自動控制原理

1、主講: 黃 元 亮EMAIL: 自動控制原理 Theories of Automatic Control 第一章 自動控制的基本概念參考教材:1.自動控制原理 王建輝 清華大學(xué)出版社2. 自動控制原理 龐國仲 中國科技大學(xué)出版社3.自動控制原理 吳 麒 清華大學(xué)出版社第一章 自動控制的基本概念本課程與其它課程的關(guān)系第一章 自動控制的基本概念自動化的發(fā)展歷史公元132年張衡研制的候風(fēng)地動儀第一章 自動控制的基本概念1788年英國Watt發(fā)明的控制蒸汽機速度的離心式調(diào)速器 第一章 自動控制的基本概念1952年美國MIT研制出第一臺數(shù)控機床月球車第一章 自動控制的基本概念經(jīng)典控制理論 以傳遞函數(shù)為基

2、礎(chǔ)研究單輸入-單輸出一類定?？刂葡到y(tǒng)的分析與設(shè)計問題。這些理論由于其發(fā)展較早，現(xiàn)已臻成熟?，F(xiàn)代控制 以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)，研究多輸入-多輸出、時變、非線性一類控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計問題。系統(tǒng)具有高精度和高效能的特點。經(jīng)典控制理論現(xiàn)代控制理論智能控制理論 智能控制 從“仿人”的概念出發(fā)。一般方法學(xué)習(xí)控制、模糊控制、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)控制、專家控制等方法。 第一章 自動控制的基本概念一、自動控制技術(shù)及應(yīng)用1、自動控制的定義：所謂自動控制，是指在沒有人的直接參與的情況下，利用外加的設(shè)備或裝置（稱控制裝置或控制器），使機器、設(shè)備或生產(chǎn)過程（統(tǒng)稱被控制對象）的某個工作狀態(tài)或參數(shù)（即被控制量）自動地按照預(yù)定的規(guī)律運行

3、。第一章 自動控制的基本概念2. 自動控制系統(tǒng) 是指實現(xiàn)上述控制目的，由相互制約的各部分按一定 規(guī)律組成的具有特定功能的整體。 例：交通控制、水位控制、 經(jīng)濟控制、人體控制自動化的核心是“控制” 自動化技術(shù)的兩個方面： 人手（腳）的延伸動力方面的自動化技術(shù)：工業(yè)化 人腦的延伸信息處理方面的自動化技術(shù): 信息化第一章 自動控制的基本概念一、開環(huán)系統(tǒng)與閉環(huán)系統(tǒng)被控制對象：爐子被控制量（輸出量）： 爐溫控制裝置：調(diào)壓器和電熱絲，對 被控制量起控制作用。開環(huán)控制基本控制方式Uc電壓變大第一章 自動控制的基本概念開環(huán)控制Uc電壓變小電壓變大第一章 自動控制的基本概念開環(huán)控制Uc電壓變小電壓變大第一章 自

4、動控制的基本概念開環(huán)控制Uc電壓變小電壓變大第一章 自動控制的基本概念開環(huán)控制Uc電壓變小電壓變大第一章 自動控制的基本概念開環(huán)控制Uc電壓變小第一章 自動控制的基本概念第一章 自動控制的基本概念開環(huán)控制的特點控制裝置只按照給定的輸入信號對被控制量進行單向控制。輸出量不參加控制.開環(huán)控制不具有修正能力, 抗干擾能力差。第一章 自動控制的基本概念閉環(huán)控制 閉環(huán)控制是指系統(tǒng)的被控制量（輸出量）與控制作用之間存在著負反饋的控制方式。閉環(huán)控制（以轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)為例）比較器功率放大Uc下一步閉環(huán)控制（ 負載變化）比較器功率放大Uc上一步負載減小，上升加快閉環(huán)控制（負載減小，轉(zhuǎn)速加快）比較器功率放大Uc上一步電

5、機轉(zhuǎn)速加快閉環(huán)控制（負載減小，轉(zhuǎn)速加快，測速發(fā)電機轉(zhuǎn)速加快）比較器功率放大Uc上一步測速發(fā)電機轉(zhuǎn)速加快閉環(huán)控制（負載減小，轉(zhuǎn)速加快，測速發(fā)電機轉(zhuǎn)速加快，反饋電壓增大）比較器功率放大Uc上一步反饋電壓增大閉環(huán)控制（以轉(zhuǎn)速為例）比較器功率放大Uc上一步比較結(jié)果減小閉環(huán)控制（以轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)為例）第二節(jié) 基本控制方式比較器功率放大Uc上一步輸出電壓減小閉環(huán)控制（以轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)為例）比較器功率放大Uc上一步電機轉(zhuǎn)速減慢閉環(huán)控制（以轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)為例）比較器功率放大Uc上一步上升速度減慢第一章 自動控制的基本概念擾動：擾動是一種對系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生不利影響的信號。如果擾動產(chǎn)生在系統(tǒng)內(nèi)部稱為內(nèi)擾；擾動產(chǎn)生在系統(tǒng)外部，則稱為外

6、擾。外擾是系統(tǒng)的輸入量。第一章 自動控制的基本概念反饋控制第一章 自動控制的基本概念開環(huán)控制系統(tǒng)與閉環(huán)控制系統(tǒng)的主要區(qū)別1、信號傳輸通道的差別 ： 開環(huán)控制系統(tǒng)：只有正向傳輸通道， 閉環(huán)控制系統(tǒng)：有正向通道和反饋通道。 2、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的差別： 開環(huán)控制系統(tǒng)：有給定環(huán)節(jié) 閉環(huán)控制系統(tǒng)：有給定環(huán)節(jié)、比較環(huán)節(jié)、檢 測環(huán)節(jié)。3、控制方式的差別: 開環(huán)控制系統(tǒng)：有偏差,靠人工控制 閉環(huán)控制系統(tǒng)：對被控對象進行自動控制。第一章 自動控制的基本概念二、閉環(huán)控制系統(tǒng)的組成和基本環(huán)節(jié)第一章 自動控制的基本概念二、閉環(huán)控制系統(tǒng)的組成和基本環(huán)節(jié)（1）被控對象 ： 指要進行控制的設(shè)備或過程。（2）檢測裝置： 用來檢測被

