四十五張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月4. 曲線(A) 沒有漸近線；(B)

10、 僅有水平漸近線；(C) 僅有鉛直漸近線；(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四十六張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月5. 求證曲線 有位于一直線的三個拐點.證明：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四十七張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四十八張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月6、解偶函數(shù), 圖形關(guān)于y 軸對稱.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四十九張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五十張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五十一張，PPT共五十四頁，創(chuàng)作于2022年6月備用題 求笛卡兒葉形線的漸近線 . 解: 令 y = t x ,代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :因所以笛卡兒葉形線有斜漸近線機