正弦余弦函數(shù)定義

1、關(guān)于正弦余弦函數(shù)的定義第一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 掌握任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義(重點)2.識記正弦、余弦函數(shù)每個象限的取值符號（重點）3.掌握正弦、余弦函數(shù)的計算與應(yīng)用(難點)第二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月在Rt三角形中，銳角正弦、余弦函數(shù)是如何定義？對邊鄰邊斜邊（一）回顧舊知OMP第三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月XYP（x,y）M（二）、探究1-任意角的正弦、余弦函數(shù)定義討論：sin 與cosr=1sin=cos=O縱坐標橫坐標單位圓= = y= x= 第四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月xyOP(x,y)A(1,0)xyO

2、P(x,y)A(1,0)xyOP(x,y)A(1,0)思考：終邊落在不同象限任意角sin、cos的值還是y,x值嗎？sin= =ycos= =x第五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一、任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義： 設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y)，那么：（1）y 叫做的正弦，記作sin， 即y=sin； （2）x 叫做的余弦，記作 cos，即x=cosOP(x,y)yxM第六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月探究2：正弦、余弦函數(shù)的取值符號 三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限+你有什么辦法記住這些信息？ 縱坐標橫坐標思考：當角的終邊分別在第一、第二

3、、第三、第四象限時，角的正弦、余弦函數(shù)的正負號是什么？第七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月練一練判斷下列各式的符號：（1）sin105.cos 230；（2）sina . cosa0,cos 2300 sin105.cos 2300 因為sina.cosa0,cosa0 或者sina 0 所以當sina0,cosa0，a 為第二象限角 當sina 0，a為第四象限角 第八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月探究3：入股已知角終邊上一點P（x,y）,而這個點不是終邊與單位圓的交點,它的三角函數(shù)定義還成立嗎?自由探討MQ(u,v)N解：取終邊OP與單位圓交于一點Q（u,v）,過Q點

4、作QNON; 得到 OPM OQN因此有：OQ=QN=yMPOPv=sin =y1同理可證：y=cos余弦函數(shù)也成立xyOP(x,y)第九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月新知應(yīng)用： 已知任意角 終邊上有一點P（5,-12），求角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.解 因為點P（5,-12） 在角的終邊上， 所以 y=5, x=-12 可知r= =13 則sin= cos=-12第十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月思考：如何利用正弦、余弦定義進行各種計算？1.找出與圓相交的點的坐標值P（x,y）2.算出原點與交點之間的距離r=3.利用正弦余弦定義代值計算： sin= cos= 4.得到

5、正弦、余弦函數(shù)yx第十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月變式題1-能力提升已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若點P（4,y）是角終邊上的一點，且sin = 則y= ( )A.-8 B.-4 C.+8 D.+ 4第十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月這一課你學(xué)到了什么？1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是如何定義的？2.正弦余弦函數(shù)的在象限里的取值符號如何？3.如何通過定義去應(yīng)用計算？課后作業(yè)：課本P17頁，練習(xí)2.3.4.5 要求：寫在課本上第十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例2：在直角坐標系的單位圓中，(1) 畫出角 (2) 求出角的終邊與單位圓的交點坐標；（

6、三）定義應(yīng)用 例24a=4a=解：（1）如圖所示，以原點為角的訂單，以x軸的正半軸為始邊，順時針旋轉(zhuǎn) ，與單位圓交于點P，a=MOP= ， 即為所求角。44第十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）設(shè)角a的終邊與單位圓交于點P(u,v)由于 ，點P的坐標在第四象限，則4a=u=cos( )=4v=sin( ) =422所以點P的坐標為（ ，- ）22第十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月變式題2：已知角a的終邊過點P（12,a）且tana=5/12,求sina+cosa的值。解析：根據(jù)三角函數(shù)定義， tan=a/12=5/12所以 =5, P(12,5) ,這時 r=13

7、所以 sina =5/13,cosa =12/13.從而 sina+cosa=17/13第十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月探究1-直角坐標系中的任意角呢？x(1,0)OP(u,v)yx如圖,在直角坐標系中，作出一個以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓（該圓稱為單位圓），設(shè)任意角為，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點P(u,v)。討論：任意角的sin 與cos函數(shù)值又是什么？M（二）、第十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月探究1-直角坐標系中的任意角呢？x(1,0)OP(u,v)yx如圖,在直角坐標系中，作出一個以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓（該圓稱為單位圓），設(shè)