7、控量，并將其轉(zhuǎn)換成與 給定量同一物理量。（3）給定環(huán)節(jié)： 是設(shè)定被控量給定值的裝置。第一章 自動控制的基本概念（4）比較環(huán)節(jié) ： 將檢測的被控量和給定值進行比較，確定兩者之間的偏差。（5）控制裝置 ： 根據(jù)得到的誤差信號，發(fā)出相應(yīng)的控制信號（6）執(zhí) 行 器： 直接作用于被控對象，使被控量達到所要求的數(shù)值。第一章 自動控制的基本概念三、自動控制系統(tǒng)的類型式中：r(t)系統(tǒng)輸入量； c(t)系統(tǒng)輸出量 主要特點是具有疊加性和齊次性。第一章 自動控制的基本概念 非線性的理論研究遠不如線性系統(tǒng)那么完整，目前尚無通用的方法可以解決各類非線性系統(tǒng)。第一章 自動控制的基本概念第一章 自動控制的基本概念第一章

8、 自動控制的基本概念四、自動控制系統(tǒng)的性能指標第一章 自動控制的基本概念第一章 自動控制的基本概念第一章 自動控制的基本概念（1）單調(diào)過程 這一過程的輸出量單調(diào)變化，緩慢地到達新的穩(wěn)態(tài)值。暫態(tài)過程較長。（2）衰減振蕩過程3、持續(xù)振蕩過程4、發(fā)散振蕩過程第一章 自動控制的基本概念第一章 自動控制的基本概念第一章 自動控制的基本概念第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)重點簡單物理系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)的列寫及計算 非線性模型的線性化方法 結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的變換與化簡開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)和計算1、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，它是在系統(tǒng)分析和設(shè)計中首先要作的工作

9、。 2、建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有分析法和實驗法兩種。 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析法： 是對系統(tǒng)內(nèi)各部分的運動機理進行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律分別列寫相應(yīng)的運動方程。 實驗法： 是人為地施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)并用適當?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，為種方法現(xiàn)已發(fā)展成為一門獨立的學(xué)科分支，叫做系統(tǒng)辯證法。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3、數(shù)學(xué)模型有多種形式，常用的有： 微分方程，差分方程，狀態(tài)方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，頻率特性和信號流圖等， 本章主要研究： 傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號流圖和微分方程第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例、如圖所示是

10、一個簡單的RC電路，求其微分方程。解：第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例、如圖所示是一個簡單的RL電路，求其微分方程。解：取u為輸出量，i為輸入量，得第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例、直流電動機電樞電路得電路平衡方程而ed與電動機的轉(zhuǎn)速n成正比：ed=Cen消去中間變量得：第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 圖為機械位移系統(tǒng)。試列寫質(zhì)量m在外力F作用下位移y(t)的運動方程。F y(t)k fm整理得:解: 阻尼器的阻尼力:彈簧彈性力:第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例 設(shè)有源網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試求其傳遞函數(shù)。解： 根據(jù)放大器特性有： i0=i1 再由基爾霍夫電流定律有： ir=ic+i0并根據(jù)放大器負相輸入端“虛地

11、”的概念有：第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型而由上兩式可得：第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型非線性微分方程的線性化 嚴格地說，實際控制系統(tǒng)的某些元件含有一定的非線性特性，而非線性微分方程的求解非常困難。 如果某些非線性特性在一定的工作范圍內(nèi)，可以用線性系統(tǒng)模型近似，稱為非線性模型的線性化。小偏差線性化： 用臺勞級數(shù)展開，略去二階以上導(dǎo)數(shù)項。 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型靜態(tài)工作點附近的泰勒(Taylor)級數(shù)展開 1）將一個非線性函數(shù)y=f(x)，在其工作點展開成泰勒(Taylor)級數(shù)，然后略去二次以上的高階項，得到線性化方程，用來代替原來的非線性函數(shù)。忽略二階以上各項，可寫成 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

12、 2）對于具有兩個自變量的非線性函數(shù)，設(shè)輸入量為x1(t)和x2(t),輸出量為y(t),系統(tǒng)正常工作點為y0 f(x10,x20)。 在工作點附近展開泰勒(Taylor)級數(shù)得 忽略二階以上各項，可寫成 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例:發(fā)電機勵磁特性 勵磁電流: If0 發(fā)電機電壓:Uf0 顯然If0和:Uf0不是線性關(guān)系。 但當If0變化較小時，我們可以用第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 微分方程完全描述了一個系統(tǒng)的動態(tài)特性，在給一定外作用和初始條件下，完全可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，這種方法非常直觀，便于了解系統(tǒng)運動的全過程。 但是如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化了，就要重新列寫并求解微分方程，這樣就不便于

13、系統(tǒng)的分析和設(shè)計。 因此就引入了復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)。微分方程傳遞函數(shù)Laplace變換傳遞函數(shù)第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 設(shè)f(x)在t0的每個有限區(qū)間上分段連續(xù),稱為f(x)的拉普拉斯變換,其中s為復(fù)變量。稱為F(x)的反拉普拉斯變換。拉氏變換簡介第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型拉氏變換的性質(zhì)：1.線性性設(shè)則 2.延遲定理：3.衰減定理： 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4.標度變換5.微分定理6. 積分定理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1常用信號的拉氏變換： a. 單位脈沖b.單位階躍c.斜坡信號 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型d.指數(shù)函數(shù)：e.正余弦常用拉普拉斯函數(shù)表第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 線性定

