沒有幻燈片標(biāo)題 - 南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系

1、數(shù)學(xué)建模與系統(tǒng)仿真主講:許春根南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系Tel: 84315877(O)Email:Web: http:/www.xuchung.8 預(yù)備知識: 微積分(或高等數(shù)學(xué))、線性代數(shù)、微分方程、概率論、計算機基礎(chǔ)等。參考書: 數(shù)學(xué)模型(第二版) 姜啟源編 高等教育出版社 第一章 建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模1.7 數(shù)學(xué)建模的工具軟件1.8 數(shù)學(xué)建模競賽 玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機 物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符

2、號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米.甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=2

3、0, y=5）； 回答原問題（船速每小時20千米）。數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)

4、進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計 預(yù)報與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù)知識經(jīng)濟如虎添翼1.3 數(shù)學(xué)建模示例3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設(shè)通常 三只腳著地放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCODC B A 用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C

5、兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f() , g()是連續(xù)函數(shù)對任意, f(), g()至少一個為0數(shù)學(xué)問題已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗造的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.

6、令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因為f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.評注和思考建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子和 f(), g()的確定3.2 商人們怎樣安全過河問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的

7、前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk第k次渡船上的商人數(shù)vk第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由

8、s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110 窮舉法 編程上機 圖解法狀態(tài)s=(x,y) 16個格點 10個 點允許決策 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況 年 1908 1

9、933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長3.3 如何預(yù)報人口的增長指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計算公式x(t) 時刻t的人口基本假設(shè) : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù)今年人口 x0, 年增長率 rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長

10、過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定r固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬） 1860 1870 1880 1960 1970

11、 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4 (百萬)模型應(yīng)用預(yù)報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通

12、過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機理分析。二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的問題模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想象力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)

13、果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界理論實踐1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)

14、域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策、建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想象力洞察力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評價、改進別人作過的模型 親自動手，認(rèn)真作幾個實際題目1.7 數(shù)學(xué)建模工具軟件介紹數(shù)學(xué)建模一般借助于數(shù)學(xué)軟件.如：Mathematica、 Matlab、SAS、MathCADMapleMathematica3.0,4.0窗口簡介Mathematica 2.1窗口簡介Mathematica

15、的畫圖功能數(shù)學(xué)軟件的種類及其特點通用符號計算軟件通用數(shù)值運算軟件專業(yè)軟件計算程序庫教學(xué)、演示類軟件符號計算軟件MathematicaReduceMapleMuMathDeriveEureke數(shù)值運算軟件MATLABMathCAD專業(yè)軟件統(tǒng)計軟件：SAS、SPSS有限元計算：ANSYS、SAP球體幾何及大地測量： Spheric神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：Neural Work Professional.程序庫早期的FORTRAN計算庫Numerical Recipes 通用C語言數(shù)值計算程序庫一些專業(yè)計算包（非特定語言）其他教育軟件MathCADSmathMath Extra.數(shù)學(xué)軟件在教學(xué)中的應(yīng)用大規(guī)模運算數(shù)

16、值實驗輔助教學(xué)一個用計算機做數(shù)學(xué)的系統(tǒng)MATHEMATICAMathematicaMathematica的基本功能數(shù)值運算（Numeric Computation）符號運算（Algebric Computation）圖像處理（Graphics ）語言功能（Programing Language)Mathematica在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例迭代計算與繪圖求最大、最小值復(fù)雜積分的計算微分方程的求解方程組)的求解、矩陣運算Matlab6.0窗口簡介 MATLAB是基于矩陣的一種計算工具，它已經(jīng)成為世界各國高校和研究人員中最為流行的軟件之一。它提供了豐富可靠的矩陣運算、數(shù)據(jù)處理、圖形繪制、圖像處理等便

17、利工具，并且由于Matlab的廣泛應(yīng)用，很多理論的創(chuàng)始人在MATLAB上開發(fā)了相關(guān)的工具箱，現(xiàn)在MATLAB附帶的各方面工具箱有：控制系統(tǒng)、通訊、符號運算、小波計算、偏微分方程、數(shù)據(jù)統(tǒng)計、圖像、金融、LMI控制、QFT控制、數(shù)字信號處理、模糊控制、模型預(yù)估控制、頻域辨識、高階譜分析、統(tǒng)計學(xué)、非線性控制系統(tǒng)、圖像處理、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)、m 分析、信號處理、插值、優(yōu)化、魯棒控制、控制系統(tǒng)設(shè)計、系統(tǒng)辨識等等，并且MATLAB提供了圖形化的時域仿真程序-Simulink，在高校中還開發(fā)有：振動理論、化學(xué)統(tǒng)計學(xué)、語音處理等等方面的工具箱。 使用MATLAB，工作效率可能有成百上千倍的提高，使得研究工作真正是在

18、做研究，而不是在編程。使用MATLAB大大簡化了學(xué)習(xí)和研究中編程量，比如：使用C或者Fortran編寫一個優(yōu)化的程序，一般需要幾百行或者幾千行的程序，并且在首次寫程序時還可以能需要大量的時間來調(diào)試這個程序，當(dāng)這個程序能夠運行時，可能花費掉一個星期或者更長的時間，而下一次在進行另一種優(yōu)化方法的運算時，需要同樣的時間工作，也就是說，使用這些語言編程時，大量時間花在了編程序上，而不是研究人員應(yīng)當(dāng)做的思考工作，大大降低了工作效率。如果使用MATLAB編程，一個優(yōu)化程序只需要10行以下的程序，因此基本不會出現(xiàn)錯誤，這樣在1分鐘左右就完成了編程，并且馬上就可以運行看到結(jié)果，如果想改變優(yōu)化算法，只需要把優(yōu)化的函數(shù)名改掉就可以了，也就是說使用MATLAB，工作效率可能有成百上千倍的提高，使得研究工作真正是在做研究，而不是在編程。 1.8 數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽的特點是題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實際問題簡化加工而成，對數(shù)學(xué)知識要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。由于競賽是由三名大學(xué)生組成一隊，在三天時間內(nèi)分工合作，共同完成一篇論文，因而也培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神。競賽活動介紹:全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM) http:/ 國際