韋達(dá)定理聯(lián)立及弦長(zhǎng)問題

1、 10/10韋達(dá)定理聯(lián)立及弦長(zhǎng)問題聯(lián)立與韋達(dá)定理韋達(dá)定理是建立參數(shù)關(guān)系的重要紐帶，對(duì)于絕大多數(shù)圓錐曲線問題，聯(lián)立都是必不可少的而在解析幾何大題中，橢圓占比最大，還有部分拋物線，至于雙曲線，不管在高考還是其他考試中，基本以小題為主，少有大題由于拋物線形式較為簡(jiǎn)單，聯(lián)立計(jì)算也更加輕松，優(yōu)化計(jì)算的技巧在直線假設(shè)部分已有說明，不再贅述對(duì)于直線與曲線的聯(lián)立和韋達(dá)定理，我們還是以橢圓為主那么一般的橢圓和直線聯(lián)立后是什么情形呢？強(qiáng)烈建議熟記以下內(nèi)容，這將大大提升圓錐曲線解題速度以及降低計(jì)算失誤！先看正設(shè)直線的情形：聯(lián)立，消得： 判別式 韋達(dá)定理 此外 【注】此式為一般直線與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓聯(lián)立后的方程，需

2、要熟記，對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的，只需把對(duì)應(yīng)的看作即可判別式是一個(gè)易忽略的點(diǎn)，這里必須注意，凡是需要用到韋達(dá)定理的，聯(lián)立后一定要寫到判別式!但判別式的使用需要依題而議，一般有兩種情況：一是已知直線過橢圓內(nèi)部的點(diǎn)，那么此時(shí)直線與橢圓一定有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立后直接寫“由題，0”即可；二是直線不過橢圓內(nèi)部的點(diǎn)，那么若與橢圓要有兩個(gè)交點(diǎn)，則需令判別式為正，此外在一些范圍最值問題中，往往也會(huì)通過判別式建立k和m的關(guān)系，記住判別式的形式后，書面表達(dá)“令0，得1即可，因此判別式的形式也需要熟記；韋達(dá)定理其實(shí)無(wú)需特意去記，由通式，結(jié)合聯(lián)立后的方程即可得出； 在一些題型中，難免會(huì)出現(xiàn)含有縱坐標(biāo)的表達(dá)，此時(shí)便需要通過直線代

3、換，因此建議記憶記憶方式也不難，分母和韋達(dá)定理一樣(其實(shí)所有形式分母都是)，對(duì)于對(duì)照可知，只是分子將換成了(分母的一部分)；而對(duì)于在橢圓中，y是和b對(duì)應(yīng)的，因此對(duì)照可知，分子中括號(hào)外的換成了，括號(hào)內(nèi)的換成了(分母中的另一部分)兩根之差的絕對(duì)值相信大家還是不陌生，是弦長(zhǎng)表達(dá)的老伙計(jì)了，由于判別式已經(jīng)記住，因此根差記住形式即可再看反設(shè)直線的情形：聯(lián)立，消x得：，判別式，韋達(dá)定理，此外，上述內(nèi)容看似繁多，要記憶的內(nèi)容實(shí)則不多，重點(diǎn)是三個(gè)：聯(lián)立后的方程，判別式，根差由x推y的形式建議最好也能記住，其使用場(chǎng)景也頗多而對(duì)于反設(shè)直線消x的情形，不難發(fā)現(xiàn)，只是把a(bǔ)和b的位置互換，k換成t而已，類比之也很好記憶

4、其他形式感興趣的可自行推導(dǎo)記憶而對(duì)于直線和雙曲線聯(lián)立的情況，即，和橢圓基本也無(wú)差異，看作，也即將橢圓中的換作即可，但要注意，此時(shí)判別式，欲使0，則！這里還需要再說說直線和雙曲線的位置判斷設(shè)直線和雙曲線聯(lián)立后的方程為，當(dāng)A0時(shí)，則直線與漸近線平行或垂直，至多一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)A0時(shí)，則考慮判別式，當(dāng)A0，則有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0，則沒有交點(diǎn)此外若要與雙曲線的某一支有兩個(gè)交點(diǎn)，或和左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則再借助韋達(dá)定理加以限定弦長(zhǎng)問題前面說到根差，不得不說就是弦長(zhǎng)了，弦長(zhǎng)公式源于兩點(diǎn)距離公式：兩點(diǎn)距離公式任何時(shí)候都可以使用，而若知道A、B兩點(diǎn)所在直線的斜率，只需再知道它們橫坐標(biāo)或縱坐