14、常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為傳遞函數(shù) 。系統(tǒng)微分方程為傳遞函數(shù)的定義兩邊拉氏變換，得第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型整理，得稱G(S)輸入函數(shù)C(t)和R(t)的傳遞函數(shù)。記成： C(t) =G(s) R(t) 或 Xc(t) =W(s) Xr(t) Xr(t) W(s) Xc(t)第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子多項式的次數(shù)m 低于或等于分母多項的次數(shù)n，所有系數(shù)均為實數(shù)；2) 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)，與輸入信號無關(guān);但表示輸入與輸出的關(guān)系，可以有量綱。傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可經(jīng)簡單置換而轉(zhuǎn)換;不同系統(tǒng)可以

15、有相同的傳遞函數(shù)，所以傳遞函數(shù)不能反映物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。傳遞函數(shù)的性質(zhì)第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)的分子P(s)稱為系統(tǒng)的特征多項式，稱P(s)=0為系統(tǒng)特征方程， P(s)=0的根為系統(tǒng)的極點；稱P(s)的階數(shù)為該系統(tǒng)的階數(shù)；稱D(s)=0的根為系統(tǒng)的零點。記第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型已知R=1，C=1F，求零狀態(tài)條件下階躍響應(yīng)uc(t) .因為對上式進行拉氏反變換：第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 圖為機械位移系統(tǒng)。試列寫質(zhì)量m在外力F作用下位移y(t)的運動方程和傳遞函數(shù)。F y(t)k fm在零初始條

16、件下，對兩邊進行拉氏變換:解:運動方程為第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 這里zi為系統(tǒng)的零點, pj為系統(tǒng)的極點, 均可為共軛復(fù)根和零根，稱K為系統(tǒng)的增益或放大系數(shù)。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型當輸入量為單位階躍時,其中第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型兩邊作初始條件為零的拉氏變換,得傳遞函數(shù)第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的微分方程為:兩邊作初始條件為零的拉氏變換,得傳遞函數(shù)當RC1時,得理想微分傳遞函數(shù):第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型其中TL=L/R,TC=RC.整理得:第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型測厚hc信號與厚差信號hd有下列關(guān)系

17、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 結(jié)構(gòu)圖由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成，它包括： 信號線：表示信號傳遞通路與方向。 方框：表示對信號進行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 比較點：對兩個以上的信號進行加減運算?！?”表示相加，“-”表示相減。 引出點：表示信號引出或測量的位置。同一位置引出的信號數(shù)值和性質(zhì)完全相同。R(s)C(s)E(s)W(s)H(s)(-)第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 繪出RC電路的結(jié)構(gòu)圖。 R1 C1i1 (t)ur(t)uc(t)Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)

18、學(xué)模型例 繪出圖示雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。uiuouC2C1ici1R1R2i22.19U(s)I2(s) Uo(s)(d) (-)IC(s)U(s)(c) IC(s)I1(s)I2(s) (-)(b)Ui(s)I1(s) U(s) (-)(a)I2(s) Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s) I2(s) U(s)IC(s) I1(s) (-) (-) (-)(f)第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第

19、二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)其分子分母均為有理多項式。于是稱0(s)=B(s)N(s)為開環(huán)系統(tǒng)的特征多項式；zi(1jm)為開環(huán)系統(tǒng)零點， pi(1in)為開環(huán)系統(tǒng)極點。稱為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對于單位反饋系統(tǒng)，有 5.系統(tǒng)對給定作用和擾動作用的傳遞函數(shù)原則：對于線性系統(tǒng)來說，可以運用疊加原理，即對每一個輸入量分別求出輸出量，然后再進行疊加，就得到系統(tǒng)的輸出量。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）只有給定輸入作用時的閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸出量為 （2）只有擾動作用時的閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸出量為 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型兩個輸入量同

20、時作用時，輸出量為第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 信號流圖是一種用節(jié)點和有向線段表示線性系統(tǒng)方程組的方法。 它可以方便系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求解，但不能系統(tǒng)分析和設(shè)計。信號流圖信號流圖的基本性質(zhì)： 1) 節(jié)點：標志系統(tǒng)的變量，節(jié)點標志的變量是所有流向該節(jié)點信號的代數(shù)和，用“O”表示； 2)支路：連接兩節(jié)點間的有向線段。相當于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變成另一信號； 3)信號在支路上沿箭頭單向傳遞； 4) 對一個給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.信號流圖中的術(shù)語(1)源點 只有輸出支路的節(jié)點稱為源點或稱為輸入節(jié)點 它一般表示系統(tǒng)的輸入變量。(2)匯點（阱節(jié)點） 只有輸

21、入支路的節(jié)點稱為匯點或稱為輸出節(jié)點 它一般表示系統(tǒng)的輸出變量。 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(3)混合節(jié)點 既有輸入支點又有輸出支點的節(jié)點稱為混合節(jié)點(4)通路 從某一節(jié)點開始，沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點（或同一節(jié)點）構(gòu)成的路徑，稱為通路。 通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸（通路增益）。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(5)開通路 信號流圖與任一節(jié)點相交不多于一次的通路稱為開通路。(6)閉通路 如果通路的終點就是通路的起點，并且與任何其他節(jié)點相交不多于一次的通路稱為閉通路或回環(huán)。 (7)回環(huán)增益 回環(huán)中各支路傳輸?shù)某朔e稱為回環(huán)增益（或傳輸）。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(8)前向通路 是指

