新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)：專題強(qiáng)化練6 空間中的垂直關(guān)系

1、專題強(qiáng)化練6空間中的垂直關(guān)系一、選擇題 1.(2020河北石家莊第二中學(xué)高一下月考,)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1的中點(diǎn)為E,AC與BD交于點(diǎn)O,平面過點(diǎn)E且與直線OC1垂直,若AB=1,則平面截該正方體所得截面圖形的面積為()A.64B.62C.32D.342.(2020山東煙臺(tái)第二中學(xué)高一下月考,)如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形,使B、C、D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H,那么在這個(gè)空間圖形中必有()A.AG平面EFHB.AH平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF3.(2020

2、湖北武漢江夏一中、漢陽一中高三下聯(lián)考,)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ABAC,AA1平面A1B1C1,則下列選項(xiàng)中,能使異面直線BC1與A1C相互垂直的條件為()A.A1CA=45B.BCA=45C.四邊形ABB1A1為正方形D.四邊形BCC1B1為正方形4.(2020重慶江津中學(xué)、綦江中學(xué)等六校高三下聯(lián)考,)如圖,棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為線段AB1的中點(diǎn),M,N分別為線段AC1和棱C1D1上任意一點(diǎn),則PM+22MN的最小值為()A.24B.22C.1D.2二、填空題5.(2020安徽合肥一六八中學(xué)高二上期中,)經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有.

3、6.(2020湖北襄陽五中、夷陵中學(xué)高三下聯(lián)考,)三棱錐S-ABC中,點(diǎn)P是RtABC斜邊AB上一點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:若SA平面ABC,則三棱錐S-ABC的四個(gè)面都是直角三角形;若AC=BC=SC=2,SC平面ABC,則三棱錐S-ABC的外接球表面積為12;若AC=3,BC=4,SC=5,S在平面ABC上的射影是ABC的內(nèi)心,則三棱錐S-ABC的體積為2;若AC=3,BC=4,SA=3,SA平面ABC,則直線PS與平面SBC所成的最大角為45.其中正確命題的序號(hào)是.三、解答題7.(2020天津靜海第一中學(xué)高一下期中,)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,CC1

4、=4,M為棱CC1上一點(diǎn).(1)若C1M=1,求異面直線A1M和C1D1所成角的正切值;(2)若C1M=2,求證BM平面A1B1M.8.(2020山東滕州一中高一下月考,)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,點(diǎn)E、F分別是棱PC和PD的中點(diǎn).(1)求證:EF平面PAB;(2)若AP=AD,且平面PAD平面ABCD,證明:AF平面PCD.深度解析9.()如圖,四邊形ABCD是正方形,O是該正方形的中心,P是平面ABCD外一點(diǎn),PO底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).求證:(1)PA平面BDE;(2)平面BDE平面PAC.10.(2020四川南充高三第一次適應(yīng)性考試,)如圖,在四棱錐P-A

5、BCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA底面ABCD.(1)當(dāng)a為何值時(shí),BD平面PAC?證明你的結(jié)論;(2)若在棱BC上至少存在一點(diǎn)M,使PMDM,求a的取值范圍.答案全解全析一、選擇題1.A連接OE,BE,ED,C1E.易得OC12=1+12=32,OE2=14+12=34,EC12=2+14=94,OC12+OE2=EC12,OEOC1,易得BD平面ACC1A1,BDOC1,又OEBD=O,OC1平面BDE,所得截面為BDE.SBDE=12BDOE=12232=64,截該正方體所得截面圖形的面積為64.故選A.2.B易知AHHE,AHHF,又HEHF=H,AH平面EFH,B

6、正確;過A只有一條直線與平面EFH垂直,A不正確;易知AGEF,EFAH,又AGAH=A,EF平面HAG,又EF平面AEF,平面HAG平面AEF,過H作直線l垂直于平面AEF,則l一定在平面HAG內(nèi),C不正確;HG不垂直AG,HG平面AEF不正確,D不正確.故選B.3.A如圖,連接AC1.易知AA1平面ABC,AA1AB,又ABAC,AA1AC=A,AB平面ACC1A1.A1C平面ACC1A1,ABA1C,當(dāng)異面直線BC1與A1C相互垂直時(shí),由ABBC1=B,可得A1C平面ABC1,AC1平面ABC1,A1CAC1,四邊形ACC1A1為正方形,A1CA=45,反之亦然,即A1CA=45時(shí),可得

