化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法解讀

1、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法二次型及其矩陣表示在解析幾何中，我們看到，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與中心重合時(shí)，一個(gè)有心二次曲線的一般方程ax2+2bxy+cy2=f.1）為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕侨?，作轉(zhuǎn)軸（反時(shí)針方向轉(zhuǎn)軸）x=xcos9-ysin9y=xsin9+ycos92）把方程（1）化成標(biāo)準(zhǔn)方程。在二次曲面的研究中也有類似的情況。（1）的左端是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式。從代數(shù)的觀點(diǎn)看，所謂化標(biāo)準(zhǔn)方程就是用變量的線性替換（2）化簡一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，使它只含平方項(xiàng)。二次齊次多項(xiàng)式不但在幾何中出現(xiàn)，而且數(shù)學(xué)的其他分支以及物理、力學(xué)中也常會碰到。現(xiàn)在就來介紹它的一些最基本的性質(zhì)。設(shè)P是一數(shù)

2、域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域P上的x1,x2,.,xn的二次齊次多項(xiàng)式f(x,xx)=ax2+2axx+.+2axx+ax2+.+2axx+.+ax212n11112121n1n2222n2nnnn稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型，或者在不致引起混淆時(shí)簡稱二次型。設(shè)x,xx；y,y,.,y是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系式12n12nx=cy+cy+cy11111221nnx=cy+cy+.cy22112222nnx=cy+cy+.cy33113223nnx=cy+cy+.cynn12n22nnn稱為由x,x,.,x到y(tǒng),y,.,y的一個(gè)線性替換,。如果c.豐0，那么線性替換（4）就12n12nij稱為

3、非退化的。在討論二次型時(shí)，矩陣是一個(gè)有力的工具，因此把二次型與線性替換用矩陣來表示。另a=a，ij.由于xx=xx，所以ijjiijjif（x,x,x）=ax2+2axx+.+2axx+ax2+.+2axx+.+ax212n11112121n1n2222n2nnnnnn=乙乙axxijiji=1j=1它的系數(shù)排成一個(gè)n*n矩陣TOC o 1-5 h z廠aaa1112InaaaA二21222nIaaa丿*n1n2.nm/它就稱為二次型的矩陣。顯然它是對稱矩陣。IXn于是二次型可寫成f(x,x,.,x)=XAX2n非退化線性替換可以表示成X=CY三、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法之一：配方法定理：數(shù)域P

4、上任意二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和的形式，即標(biāo)準(zhǔn)形。證明：下面的證明實(shí)際就是一個(gè)具體的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。我們對變量的個(gè)數(shù)做數(shù)學(xué)歸納法。對于n=1，而二次型就是f(x)=aX2已經(jīng)是平方和的形式了?，F(xiàn)假定對n-1元二次1111型，定理的結(jié)論成立。再假設(shè)f(x,x,.,x)axx(a=a)12nijijijjii=1j=1分三種情況來討論：1)a(i=l，2，n)中是少有一個(gè)不為零，例如a豐0。這時(shí)ii11f(x,x,.,x)=ax211112+工axx+axx+axx1j1ji1i1ijijj=2i=2i=2j=2=ax211x+a-1ax:2-a-1：a

5、x1111jj111jj12j=2j=2=a11+2naxx+nnaxx1j1jijijj=2i=2j=2i=2j=2axxijij這里=a112+nnbxxijijx+工a-1ax1111jj丿j=2i=2j=2nnbxx=-a-1ijij11i=2j=2rnIj=2ax1jj丿i=2j=2axxijij是一個(gè)X2，-，Xn的二次型。令y=x+工a-iax1111j=2y=x221jjx=y-工a-iax11111jj=2x=y22y=xnnx=ynn這是一個(gè)非退化線性替換，它使f(x1,x2,.,x)=ay2+niiii=2j=2bxx。ijij有歸納法假定，對yybyy有非退化線性替換i

6、jiji=2j=2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 z=cy+cy+.cy2222332nn HYPERLINK l bookmark108 z=cy+cy+.cyl),不是一般性，設(shè)a豐0。令iiiji2x=z+z112x=z-z1212它是非退化線性替換，且使f(x,x，,X)=2axx+.i2ni2i2x=znn=2a(z+z)(z-z)+.=2az-2az+.i2i2i2i2ii22這時(shí)上式右端是Z,z,.,z的二次型，且Z2的系數(shù)不為0,屬于第一種情況，定理成立。i2ni3)a=a=.a=0由于對稱性，有a=a=.a=0iii2in2i222n