22、從源點開始并終止于匯點且與其他節(jié)點相交不多于一次的通路，該通路的各傳輸乘積稱為增益前向通路傳遞函數(shù)。(9)不接觸回環(huán)如果一信號流圖有多個回環(huán)，各回環(huán)之間沒有任何公共節(jié)點，就稱為不接觸回環(huán). 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由微分方程信號流圖的繪制例 已知系統(tǒng)如圖所示，其微分方程如下：C1 ui R1 R2 uo i1iUi(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s) uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖1) 用小圓圈標出傳遞的信號，得到節(jié)點。2) 用有向線段表示結(jié)構(gòu)圖中的方框，用傳遞函數(shù)代表支路增益。注意信號流圖的節(jié)點

23、只表示變量的相加。G(s) C(s) R(s)(節(jié)點)C(s)R(s) G(s)(節(jié)點)(支路)第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型信號流圖的化簡 見教材.G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s) (-)(a) 結(jié)構(gòu)圖C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s) -H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b) 信號流圖第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2. 梅遜增益公式 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例 計算右圖的傳遞函數(shù).解: 該系統(tǒng)只有兩條前向通道 n=2 T1=abcd T2=fd三個回環(huán)的傳遞函數(shù)為La=fdg, Lb=be, Lc=abcdg,所以 L1=( cde + b

24、cf + abcdg ） L2= La Lb= fdg be所以系統(tǒng)特征式為第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進而有：得系統(tǒng)總傳遞函數(shù)為第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例 求右圖中下列傳遞函數(shù)解：第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型小 結(jié)1. 數(shù)學(xué)模型的基本概念。 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，是對系統(tǒng)進行理論分析研究的主要依據(jù)2. 通過解析法對實際系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。 在本章中，根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的工作原理，建立其微分方程式，反映其動態(tài)本質(zhì)。3. 非線性元件的線性化。 針對非線性元件的非線性微分方程分析的難度，本章介紹采用小偏差線性化方法對非線性系統(tǒng)的線性化描述。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

25、模型4. 傳遞函數(shù)。 通過拉氏變換求解微分方程是一種簡捷的微分方程求解方法。 本章介紹了如何將線性微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù) s 域的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5. 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是傳遞函數(shù)的圖解化，能夠直觀形象地表示出系統(tǒng)中信號的傳遞變換特性，有助于求解系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)，進一步分析和研究系統(tǒng)。6. 信號流圖。 信號流圖是一種用圖線表示系統(tǒng)中信號流向的數(shù)學(xué)模型，完全包括了描述系統(tǒng)的所有信息及相互關(guān)系。通過運用梅遜公式能夠簡便、快捷地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析學(xué)習(xí)重點了解典型信號和自動控制系統(tǒng)時域指標的定義 掌握一階和二階系

26、統(tǒng)分析與暫態(tài)性能指標計算方法 建立系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系 了解系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)暫態(tài)性能指標的影響，能夠定性分析高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)過程 理解和掌握線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，會用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，了解系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)誤差的影響，熟練掌握誤差傳遞函數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 在確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，便可以用幾種不同的方法去分析控制系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性能，本章主要介紹時域分析法。 所謂時域分析法就是根據(jù)控制系統(tǒng)的時域響應(yīng)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。 與其它分析方法比較，時域分析法是一種直接的分析方法，具有直觀和準確的優(yōu)點，

27、并能提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 實際中控制系統(tǒng)所受到外作用是各式各樣的，對于不同的外作用信號，系統(tǒng)被控制量的變化情況也不相同。為了便于用統(tǒng)一的方法研究和比較控制系統(tǒng)的性能。（1）階躍函數(shù)A=1時稱為單位階躍函數(shù) 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 單位脈沖函數(shù)可以認為是單位階躍函數(shù)在間斷點上對時間的導(dǎo)數(shù)，反之亦真。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的微分方程為：其閉環(huán)傳遞函數(shù)為第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析取上式的反拉氏變換，得第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析響應(yīng)曲線的初始斜

28、率為1/T。系統(tǒng)沒有超調(diào)量，其性能指標主要是調(diào)節(jié)時間。ts=3T(s)， （對應(yīng)5%誤差帶） ts=4T(s)， （對應(yīng)2%誤差帶）第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析例 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts；如果要求ts(5%) 0.1(秒)，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)取何值？得 T=0.1（s）因此得調(diào)節(jié)時間 ts=3T=0.3(s),（取5%誤差帶） 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析由閉環(huán)傳遞函數(shù)可得 T = 0.01/Kt根據(jù)題意要求 ts (5%) 0.1（s）則 ts = 3T = 0.03/Kt 0.1(s)所以 Kt 0.3 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 二階系統(tǒng)

29、標準形式的結(jié)構(gòu)圖如右。系統(tǒng)的特征方程為 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 特征方程的根與阻尼比有關(guān)，下面分幾種情況來分析二階系統(tǒng)的動態(tài)特性。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析上式各系數(shù)分別為：第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析輸出量的拉氏變換：第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析輸出量的時間函數(shù)：第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析結(jié)論： 在 的情況下，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)的暫態(tài)分量為一按指數(shù)衰減的簡諧振動時間函數(shù)；振蕩程度與 有關(guān)： 越小，振蕩越劇烈。 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的特征根為第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析輸出量的時間函數(shù)：第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動

30、控制系統(tǒng)的時域分析綜上所述，在不同的阻尼比時，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)有很大的區(qū)別，因此阻尼比是二階系統(tǒng)的重要參量。當=0時，系統(tǒng)不能正常工作；在1時，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)進行的又太慢。所以，對二階系統(tǒng)來說，欠阻尼（01 ）情況下，暫態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，沒有超調(diào)和振蕩，但調(diào)節(jié)時間較長，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩。當0，輸出量作等幅振蕩，或發(fā)散振蕩.系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析4、二階工程最佳參數(shù) 在一些控制系統(tǒng)中常常采用所謂二階最佳參數(shù)作為設(shè)計控制系統(tǒng)的依據(jù)，這種系統(tǒng)選擇的參數(shù)使得：將此式代入二階系統(tǒng)標準式，得開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)函數(shù)為第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析最大超