5、標(biāo)差值即可求兩點(diǎn)距離對(duì)于這兩種情形，在后續(xù)的題型中都將出現(xiàn)，應(yīng)懂得靈活應(yīng)用當(dāng)A、B兩點(diǎn)都在曲線上時(shí)，通常稱為弦長(zhǎng)公式，根據(jù)前面的根差形式，弦長(zhǎng)即可表達(dá)為：若是反設(shè)直線，則：特別地，在拋物線中，若直線AB過焦點(diǎn)F，根據(jù)拋物線定義，有因此拋物線中過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交所得的弦長(zhǎng)焦點(diǎn)在y軸上的情況同理此外在圓中，弦長(zhǎng)一般用垂徑定理加勾股定理求，若圓的半徑為r，圓心到弦的距離為d，則弦長(zhǎng)的應(yīng)用在圓錐曲線中頗多，除了常見的直接和弦長(zhǎng)相關(guān)的問題外，面積問題等也是弦長(zhǎng)頻 繁出沒的地方 下面先說橢圓和拋物線中的弦長(zhǎng)問題，看具體應(yīng)用： 例題1 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，橢圓，過點(diǎn)F的直線l與交于A，B兩點(diǎn)，與相交

6、于C，D兩點(diǎn)，且與同向，若，求直線l的斜率 分析 根據(jù)題意，作出如下示意圖：因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C，D均為直線與曲線交點(diǎn)，變化主體是線，故采用設(shè)點(diǎn)、設(shè)線結(jié)合因此設(shè)而直線過焦點(diǎn)F(0，1)，且斜率一定存在，也可以水平，反設(shè)直線則需要討論，因此優(yōu)先考慮正設(shè)直線當(dāng)然，直線的最終形式還是要看核心條件的翻譯乍一看，若直接用坐標(biāo)表示將變成，由于聯(lián)立后的韋達(dá)定理為一組，為一組，若直接坐標(biāo)翻譯，處理起來相當(dāng)麻煩，結(jié)合圖象不難發(fā)現(xiàn)，即為拋物線中的弦長(zhǎng)，即為橢圓中的弦長(zhǎng)，這樣，轉(zhuǎn)化為的弦長(zhǎng)形式翻譯就輕松不少核心條件的翻譯確認(rèn)后，再看直線假設(shè)，這里應(yīng)該選擇正設(shè)，即設(shè)l：ykx1，此時(shí)只引入一個(gè)參數(shù)k，根據(jù)核心條件的關(guān)系，

7、即可解出k的值，得到目標(biāo)信息接下來分別表示出弦長(zhǎng)和：對(duì)于拋物線中的弦長(zhǎng)，聯(lián)立，由于正設(shè)直線，這里消y更優(yōu)，即得，顯然0，因此，又直線過焦點(diǎn)，所以弦長(zhǎng)可表示為再用直線代換即可，|AB|當(dāng)然也可以消x，但形式要稍微復(fù)雜，此時(shí)聯(lián)立可得，同樣0，則因此可得弦長(zhǎng)；對(duì)于橢圓中的弦長(zhǎng)，可用弦長(zhǎng)公式但要注意，由于此時(shí)焦點(diǎn)在y上，因此這時(shí)公式中的看作是8，看作是9，可得，書寫時(shí)，我們寫如上步驟即可再由，即，整理即得解得(舍)，或此外，因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C，D共線，且，那么出現(xiàn)兩根之差，顯然可以配湊為(再聯(lián)立，代入韋達(dá)求解亦可解析由題，直線l過點(diǎn)F(0，1)且斜率存在，故設(shè)其方程為ykx1，設(shè)點(diǎn)因?yàn)榕c同向，且|AC|