7、這時(shí)f(x,x，,x)=yyaxx是n-1元二次型。根據(jù)歸納假設(shè)，它能用非退化線性替i2nijiji=2j=2換變成平方和。這樣就完成了定理得證明。說明：雖然配方法是基礎(chǔ)方法，但在應(yīng)用化簡二次型時(shí)比較麻煩。配方法需要通過觀察來配方，對初學(xué)者來講，具有一定的盲目性。四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法之二：合同變換法（初等變換法）由上述配方法即得：定理在數(shù)域P上，任意一個(gè)對稱矩陣都合同于以對角矩陣。即對于任意一個(gè)對稱矩陣A,都可以找到一個(gè)可逆矩陣C使CtAC成對角形。即任意對稱矩陣都可用同樣類型的初等行變換和初等列變換化成與之合同的對角矩陣典型例題：用合同變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出非退化的線性替換。f(

8、x,x,x)=x2+2x2一x2+2xx一2xx1231231213f11J解：f(x,x,x)的矩陣為A=120123I-10T丿f11-1f11-11202丨1*(1)011-10-1,-10-1,以下為合同變換過程：一f12+1*(-1)311*(1)f10-1f100f100011丿丿0113丨2*(1)_011丿丿?3+1*(1)3+2*(-1)01-2丿,101-2/100-3丿,f1-101-11f1-11010丿丿010丿丿010丿丿001丿,001丿,J001丿,f1-12、01-1001丿1001-12因此D=010,C=01-1、00一3001丿令X=CY,得f（x,x,

9、x）=y2+y2-3y2123123五、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法之三：正交變換法（實(shí)二次型）利用歐式空間的理論,我們得到這樣的結(jié)論：對于任意一個(gè)n級是對稱矩陣A,都存在一個(gè)n級是正交矩陣T,使TTAT=T-1AT成對角形。定理任意一個(gè)實(shí)二次型f(x,x,.,x)二班11axx(a=a)12nijijijjii=1j=i都可經(jīng)過正交的線性替換變成平方和f(x,x，,X)=dZ2+dZ2+.dZ212n2233nn其中平方項(xiàng)系數(shù)d,d，,d就使矩陣A的特征多形式全部的根。12n因此只要求出特征根,二次型標(biāo)準(zhǔn)形也就求出來了。正交變換更具實(shí)用性。如：典型例題：作直角變換,把下述二次曲面方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,并

10、指出它是什么二次曲面？x2+2y2+3z2一4xy一4yz=11一20、九-120它的矩陣A=-22-2卜E-A|=2九-220一23丿02九一3解：此方程左端的二項(xiàng)式部分為：f（x,y,Z）下把它正交替換成標(biāo)準(zhǔn)型：=（九一2）（九一5）（九+1）,A的全部特征值是2，5,-1.對于特征值2,求出（2E-A）X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系:=x2+2y2+3z2一4xy一4yz2、3，把a(bǔ)1單位化，得耳-1323；對于特征值5,求出（5E-A）X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系:單位化，得耳2213一2一323丿；對于特征值-1，求出（-E-A）X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系:a3=2，把3單位化得耳3=U丿3231令T=23

11、23(200則T是正交矩陣，且T-1AT=051、000丿33(X(、X*令y=Ty*)f(:,nn)丿。反之亦然。在固定的基1，2,，n下，二次型xtAx和對稱雙線性函數(shù)f(Q,B)=XTAy是互相唯一確定的(都是由A確定的)。這種方法的中心問題是：對在V的基1，2,n下游二次型XTAX確定的對稱雙線性函數(shù)f(a,B)=XTAy，滿足條件f(n，耳)=0，對iHj(i，j=12,n)ij我們知道，設(shè)n，n是v的另一組基，而b=(b)=(f(nn)是fd,B)TOC o 1-5 h z1nijnxni,j關(guān)于這個(gè)基的矩陣，又設(shè)C=(c)是由基,，到基耳，耳的過渡矩陣，即ijnxn12n1nn=

12、才c,i=1,niijjj=1那么B=CTAC，(1)即一個(gè)雙線性函數(shù)關(guān)于V的兩個(gè)基的兩個(gè)矩陣式合同的。由于任一對稱矩陣必能合同于對角矩陣。設(shè)可逆矩陣C使CtAC成對角陣,(b0)11B=,(2)0.bn丿nn再設(shè)c是基s，,到基n，,n的過渡矩陣，由（1）式知，f（a,B）關(guān)于基耳，,n的2n1n1n矩陣是對角矩陣（2）式，即f（n，n）=0，對i豐j（i,j=1,2,.,n）ij這表明，對于每一個(gè)對稱雙線性函數(shù)f（a,B）,都存在一個(gè)適當(dāng)?shù)幕鵱，,n，使它可以寫1n成如下形式f（a,B）=ZTBu=bzu+bzu+.+bzu,11112222nnnn其中a二工zn,卩二工un，從而它所確定