31、調(diào)量：上升時間：調(diào)節(jié)時間：第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析例 有一位置隨動系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，其中Kk = 4。求該系統(tǒng)的：1）自然振蕩角頻率；2）系統(tǒng)的阻尼比；3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間；4）如果要求 ，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)Kk值。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 所以必須降低開環(huán)放大系數(shù)，才能滿足二階工程最佳參數(shù)的要求。但是降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析例 為了改善上例系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量 的要求，今加入微分負反饋s，如下圖所示。求微分時間常數(shù)。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析則 令第三章 自動控制系統(tǒng)

32、的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析得:第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析將上式整理,得:第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析上式中l(wèi)、 的幾何意義：第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析從而有：第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)加極點后變成三階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析結(jié)論：具有負實數(shù)極點的三階系統(tǒng)，振蕩性減弱，而上升時 間和調(diào)節(jié)時間增長，超調(diào)量減小，也就是相當于系統(tǒng)的慣性增強了。 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析結(jié)論（1）高階系統(tǒng)暫態(tài)響

33、應(yīng)各分量衰減得快慢，取決于指數(shù)衰減常數(shù)。系統(tǒng)閉環(huán)極點的實部越小，即在S平面左側(cè)離虛軸越近，則相應(yīng)的分量衰減越慢，對暫態(tài)影響越大。（2）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和極點在S平面中的位置有關(guān)，還與零點的位置有關(guān)。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 在設(shè)計一個高階控制系統(tǒng)時，我們常常利用主導(dǎo)極點這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，這樣就可以近似地用一階或二階系統(tǒng)的指標來設(shè)計系統(tǒng)。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 一個線性系統(tǒng)正常工作的首要條件，就是它必須是穩(wěn)定的。 用代數(shù)的方法判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響，是本節(jié)要介紹的內(nèi)容。自

34、動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點）全部負實數(shù)或具有負實部的共軛復(fù)數(shù)，也就是所有的閉環(huán)特征根 pj分布在S 平面虛軸的左側(cè)，即 Re pj a0a3.第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析3.赫爾維茨判據(jù)第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析拉氏變換終值定理： 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析1. 擾動穩(wěn)態(tài)誤差 擾動誤差的拉氏變換： 擾動誤差的傳遞函數(shù)： 稱We(s)為誤差傳遞函數(shù) 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析根據(jù)拉氏變換的終值定理，擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為第

35、三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析當給定量 時，以擾動量為輸入量的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 ：例 速度負反饋系統(tǒng) 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析在負載電流作用下轉(zhuǎn)速誤差的拉氏變換為 式中： 系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。 當負載為階躍函數(shù)時， 。則轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)誤差為 由于這一系統(tǒng)在負載擾動下存在穩(wěn)態(tài)誤差，所以稱為有差系統(tǒng)。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 將上述調(diào)速系統(tǒng)中的比例調(diào)節(jié)器換成積分調(diào)節(jié)器，構(gòu)成下圖所示系統(tǒng)。 則速度誤差的拉氏變換為 式中： 當負載電流作階躍變化時，有 在開環(huán)傳遞函數(shù)中，串聯(lián)積分環(huán)節(jié)，可以消除階躍擾動的穩(wěn)定誤差。 該系統(tǒng)為無差系統(tǒng)。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析2. 給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù) 誤差

36、定義為 這個誤差是可以量測的，但是這個誤差并不一定反映輸出量的實際值與期望值之間的偏差。 另一種定義誤差的方法是取系統(tǒng)輸出量的實際值與期望值的差，但這一誤差在實際系統(tǒng)中有時無法測量。對于右圖所示單位反饋系統(tǒng)，上述兩種誤差定義是相同的。并有誤差傳遞函數(shù) 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為式中： N開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié) 的 階次，或稱系統(tǒng)的無差階數(shù)； N個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的等效傳遞函數(shù) 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析N = 0， 0型系統(tǒng)；N = 1，型系統(tǒng)；N = 2 ，型系統(tǒng)。N 越高，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性愈差。一般采用的是0型、型和型系統(tǒng)。

37、第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析典型輸入情況下系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差分析 單位階躍函數(shù)輸入 穩(wěn)態(tài)誤差為 令 ， 稱為位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，則 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析對于0型系統(tǒng)，因N = 0，則位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 因此0型系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析對于型或型系統(tǒng)，因N=1或2，則位置誤差系數(shù)為故型或型系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為 由此而知，對于單位階躍輸入，型以上各型系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)均為無窮大，穩(wěn)態(tài)誤差均為零。 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析單位斜坡函數(shù)輸入 令 ， 稱為速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。 由此得各型系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析單位拋物線函數(shù)輸

38、入 給定穩(wěn)態(tài)誤差為 令 ， 稱為加速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 由此得各型系統(tǒng)在拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系 1t系統(tǒng) 0型00 型00 型00第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析動態(tài)誤差系數(shù) 既可求出穩(wěn)態(tài)值，又可以了解到進入穩(wěn)態(tài)后，誤差隨時間變化的規(guī)律。 誤差傳遞函數(shù)為 如果將分子和分母中的冪次相同的各項合并，則可寫成 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析 用分母多項式除分子多項式，可把上式寫為如下的s的升冪級數(shù) 由此可得誤差的拉氏變換為 式中： k0動態(tài)位置誤差系數(shù)； k1動態(tài)速度誤差系數(shù)； k2動態(tài)加速度誤差系數(shù)。 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析穩(wěn)態(tài)誤差值

