概率論第概率公理化定義以及概率性質(zhì)

1、關(guān)于概率論第概率的公理化定義及概率的性質(zhì)第一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月發(fā)生的概率定義為如果樣本空間為有界區(qū)間、空間有界區(qū)域，則 “面積” 改為“長度”、“體積”幾何概型的定義設(shè)隨機試驗的樣本空間為有界區(qū)域 事件試驗結(jié)果落在區(qū)域 中的面積的面積稱為幾何概型注：事件 發(fā)生的概率與位置無關(guān),只與 的面積有關(guān)，這體現(xiàn)了某種“等可能性” 第二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 (約會問題) 兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去。試求這兩人能會面的概率。這是一個幾何概型，所求概率是 設(shè) 分別表示兩人達到的時間， 則兩人能會面的充要條件是解例第三張，PPT

2、共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 蒲豐投針問題 平面上畫有間隔為d 的等距平行線， 向平面任意投擲一枚長為l 的針， 求針與平行線相交的概率.第四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 以x表示針的中點與最近一條平行線的距離， 又以表示針與此直線間的交角. 易知樣本空間滿足： 0 x d/2; 0 . 形成x-平面上的一個矩形，其面積為：S = d( /2). 第五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 A = “針與平行線相交” 的充要條件是: x l sin ( /2). 針是任意投擲的，所以這個問題可用幾何方法 求解得第六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月由蒲豐投

3、針問題知：長為l 的針與平行線相交的概率為: 2l/d.而實際去做 N 次試驗，得 n 次針與平行線相交，則頻率為: n/N.用頻率代替概率得： 2lN/(dn).歷史上有一些實驗數(shù)據(jù). 的隨機模擬第七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(三)概率的基本性質(zhì) 性質(zhì)證因為概率為實數(shù),故性質(zhì)若 是兩兩不相容的事件,則證故由可列可加性，有有限可加性第八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)若 則證因 互不相容,故由有限可加性有再由概率非負性得事件解釋為區(qū)域概率解釋為區(qū)域面積事件與概率的圖示第九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)對任何事件 有(加法公式)對于三事件 有

4、挖挖挖補由定義第十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月挖補原理 多事件的加法公式對于 個事件，有全加減二加三挖補規(guī)律: 加奇減偶減四第十一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8， 求 B 的對立事件的概率。解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B)例4 得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2， 所以 P( ) = 10.2 = 0.8.第十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例5解：因為 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(

5、AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0.4+0.30.6=0.1 所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB). 第十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例6解：因為A、B、C 都不出現(xiàn)的概率為= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)= 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出現(xiàn)的概率.第十四張，PPT共三十二頁，

6、創(chuàng)作于2022年6月例7 口袋中有n1個黑球、1個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.利用對立事件解：記A為“第k 次取到黑球” ，則A的對立事件為“第k 次取到白球” .而“第k 次取到白球” 意味著：“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”第十五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例8解：用對立事件進行計算,記 A=“至少出現(xiàn)一次6點”，則所求概率為 一顆骰子擲4次，求至少出現(xiàn)一次6點的概率.第十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月甲參加有獎問答競猜活動，他能答出第一道題的概率是0.8，能答出第二道題的概率是0.3，例9兩道題都能

7、答出的概率是0.2，試求：（1）能答出第一道題而答不出第二道題的概率（2）至少有一道題能答不出的概率 （3）兩道題都答不出的概率 解已知？0.80.3（1）（2）（3）第十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月因為概率是事件(集合)的函數(shù)， 所以先討論事件(集合)的“極限” .本節(jié)給出可列可加性的充要條件.1.3.4 概率的連續(xù)性第十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月若事件序列Fn滿足：F1 F2 Fn 則稱Fn為單調(diào)不減事件序列，其極限事件為事件序列的極限若事件序列Fn滿足：F1F2 Fn 則稱Fn為單調(diào)不增事件序列，其極限事件為第十九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6

8、月 設(shè)P()是一個集合函數(shù)， (1) 若任對單調(diào)不減集合序列Fn，有 則稱P()是下連續(xù)的.集合函數(shù)的連續(xù)性 (2) 若任對單調(diào)不增集合序列Fn，有 則稱P()是上連續(xù)的. 第二十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 性質(zhì)1.3.7 若P()是事件域F上的一個概率函數(shù)， 則P() 既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.概率的連續(xù)性第二十一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)1.3.8若P()是事件域F上滿足：非負、正則的集合函數(shù)，則P() 有可列可加性的充要條件是它具有有限可加性和下連續(xù)性.可列可加性的充要條件第二十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月N 個產(chǎn)品，其中M個不合格品

9、、NM個合格品. (口袋中有M 個白球， NM 個黑球)常見模型(1) 不返回抽樣從中不返回任取n 個, 則此 n 個中有 m 個不合格品的概率為：此模型又稱 超幾何模型. n N, m M, nmNM.第二十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月口袋中有5 個白球、7個黑球、4個紅球.從中不返回任取3 個.求取出的 3 個球為不同顏色的球的概率.思 考 題第二十四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 N 個產(chǎn)品，其中M個不合格品、NM個合格品. 從中有返回地任取n 個.則此 n 個中有 m 個不合格品的概率為：常見模型(2) 返回抽樣條件： m n , 即 m = 0, 1, 2

10、, , n.第二十五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月n 個不同球放入 N 個不同的盒子中.每個盒子中所放球數(shù)不限.求恰有n 個盒子中各有一球的概率(nN) 常見模型(3) 盒子模型第二十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月求n 個人中至少有兩人生日相同的概率.看成 n 個球放入 N=365個盒子中.P(至少兩人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn= P(至少兩人生日相同)=生日問題p20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922 第二十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月n 個人、n 頂帽子，任意取，至少一個人拿對自己帽子的概率.記 Ai = “第 i 個人拿對自己的帽子” ，i=1, , n.求 P(A1A2An)，不可用對立事件公式.用加法公式：常見模型(4) 配對模型第二十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), P(A1A2An) =1/n!P(A1A2An)= 配對模型(續(xù))第二十九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 (匹配問題) 將四把能打開四間不