13、的二次型ztBz可以寫成標(biāo)準(zhǔn)形iiiii=1i=1zTBz=bZ2+bZ2+.+bZ2111222nnn且二次型xtAx化為ztBz所作的非退化線性替換為x=Cz，其中c是由基,.,到基n，,n的過渡矩陣，它使Ctac=b。12n1n于是，化二次型xtAx為標(biāo)準(zhǔn)形的問題就可以歸結(jié)為上述關(guān)于對稱雙線性函數(shù)的“中心問題”，為此，需要尋找滿足條件得V的一個(gè)基q，,nn。在Rn中，從一個(gè)基1，2,n出發(fā)，利用施密特正交化方法，可以構(gòu)造一個(gè)與之等價(jià)的正交基叫，,nn。該方法的實(shí)質(zhì)就是設(shè)n=c,1111n=c+c,V2121222nnn,n=c+c+.+cn1n12n2i豐j，i，j=1，2-，n）的系數(shù)

14、竊然后用待定系數(shù)法求使得G,n)=o(其中ij為此我們先解決下問題：1）設(shè)V是數(shù)域P上一個(gè)n維線性空間,f（a,B）=xTAy使v上對稱雙線性函數(shù)，其中B二工y,iii=1,，是V的一組基，a=工X,12niii=1x=(x,.,x)T,y=(y,.,y)T,1n1nA是n階對稱矩陣，那么從基1，2，,叩出發(fā)，是否能構(gòu)造如下形式的基n1，,nn：n=csi11in=c8+c8,V2121222n=C8+C8+.+C8n1n12n2nnn,使得f(n，n)=0,對i工j(i,j=l,2,.,n)ij解：將nj=/+C2j82+Cjj8j代入f(ni,nj)得f(n,n)=f(nn=c8+c8+.

15、+c8)iji,j1j12j2jjj=cf(n8)+cf(n8)+.+cf(n8),1ji,12ji,2jji,j所以，若對任意的i及ji有f（n8）=0,則對ji,有f(nn)=f(nn)=0，i,jj,i即n,.,n是所求的基。于是，問題歸結(jié)為求待定系數(shù)c,c，,c,i=1,2,.,n,使向量1n1i2iiin=c8+c8+.+c8i1i12i2iii(3)滿足條件f(n8)=f(8n)=0，j=1,2,.,i-1i,jj,i(4)顯然，若n滿足f（n8）=0，則n的數(shù)量倍cn也滿足ii,jiif(cn,8)=0，ij故為了確定n，i我們再要求n滿足條件if(n,8)=f(8n)=1。(5

16、)iii,i這樣，n可以利用條件（4）（5）唯一確定了，將（3）式代入（4）和（5）,得到關(guān)于c的iji線性方程組cf(88)+cf(88)+.+cf(88)=01i1,12i1,2ii1,icf(88)+cf(88)+.+cf(88)=01i2,12i2,2ii2,iV.(6)cf(88)+cf(88)+.+cf(88)=01ii-1,12ii-1,2iii-1,icf(88)+cf(88)+.+cf(88)=11ii,12ii,2iii,i這方程組的系數(shù)行列式為(f(Sii)jf(Vi1)因此，當(dāng)A豐0時(shí),方程組（G由唯一解，從而可求得向量耳。于是，當(dāng)A=（a）=（f（8,8）iiijnx

17、niiaaa11121naaaaaA=1112A=21222n2aan2122aaa-n1n2.nm的順序主子式A嚴(yán)11都不等于0時(shí)，可以由方程組（6）求出向量耳，i=1，2,.i2）由1）可知，在A豐0，i=1，2,in的情形下，由方程組（6）可求出上三角矩陣C=(c)=ijnxn110c1ncnn從而由（3）式求得U，i=1，2，.，n，它們滿足ib=f(UU)=0,對i豐j,i,j=l,2,.,nTOC o 1-5 h ziji,j使得雙線性函數(shù)f(a,B)關(guān)于基U，,U的矩陣為1n(b0)11B=CTAC=,j0b丿nn是對角矩陣，由此可見，二次型xtAx可經(jīng)非退化線性替換x=Cz,化

18、成標(biāo)準(zhǔn)形zTBz=bz2+bz2+.+bz2111222nnn其中x=(X1，,Xn)T,z=(z1,亠幾TOC o 1-5 h zF面計(jì)算b=f(UU)i=1,2,n,由(3)(4)(5)可得iii,ib=f(UU)=f(Uc8+c8+.+c8)iii,ii,1i12i2iii=c=f（U8）iii,i再由克拉默法則，由方程組（6）可解得cii=才（其中令A(yù)=l）i因此，綜上所述，我們可得以下結(jié)論：設(shè)二次型血naxx（其中a=a）中，順序主子式A,A，A都不等于零,1j1j1jj112ni=1j=i則該二次型必可化為下面的標(biāo)準(zhǔn)形：AAA0Z2+1Z2+.+n+Z2A1A2An12n其中A=1。0這個(gè)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法稱為雅可比方法。典型例題：用雅可比方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出非退化的線性替換。f(x,x,x)=2x2+x2+x2+3xx+4xx123