39、進入穩(wěn)態(tài)時的系統(tǒng)誤差為 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析例 有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為試計算輸入量為 和 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及其時間函數(shù)。 解 該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為 展開成s的升冪級數(shù)，得 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析故動態(tài)誤差系數(shù)為 當給定量為階躍函數(shù)時 穩(wěn)態(tài)誤差為 穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)為 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析因為 ，（不計時間等于零時的脈沖值），故得 當給定量為單位斜坡函數(shù)時 穩(wěn)態(tài)誤差值為 穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)為 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析例 一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求輸入量為 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時間函數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差。 解 系統(tǒng)給定誤差的傳遞函數(shù)為

40、 用分子多項式除以分母多項式，可得s的升冪級數(shù) 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析故知 。誤差的拉氏變換為 已知給定輸入量為則第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)為 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析3 減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法 增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù) 值不能任意增大，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 提高開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的階次N， N 值一般不超過2。 采用補償?shù)姆椒?指作用于控制對象的控制信號中，除了偏差信號外，還引入與擾動或給定量有關(guān)的補償信號，以提高系統(tǒng)的控制精度，減小誤差。這種控制稱為復(fù)合控制或前饋控制。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖一閉環(huán)傳遞函數(shù)為 第三

41、章 自動控制系統(tǒng)的時域分析給定誤差的拉氏變換為 如果選補償校正裝置的傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)補償后的誤差 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 即這種將誤差完全補償?shù)淖饔梅Q為完全補償。式 稱為按給定作用的不變性條件 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖二系統(tǒng)的擾動誤差就是給定量為零時系統(tǒng)的輸出量 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析如果選取 則得到 這種作用是對外部擾動的完全補償。 式 稱為按擾動的不變性條件。 實際上實現(xiàn)完全補償是很困難的，采取部分補償也可以取得顯著的效果。 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析例 一隨動系統(tǒng) 補償前第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析當 時速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)為 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 系統(tǒng)的給定誤差為

42、誤差傳遞函數(shù)為第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析為了補償系統(tǒng)的速度誤差，引進了給定量的微分信號，如下圖所示。補償校正裝置 的傳遞函數(shù)為 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析由此求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 復(fù)合控制的給定誤差傳遞函數(shù)為 在輸入量為單位斜坡函數(shù)的情況下 ，系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析今選取 ，則誤差傳遞函數(shù)為誤差的拉氏變換為 第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析由此可知，當加入補償校正裝置 （也稱為前饋控制）時，可以使系統(tǒng)的速度穩(wěn)態(tài)誤差為零，將原來的型系統(tǒng)提高為型系統(tǒng)。 此時其等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 應(yīng)特別指出的是，加入這一前饋控制時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與未加前饋相同，因

43、為這兩個系統(tǒng)的特征方程式是相同的。 這樣，提高了穩(wěn)態(tài)精度，但系統(tǒng)穩(wěn)定性不變第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析6. 相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量 應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定，即只解決了絕對穩(wěn)定性的問題。 在處理實際問題時，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。 因為,對于實際的系統(tǒng),所得到參數(shù)值往往是近似的,并且有的參數(shù)隨著條件的變化而變化,這樣就給得到的結(jié)論帶來了誤差。 為了考慮這些因素,往往希望知道系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少余量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量的問題。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定，即只解決了絕對穩(wěn)定性的問題。在處理實際問題時，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠

44、的。因為，對于實際的系統(tǒng)，所得到參數(shù)值往往是近似的，并且有的參數(shù)隨著條件的變化而變化，這樣就給得到的結(jié)論帶來了誤差。為了考慮這些因素，往往希望知道系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少余量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量的問題。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析方法：利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，以 代入系統(tǒng)特征方程式，寫出z的多項式，然后用代數(shù)判據(jù)判定z的多項式的根是否都在新的虛軸的左側(cè)。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析例 系統(tǒng)特征方程式為 勞斯表為可以看出，第一列中各項符號沒有改變，所以沒有根在S平面的右側(cè)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析檢查上述系統(tǒng)是否有 裕量。將 代入原特征方程式，得新的特征方程為由于零(s)

45、上面的系數(shù)符號與零(s)下面的系數(shù)符號相同，表明在右半平面沒有根，但由于 s1 行的系數(shù)為零，故有一對虛根。這說明，原系統(tǒng)剛好有 的穩(wěn)定裕量。 列出勞斯表第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析小 結(jié)1. 時域分析是通過直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時域響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)整時間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標來評價系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。2. 二階系統(tǒng)在欠阻尼時的響應(yīng)雖有振蕩，但只要阻尼比取值適當(如 =0.707左右)，則系統(tǒng)既有響應(yīng)的快速性，又有過渡過程的平穩(wěn)性，因而在控制工程中常把二階系統(tǒng)設(shè)計為欠阻尼。第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析3. 如果高階系統(tǒng)中含有一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，則

46、該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)就可以近似地用這對主導(dǎo)極點所描述的二階系統(tǒng)來表征。4. 穩(wěn)定是系統(tǒng)能正常工作的首要條件。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的形式和大小以及系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。 不用求根而通過特征方程系數(shù)能夠直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。穩(wěn)定判據(jù)只回答特征方程式的根在 s平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)值第三章 自動控制系統(tǒng)的時域分析5. 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量,也是系統(tǒng)的一個重要性能指標.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),也與控制信號的形式、大小和作用點有關(guān).6. 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度與動態(tài)性能在對系統(tǒng)的類型和開環(huán)增益的要求上

47、是相矛盾的.解決這一矛盾的方法,除了在系統(tǒng)中設(shè)置校正裝置外,還可采用前饋補償?shù)姆椒▉硖岣呦到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度.根軌跡法 一種由開環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的簡便方法。它是一種用圖解方法表示特征根與系統(tǒng)參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系的方法。 1948年,由伊文思（W. R. Evans）提出.根軌跡法的任務(wù) 由已知的開環(huán)零極點和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點。 第四章 根軌跡法根軌跡 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的每一個參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在 S 平面上的變化軌跡。 先用圖解的方法在復(fù)數(shù) s 平面上畫出系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮大時對應(yīng)數(shù)值下的閉環(huán)特征方程所有的根, 即根軌跡, 然后再用圖解的方法確定