8、任意角為，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點P(u,v)。討論：任意角的sin 與cos函數(shù)值又是什么？M（二）、第十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月x(1,0)OP(u,v)yMxxyOP(u,v)A(1,0)對于給定的角，點P的橫、縱坐標都是唯一確定的，所以，正弦、余弦函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標為函數(shù)值的函數(shù)。問題3：對于給定的角a,點P的橫、縱坐標都是唯一的，那么正、余函數(shù)又是一個什么函數(shù)呢？如果我們用x表示自變量，即x表示角的大小，用y表示函數(shù)值，則得到任意角的正弦函數(shù)y=sinx ;余弦函數(shù)y=cosx。 第十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6

9、月問題4： 上述定義中，正、余弦函數(shù)的定義域與值域在分別是什么？因為： x表示任意角的大小，所以定義域為：全體實數(shù)R； 而在單位圓中顯然y1,1，故值域為：1,1y=sinxy=cosx第二十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月得出結(jié)論： 正弦、余弦函數(shù)是以角度為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)的函數(shù)。又因為角的集合之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，故它們也看成以實數(shù)為自變量的函數(shù)。第二十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 在給定的單位圓中，對于任意角（正角、負角）的三角函數(shù)定義都成立，那么對于零角，它是否還成立？xyOP(u,v)A(1,0)問題討論：成立第二十二張，P

10、PT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)是一個任意的象限角，那么當在第一、二、三、四象限時，sin的取值符號分別如何？cos的取值符號分別如何？（三）第二十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月變式題1： 已知角 終邊上一點P 求角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.解 因為點P 在角的終邊上， 所以 可知 則sin= cos=第二十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月以原點O為圓心，以單位長度(r=1)為半徑的圓叫作單位圓x(1,0)OP(u,v)yMx當點P(u,v)就是 的終邊與單位圓的交點時,坐標系內(nèi)銳角三角函數(shù)會有什么結(jié)果？由三角形相似知識可知,比值 與點P(u,v) 在終邊上的

11、位置無關(guān),只與角 有關(guān).第二十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 三角函數(shù)都是以角為自變量,以單位圓上的點的坐標(比值)為函數(shù)值的函數(shù).函數(shù)定義域角(弧度數(shù)) 實數(shù)一一對應(yīng)三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)第二十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月從象限出發(fā)來記憶：（sin a,cos a）“一正正，二正負，三負負，四負正“記憶法則：課堂練習(xí)-鞏固提升1.判斷下列各式的符號：（1）sin 105.cos230（2）cos3.tan(-2/3 )(1) (2) 第二十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月010-1010-101 在直角坐標系的單位圓中，畫出下列各特殊角

12、，求各個角終邊與單位圓的交點坐標，并將各特殊角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值填入下表 觀察此表格中的數(shù)據(jù),你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=sinx和y=cosx的變化有什么特點嗎？（五）拓展延伸第二十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 觀察右圖，在單位圓中，由任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義不難得到:終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即 sin(x+2k) =sinx, k z 終邊相同的角的余弦值相等，即 cos(x+2k) =cosx, k z 第二十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 上述兩個等式說明：對于任意一個角x，每增加 2 的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變.所以，正弦函數(shù)值、余弦

13、函數(shù)值均是隨角的變化呈周期性變化的.我們把這種隨自變量的變化呈周期性變化的函數(shù)叫作周期函數(shù).第三十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱 2k(k z,k0)為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期. 例如，-4,-2,2,4等都是它們的周期.其中 2 是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個，稱為最小正周期.第三十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在非零常數(shù)T ，對定義域內(nèi)的任意一個x值，都有f(x+T)=f(x), 那么函數(shù)f(x)稱為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期.二、周期函數(shù)第三十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月判斷分析：若函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，且f(/4+/2)=f(/2),為什么/2不是它的周期？第三十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解析：根據(jù)周期函數(shù)的定義:對定義域內(nèi)的任意