8、BD|，故聯(lián)立整理得易知0，故所以聯(lián)立，整理得，易知0，故，所以，由|AB|CD|，即，整理即得，解得(舍)，或，直線l的斜率為前面講解的是橢圓和拋物線的弦長(zhǎng)，上例也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用下面我們?cè)僦v一例和雙曲 線相關(guān)的聯(lián)立問題雖然近些年全國(guó)卷的圓錐曲線大題中，雙曲線基本沒有出現(xiàn)，但這并不代表不 會(huì)考查，隨著新課改新高考的推進(jìn)，勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)變動(dòng)，扎實(shí)基礎(chǔ)將顯得更為關(guān)鍵 【例題2】已知橢圓，雙曲線，若直線與C1交于，兩點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍 分析 此處核心條件為，設(shè)點(diǎn)后坐標(biāo)化即可同樣地，目標(biāo)信息是橢圓中的弦長(zhǎng)，聯(lián)立后使用弦長(zhǎng)公式即可得出下面考慮引參，此處變化主體為直線，由于直線要與雙曲線

9、和橢圓均有兩個(gè)交點(diǎn)，那么斜率必然要存在，同時(shí)聯(lián)立后要滿足兩個(gè)判別式均為正，這就是我們所說的隱性條件和關(guān)系既然直線斜率存在，而目標(biāo)信息使用x或y并無(wú)差異，那么就正設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)先聯(lián)立消y得，這里就要注意隱性條件了，由于l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則也即，則由韋達(dá)定理得而核心條件，顯然用直線代換，當(dāng)然，如果記形式，可直接代入，故代入韋達(dá)定理，則有，整理即可得再聯(lián)立，消y得，同樣地，要令判別式0，即，結(jié)合式，則有，解得而此時(shí)由弦長(zhǎng)公式得此式是關(guān)于齊次式，因此對(duì)分母換元處理，令，則，因?yàn)椋虼?，所以，而，則關(guān)于的二次函數(shù)此時(shí)單調(diào)遞減，因此. 解析 由題，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，消

10、y得，令0，即，且，則，故，代入整理得，即聯(lián)立消y得，令0，即，所以又解得令，則，所以因此的取值范圍為. 【練習(xí)1】已知橢圓，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若，試用m表示k 解析 設(shè)EQ Abbc(l(xSDO(1),ySDO(1),Bbbc(l(xSDO(2),ySDO(2),聯(lián)立 EQ Blc(aal(ykxm,F(xSUP6(2),8) F(ySUP6(2),4)1)，得EQ bbc(l(2kSUP6(2)1)xSUP6(2)4kmx2mSUP6(2)80，令0，即4+8k0，所以EQ xSDO(1)xSDO(2)EQ F(4km,2kSUP6(2)1),xSDO(1)xSDO(2)EQ

11、 F(2mSUP6(2)8,2kSUP6(2)1)因?yàn)閨AB|4|，所以EQ R(,1kSUP6(2)|xSDO(1)xSDO(2)|EQ R(,1kSUP6(2)R(,bbc(l(xSDO(1)xSDO(2)SUP6(2)4xSDO(1)xSDO(2)4，所以EQ R(,1kSUP6(2)R(,F(16kSUP6(2)mSUP6(2),bbc(l(2kSUP6(2)1)SUP6(2)4 F(2mSUP6(2)8,2kSUP6(2)1)4，整理得EQ kSUP6(2)bbc(l(4mSUP6(2)EQ mSUP6(2)2,顯然EQ mSUP6(2)4，所以又k0,故【練習(xí)2】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于C、D兩點(diǎn)，且滿足直線的方程 解析 由題意可得以EQ FSDO(1)FSDO(2)為直徑的圓的方程為EQ xSUP6(2)ySUP6(2)1圓心到直線l的距離dEQ F(2|m|,R(,5),由d1，可得EQ |m| F(R(,5),2)|CD|EQ 2 R(,1dSUP6(2)EQ 2 R(,1 F(4mSUP6(2),5)EQ F(2,R(,5)R(,54mSUP6(2)設(shè)EQ Abbc(l(xSDO(1),ySDO(1),Bbbc(l(xSDO(2),ySDO(2)聯(lián)立 EQ Blc(aal(y