48、該參數(shù)為某一特定數(shù)值時的一組閉環(huán)特征根, 分析出系統(tǒng)所具有的性能.4.1 根軌跡法的基本概念4.1 根軌跡法的基本概念 或反之, 在根軌跡上先確定出符合系統(tǒng)性能要求的閉環(huán)特征根, 再用圖解的方法求出對應(yīng)的參數(shù)值. 根軌跡是利用系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點分布來研究閉環(huán)系統(tǒng)的極點分布.根軌跡法的基礎(chǔ)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，僅適用于線性系統(tǒng)。 例 二階系統(tǒng)的根軌跡閉環(huán)傳遞函數(shù)4.1 根軌跡法的基本概念特征方程閉環(huán)極點 研究開環(huán)放大系數(shù)K與閉環(huán)特征根的關(guān)系。當取不同K值時，算得閉環(huán)特征根如下：K S1 S200-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j -1+j-1-j4.1 根軌跡法的基本概念K

49、由0變化時，閉環(huán)特征根在S平面上移動的軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的根軌跡。 根軌跡直觀地表示了參數(shù)K變化時，閉環(huán)特征根的變化，并且還給出了參數(shù)K對閉環(huán)特征根在S平面上分布的影響。4.1 根軌跡法的基本概念根軌跡方程控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖開環(huán)傳遞函數(shù)4.1 根軌跡法的基本概念式中： -Zi 開環(huán)零點； -pj 開環(huán)極點。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為或可寫作4.1 根軌跡法的基本概念 這個方程式表達了開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程式的關(guān)系 ，該方程的解即為閉環(huán)特征根，因此該式又稱為根軌跡方程。4.1 根軌跡法的基本概念令s=+j代入可得上式是一個復(fù)數(shù)，可表示成幅值和輻角的形式，則根軌跡方程又可分別表示成幅值條件：輻

50、角條件：（充分必要條件）式中： i 開環(huán)有限零點到s點的矢量輻角； j 開環(huán)極點到s點的矢量輻角； 滿足幅值條件和輻角條件的s值，就是特征方程式的根，也就是閉環(huán)極點。 4.1 根軌跡法的基本概念4.1 根軌跡法的基本概念 因為Kg 在0范圍內(nèi)連續(xù)變化，總有一個值能滿足幅值條件。所以，繪制根軌跡的依據(jù)是輻角條件。 利用幅值條件計算Kg值比較方便，它可以作為計算Kg值的依據(jù)。 繪制根軌跡的一般步驟（1）算出Kg =0 和Kg = 時的特征根（2）根據(jù)繪制法則大致畫出0 Kg0, z1p1p20 ，求分離點和會合點。解 由已知：N(s)=s+z1 N(s) =1D(s)=(s+p1)(s+p2) D

51、(s)=(2s+p1+p2)4.2 根軌跡的繪制法則 代入分離點和會合點方程，有由此得分離點和會合點分別為該系統(tǒng)的根軌跡圖如下圖所示4.2 根軌跡的繪制法則6 根軌跡的漸近線 研究根軌跡是按什么走向趨向無窮遠。 當 nm 時，則有（n-m) 條根軌跡分支終止于無限零點。這些趨向無窮遠的根軌跡分支的漸近線由與實軸的夾角和交點來確定。4.2 根軌跡的繪制法則無窮遠處的特征根，到S平面上所有開環(huán)有限零點和極點的矢量輻角都相等，均為 ，即i=j=獨立的漸近線只有（n-m）條代入輻角條件得即漸近線的傾角為4.2 根軌跡的繪制法則（1）漸近線的傾角當 時， ，即得（2）漸近線的交點由幅值條件4.2 根軌跡

52、的繪制法則 令上式中等式兩邊的項系數(shù)相等，即得漸近線的交點4.2 根軌跡的繪制法則例 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定其根軌跡漸近線。解 （1）計算漸近線傾角。因為m=0, n=3, 所以可得漸近線傾角為4.2 根軌跡的繪制法則因為 n=3, m=0；所以漸近線交點為（2）計算漸近線交點。7 根軌跡的出射角和入射角出射角：根軌跡離開S平面上開環(huán)極點處的切線與實軸的夾角。入射角：根軌跡進入S平面上開環(huán)零點處的切線與實軸的夾角。4.2 根軌跡的繪制法則例 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為試計算起點（1+j1）的斜率。把以上諸值代入輻角條件，即得起點（-1+j1）的出射角為4.2 根軌跡的繪制法則解得解 令sk稍為增大，在

53、(-1+j1)附近的特征根sk 應(yīng)滿足輻角條件，即同理可得入射角的計算公式為通過這個例子，可以得到計算出射角的公式為4.2 根軌跡的繪制法則4.2 根軌跡的繪制法則8根軌跡與虛軸的交點 根軌跡與虛軸相交時，特征方程式的根 s=j，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，令此時的 Kg =Kl 。由此可計算對應(yīng)的臨界放大系數(shù)值。確定交點的方法： （1）把s=j 代入特征方程式； （2）利用勞斯判據(jù)。例設(shè)有開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定根軌跡與虛軸的交點，并計算臨界放大系數(shù)。 假設(shè) 時根軌跡與虛軸相交,于是令上式中解 方法（1）根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得特征方程式為4.2 根軌跡的繪制法則 則得亦即 解得： ， ，對

