沒有幻燈片標(biāo)題 - 南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系

1、數(shù)學(xué)建模與系統(tǒng)仿真主講:許春根南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系Tel: 84315877(O)Email:Web: http:/www.xuchung.8 預(yù)備知識(shí): 微積分(或高等數(shù)學(xué))、線性代數(shù)、微分方程、概率論、計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)等。參考書: 數(shù)學(xué)模型(第二版) 姜啟源編 高等教育出版社 第一章 建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模1.7 數(shù)學(xué)建模的工具軟件1.8 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符

2、號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米.甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x =20y =5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=2

3、0, y=5）； 回答原問題（船速每小時(shí)20千米）。數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)

4、進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼1.3 數(shù)學(xué)建模示例3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設(shè)通常 三只腳著地放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCODC B A 用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C

5、兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f() , g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意, f(), g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問題已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗造的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.

6、令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因?yàn)閒() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和 f(), g()的確定3.2 商人們?cè)鯓影踩^河問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的

7、前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk第k次渡船上的商人數(shù)vk第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由

8、s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110 窮舉法 編程上機(jī) 圖解法狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn) 10個(gè) 點(diǎn)允許決策 移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年 1908 1

9、933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長(zhǎng)3.3 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計(jì)算公式x(t) 時(shí)刻t的人口基本假設(shè) : 人口(相對(duì))增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)

10、過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬） 1860 1870 1880 1960 1970

11、 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4 (百萬)模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通

12、過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的問題模型假設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想象力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)

13、果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)

14、域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)、表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策、建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想象力洞察力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過的模型 親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目1.7 數(shù)學(xué)建模工具軟件介紹數(shù)學(xué)建模一般借助于數(shù)學(xué)軟件.如：Mathematica、 Matlab、SAS、MathCADMapleMathematica3.0,4.0窗口簡(jiǎn)介Mathematica 2.1窗口簡(jiǎn)介Mathematica

15、的畫圖功能數(shù)學(xué)軟件的種類及其特點(diǎn)通用符號(hào)計(jì)算軟件通用數(shù)值運(yùn)算軟件專業(yè)軟件計(jì)算程序庫(kù)教學(xué)、演示類軟件符號(hào)計(jì)算軟件MathematicaReduceMapleMuMathDeriveEureke數(shù)值運(yùn)算軟件MATLABMathCAD專業(yè)軟件統(tǒng)計(jì)軟件：SAS、SPSS有限元計(jì)算：ANSYS、SAP球體幾何及大地測(cè)量： Spheric神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：Neural Work Professional.程序庫(kù)早期的FORTRAN計(jì)算庫(kù)Numerical Recipes 通用C語(yǔ)言數(shù)值計(jì)算程序庫(kù)一些專業(yè)計(jì)算包（非特定語(yǔ)言）其他教育軟件MathCADSmathMath Extra.數(shù)學(xué)軟件在教學(xué)中的應(yīng)用大規(guī)模運(yùn)算數(shù)

16、值實(shí)驗(yàn)輔助教學(xué)一個(gè)用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)的系統(tǒng)MATHEMATICAMathematicaMathematica的基本功能數(shù)值運(yùn)算（Numeric Computation）符號(hào)運(yùn)算（Algebric Computation）圖像處理（Graphics ）語(yǔ)言功能（Programing Language)Mathematica在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例迭代計(jì)算與繪圖求最大、最小值復(fù)雜積分的計(jì)算微分方程的求解方程組)的求解、矩陣運(yùn)算Matlab6.0窗口簡(jiǎn)介 MATLAB是基于矩陣的一種計(jì)算工具，它已經(jīng)成為世界各國(guó)高校和研究人員中最為流行的軟件之一。它提供了豐富可靠的矩陣運(yùn)算、數(shù)據(jù)處理、圖形繪制、圖像處理等便

17、利工具，并且由于Matlab的廣泛應(yīng)用，很多理論的創(chuàng)始人在MATLAB上開發(fā)了相關(guān)的工具箱，現(xiàn)在MATLAB附帶的各方面工具箱有：控制系統(tǒng)、通訊、符號(hào)運(yùn)算、小波計(jì)算、偏微分方程、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、圖像、金融、LMI控制、QFT控制、數(shù)字信號(hào)處理、模糊控制、模型預(yù)估控制、頻域辨識(shí)、高階譜分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)、非線性控制系統(tǒng)、圖像處理、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)、m 分析、信號(hào)處理、插值、優(yōu)化、魯棒控制、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、系統(tǒng)辨識(shí)等等，并且MATLAB提供了圖形化的時(shí)域仿真程序-Simulink，在高校中還開發(fā)有：振動(dòng)理論、化學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)、語(yǔ)音處理等等方面的工具箱。 使用MATLAB，工作效率可能有成百上千倍的提高，使得研究工作真正是在

18、做研究，而不是在編程。使用MATLAB大大簡(jiǎn)化了學(xué)習(xí)和研究中編程量，比如：使用C或者Fortran編寫一個(gè)優(yōu)化的程序，一般需要幾百行或者幾千行的程序，并且在首次寫程序時(shí)還可以能需要大量的時(shí)間來調(diào)試這個(gè)程序，當(dāng)這個(gè)程序能夠運(yùn)行時(shí)，可能花費(fèi)掉一個(gè)星期或者更長(zhǎng)的時(shí)間，而下一次在進(jìn)行另一種優(yōu)化方法的運(yùn)算時(shí)，需要同樣的時(shí)間工作，也就是說，使用這些語(yǔ)言編程時(shí)，大量時(shí)間花在了編程序上，而不是研究人員應(yīng)當(dāng)做的思考工作，大大降低了工作效率。如果使用MATLAB編程，一個(gè)優(yōu)化程序只需要10行以下的程序，因此基本不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，這樣在1分鐘左右就完成了編程，并且馬上就可以運(yùn)行看到結(jié)果，如果想改變優(yōu)化算法，只需要把優(yōu)化的函數(shù)名改掉就可以了，也就是說使用MATLAB，工作效率可能有成百上千倍的提高，使得研究工作真正是在做研究，而不是在編程。 1.8 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的特點(diǎn)是題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實(shí)際問題簡(jiǎn)化加工而成，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。由于競(jìng)賽是由三名大學(xué)生組成一隊(duì)，在三天時(shí)間內(nèi)分工合作，共同完成一篇論文，因而也培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神。競(jìng)賽活動(dòng)介紹:全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM) http:/ 國(guó)際