7、BC1A1C成立.故選A.4.C如圖,連接C1D,過M作MHC1D于H,連接HN,過H作HH1C1D1于H1,則MHAD,MHAD=C1HC1D.AD平面CC1D1D,MH平面CC1D1D.易知HH1DD1,HH1DD1=C1HC1D,即MHAD=HH1DD1,AD=DD1,MH=HH1,在RtMHN中,MN2=MH2+HN2,HNHH1,MH2+HN2MH2+HH12=2MH2,即MN22MH2,MN2MH,PM+22MNPM+MH1,即PM+22MN的最小值為1.故選C.二、填空題5.答案1個(gè)或無數(shù)個(gè)解析設(shè)平面外一點(diǎn)為A,平面內(nèi)一點(diǎn)為O,若OA,則過OA的任一平面都垂直,所以過OA存在無數(shù)

8、個(gè)平面與平面垂直;若OA不垂直于,則過點(diǎn)A有唯一的直線l與平面垂直,OA與l確定唯一的平面與垂直,所以過OA存在唯一的平面與平面垂直.故答案為1個(gè)或無數(shù)個(gè).6.答案解析對(duì)于,SA平面ABC,AB、AC、BC平面ABC,SAAB,SAAC,SABC,又BCAC,SAAC=A,BC平面SAC,SC平面SAC,BCSC,三棱錐S-ABC的四個(gè)面都是直角三角形,正確;對(duì)于,若AC=BC=SC=2,SC平面ABC,則三棱錐S-ABC的外接球可以看作棱長為2的正方體的外接球,2R=23(R為外接球的半徑),球的表面積為12,正確;對(duì)于,設(shè)ABC的內(nèi)心是O,則SO平面ABC,連接OC,則有SO2=SC2-O

9、C2=5-2=3,SO=3,三棱錐S-ABC的體積V=13SABCSO=1312343=23,不正確;對(duì)于,若SA=3,SA平面ABC,則直線PS與平面SBC所成的角最大時(shí),P點(diǎn)與A點(diǎn)重合,易知AS與平面SBC所成的角為ASC,在RtSCA中,tanASC=33=1,ASC=45,直線PS與平面SBC所成的最大角為45,正確.故答案為.三、解答題7.解析(1)C1D1B1A1,B1A1M是異面直線A1M和C1D1所成的角.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1平面BCC1B1,A1B1B1M,B1C1=BC=2,C1M=1,B1M=B1C12+MC12=4+1=5,tanB1A1M=B

10、1MA1B1=52,即異面直線A1M和C1D1所成角的正切值為52.(2)證明:當(dāng)C1M=2時(shí),B1M=BM=BC2+CM2=22,B1M2+BM2=BB12,B1MBM,A1B1平面BCC1B1,BM平面BCC1B1,A1B1BM.又A1B1B1M=B1,BM平面A1B1M.8.證明(1)E、F分別是棱PC和PD的中點(diǎn),EFCD,又在矩形ABCD中,ABCD,EFAB,AB平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB.(2)在矩形ABCD中,ADCD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CD平面ABCD,CD平面PAD,又AF平面PAD,CDAF.PA=AD,F是PD的中點(diǎn)

11、,AFPD,PD平面PCD,CD平面PCD,PDCD=D,AF平面PCD.方法總結(jié)證明線面平行的關(guān)鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線,找線的方法可利用三角形的中位線或平行公理;線面垂直的判定可由線線垂直得到,注意線線是相交的,而要求證的線線垂直又可以轉(zhuǎn)化為已知的線面垂直(有時(shí)來自面面垂直)來考慮.9.證明(1)如圖,連接OE,O、E分別是AC、PC的中點(diǎn),PAOE,又PA平面BDE,OE平面BDE,PA平面BDE.(2)PO底面ABCD,BD底面ABCD,POBD,又正方形中BDAC,POAC=O,BD平面PAC,而BD平面BDE,平面BDE平面PAC.10.解析(1)當(dāng)a=2時(shí),BD平面PAC.證明如下:當(dāng)a=2時(shí),矩形ABCD為正方形,則BDAC.PA平面ABCD,BD平面ABCD,BDPA.又