54、應(yīng)根軌跡的起點； ， ，對應(yīng)根軌跡與虛軸相交。 交點處的（臨界放大系數(shù)）為 4.2 根軌跡的繪制法則4.2 根軌跡的繪制法則方法（2）用勞斯判據(jù)計算交點和臨界放大系數(shù)勞斯表特征方程4.2 根軌跡的繪制法則令上式中KK=3 ，即得根軌跡與虛軸的交點為 在第一列中，令s1行等于零，則得臨界放大系數(shù) KK=Kl=3 根軌跡與虛軸的交點可根據(jù)s2行的輔助方程求得，即3s2+2KK=04.2 根軌跡的繪制法則 9根軌跡的走向 如果特征方程的階次nm0，則一些根軌跡右行時，另一些根軌跡必左行。說明：把特征方程式改為式中：a1=Rj 是一個常數(shù)，它是各特征根之和。這表明，隨著Kg值改變，一些特征根增大時另一

55、些特征根必減小。4.2 根軌跡的繪制法則根軌跡繪制法則歸納如下：(1)起點（Kg =0）。開環(huán)傳遞函數(shù)的極點即根軌跡的起點。（2）終點(Kg =)。根軌跡的終點即開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(包括m個有限零點和（n-m）個無限零點)。（3）根軌跡數(shù)目及對稱性。根軌跡數(shù)目為 max(n,m) ，根軌跡對稱于實軸。（4）實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側(cè)的零點、極點之和應(yīng)是奇數(shù)。4.2 根軌跡的繪制法則 （5）分離點與會合點。分離點與會合點滿足方程 （6）根軌跡的漸近線。 漸近線的傾角 漸近線交點4.2 根軌跡的繪制法則 入射角出射角（7）根軌跡的出射角與入射角。（9）根軌跡走向。 如果特征方程的階次nm2，

56、則一些根軌跡右行時，另一些根軌跡必左行。(8)根軌跡與虛軸交點。把s=j代入特征方程式，即可解出交點處的臨界Kl值和交點坐標。 利用根軌跡可以清楚的看到開環(huán)根軌跡增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。二階系統(tǒng)：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為共軛極點為：在s平面上的分布如右圖：閉環(huán)極點的張角 為：所以稱為阻尼角, 斜線稱為等阻尼線。4.2 根軌跡的繪制法則4.2.2 自動控制系統(tǒng)的根軌跡4.2 根軌跡的繪制法則 1. 二階系統(tǒng) 設(shè)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)的根軌跡圖如右圖所示。如果要使得系統(tǒng)的阻尼比為 則從原點作阻尼線0R, 交根軌跡于R

57、（見右圖）開環(huán)放大系數(shù)KK =KK/T應(yīng)為 上式和第三章第三節(jié)用分析法所得的二階工程最佳參數(shù)相同 4.2 根軌跡的繪制法則 由幅值條件有: 2開環(huán)具有零點的二階系統(tǒng) 二階系統(tǒng)增加一個零點時，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。 它的開環(huán)傳遞函數(shù)為4.2 根軌跡的繪制法則 其根軌跡是一個圓。 本例說明：正向通道內(nèi)適當引進零點，將使根軌跡向左偏移，能改善系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)。時的根軌跡圖 4.2 根軌跡的繪制法則 根軌跡與實軸的交點即為分離點和會合點,為：3. 三階系統(tǒng) 二階系統(tǒng)附加一個極點的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為 在a=4時，分離點為s1=-0.467和s2=-2.87。 因為在-14之間不可能有

58、根軌跡，故分離點應(yīng)為 s1=-0.467 。4.2 根軌跡的繪制法則 其中Kg=aKk, a=1/T。漸近線的傾角為：-60，60 ，180 交點為：-5/3當 a=4 時，根軌跡與虛軸交點為 = 2對應(yīng)的根軌跡放大系數(shù)為考慮到 Kg= 4Kl ，于是得臨界開環(huán)放大系數(shù)為 Kl=204=5本例說明：在二階系統(tǒng)中附加一個極點，隨著 Kg 增大，根軌跡會向右變化，并穿過虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定。 4.2 根軌跡的繪制法則 根軌跡繪于右圖。四階系統(tǒng)類似，同學(xué)們自己學(xué)習(xí) 4 具有時滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng) 假設(shè), 時滯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示,較大時對系統(tǒng)有明顯的不良影響。 其開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為4.2

59、根軌跡的繪制法則 假設(shè)特征根 s = +j ，則滿足特征根的幅值和輻角條件為 與前面介紹的根軌跡繪制法則相對比可知，時滯系統(tǒng)的根軌跡繪制法則要有所變化。4.2 根軌跡的繪制法則 為零時，與一般系統(tǒng)相同。 0時，其值將對軌跡的幅值和幅角產(chǎn)生影響。 4.2 根軌跡的繪制法則 時滯系統(tǒng)的根軌跡繪制法則：（1）起點(Kg=0)。當Kg=0 時，除開環(huán)極點pi是起點外， = 也是起點。（2）終點（Kg= ）。當Kg= 時，除開環(huán)有限零點zi 是終點外， =也是終點。（3）根軌跡數(shù)目及對稱性。根軌跡有無限多條分支。根軌跡對稱于實軸。（4）實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)零、極點之和為奇數(shù)。4.2 根

60、軌跡的繪制法則 （5）分離點與會合點。（6）漸近線。水平線，與虛軸交點為 4.2 根軌跡的繪制法則 （7）出射角與入射角。 （8）根軌跡與虛軸交點。臨界根軌跡放大系數(shù) 4.2 根軌跡的繪制法則 （9）復(fù)平面上的根軌跡。 由輻角條件，假設(shè)=0得例 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制其根軌跡。4.2 根軌跡的繪制法則 解 （1）起點(Kg=0)為：p0=0, p1=1；其他起點為 =，其漸近線為 （2）終點Kg= 為 =，其漸近線同上。 （3）在實軸的 0 1區(qū)間有根軌跡。（4）分離點位置按式（4-25）計算，得 4.2 根軌跡的繪制法則 由此算得當 = 1時，得 s1= 0.382 ，s2= 2.6