統(tǒng)計學對應分析課件

1、統(tǒng)計學從數據到結論第十四章 對應分析 行和列變量的相關問題 在因子分析中，或者只對變量（列中的變量）進行分析，或者只對樣品（觀測值或行中的變量）進行分析；而且利用載荷圖來描述各個變量之間的接近程度。典型相關分析也只研究列中兩組變量之間的關系。行和列變量的相關問題 然而，在很多情況下，所關心的不僅僅是行或列本身變量之間的關系，而是行變量和列變量的相互關系；這就是因子分析等方法所沒有說明的了。先看一個例子。例子（數據ChMath.txt )為了考察漢字具有的抽象圖形符號的特性能否會促進兒童空間和抽象思維能力。該數據以列聯表形式展示在表中： 在研究讀寫漢字能力與數學的關系的研究時，人們取得了232個

2、美國亞裔學生的數學成績和漢字讀寫能力的數據。例子（數據ChMath.txt )該數據關于漢字讀寫能力的變量有三個水平：“純漢字”意味著可以完全自由使用純漢字讀寫，“半漢字”意味著讀寫中只有部分漢字（比如日文），而“純英文”意味著只能夠讀寫英文而不會漢字。而數學成績有4個水平（A、B、C、D）。 人們可以對這個列聯表進行前面所說的c2檢驗來考察行變量和列變量是否獨立。結果在下面表中（通過AnalyzeDescriptive StatisticsCrosstabs） 所有的檢驗都很顯著，看來兩個變量的確不獨立。對應分析但是如何用象因子分析的載荷圖那樣的直觀方法來展示這兩個變量各個水平之間的關系呢？

3、這就是對應分析（correspondence analysis）方法。對應分析方法被普遍認為是探索性數據分析的內容，因此，讀者只要能夠會用數據畫出描述性的點圖，并能夠理解圖中包含的信息即可。 對應分析 處理列聯表的問題僅僅是對應分析的一個特例。一般地，對應分析常規(guī)地處理連續(xù)變量的數據矩陣；這些數據具有如在主成分分析、因子分析、聚類分析等時所處理的數據形式。對應分析 在對應分析中，根據各行變量的因子載荷和各列變量的因子載荷之間的關系，行因子載荷和列因子載荷之間可以兩兩配對。如果對每組變量選擇前兩列因子載荷，則兩組變量就可畫出兩因子載荷的散點圖。由于這兩個圖所表示的載荷可以配對，于是就可以把這兩個

4、因子載荷的兩個散點圖畫到同一張圖中，并以此來直觀地顯示各行變量和各列變量之間的關系。對應分析 由于列聯表數據形式和一般的連續(xù)變量的數據形式類似，所以也可以用對應分析的數學方法來研究行變量各個水平和列變量各個水平之間的關系；雖然對不同數據類型所產生結果的解釋有所不同，數學的原理是一樣的。下面通過對ChMath.txt數據的計算和結果分析來介紹對應分析。 首先看對應分析結果的一個主要SPSS展示，然后再解釋該圖的來源和解釋。 運用純漢字的點和最好的數學成績A最接近，而不會漢字只會英文的點與最差的數學成績F（或者D，雖然在縱坐標稍有差距）最接近，而用部分漢字的和數學成績B接近。對應分析的數學原理是什

5、么？結果解釋根據SPSS對數據ChMath.sav的計算，得到一些表格。其中第一個就是下面的各維的匯總表。這里所涉及的是行與列因子載荷之間的關系；選擇行和列變量的顯著的因子載荷的標準是一樣的。選擇多少就涉及幾維。為了畫出散點圖，就至少要選擇兩維了。 表中的術語 Inertia慣量, 為每一維到其重心的加權距離的平方。它度量行列關系的強度。Singular Value奇異值（是慣量的平方根），反映了是行與列各水平在二維圖中分量的相關程度，是對行與列進行因子分析產生的新的綜合變量的典型相關系數。Chi Square就是關于列聯表行列獨立性c2檢驗的c2統(tǒng)計量的值，和前面表中的相同。其后面的Sig為

6、在行列獨立的零假設下的p-值，注釋表明自由度為(4-1)(3-1)=6，Sig.值很小說明列聯表的行與列之間有較強的相關性。Proportion of Inertia慣量比例，是各維度（公因子）分別解釋總慣量的比例及累計百分比，類似于因子分析中公因子解釋能力的說明。 解釋 從該表可以看出，由于第一維的慣量比例占了總比例的93.9%，因此，其他維的重要性可以忽略（雖然畫圖時需要兩維，但主要看第一維橫坐標）。在SPSS的輸出中還有另外兩個表分別給出了畫圖中兩套散點圖所需要的兩套坐標。解釋 該表給出了圖中三個漢字使用點的坐標：純漢字(-.897,-.240)，半漢字(.102,.491)，純英文(.

7、970,-.338)，以及四個數學成績點的坐標：數學A(-.693,-.345)，數學B(-.340,.438)，數學C(.928,.203)，數學C(1.140,-.479)。兩表中的概念不必記；其中Mass為行與列的邊緣概率；Score in Dimension是各維度的分值 (二維圖中的坐標)；Inertia:就是前面所提到的慣量，為每一行/列到其重心的加權距離的平方。 SPSS的實現打開ChMath.sav數據，其形式和本章開始的列聯表有些不同。其中ch列代表漢字使用的三個水平；而math列代表數學成績的四個水平；第一列count實際上是ch和math兩個變量各個水平組合的出現數目，也

8、就是列聯表中間的數目。由于count把很大的本應有232行的原始數據簡化成只有12行的匯總數據，在進行計算之前必須進行加權。也就是點擊圖標中的小天平，再按照count加權即可。SPSS的實現加權之后，選擇AnalyzeData ReductionCorrespondence Analysis，然后把“漢字使用”選入Row（行），再點擊Define Range來定義其范圍為1(Minimum value)到3(Maximum value)，之后點擊Update。類似地，點擊Continue之后，把“數學成績”選入Column (列)，并以同樣方式定義其范圍為1到4。由于其他選項可以用默認值，就可

9、以直接點擊OK來運行了。這樣就得到上述表格和點圖。附錄對應分析的數學因子分析對變量和對樣品要分別對待. 對應分析把變量和樣本同時反映到相同坐標軸(因子軸)的一張圖形上. 數學上, 令A=aij為np矩陣, x=xi 為n-(列)向量, y=yj 為p-(列)向量. 那么(r,x,y)稱為對應分析問題C0(A)的解, 如果行記分(row score) xi和列記分yj的加權均值成比例, 而列記分yj和行記分xi的加權均值成比例. 數值r為行列記分的相關(在典型相關的意義上). 記R=diag(ai.), C=diag(a.i), R1/2= diag(a.i1/2), 則上面式子為rx=R-1A

10、y; ry=C-1Ax或rR1/2x=(R-1/2AC-1/2)C1/2y; rC1/2y=(C-1/2A R-1/2)R1/2x= (R-1/2 A C-1/2 )R1/2xX為一個解的條件是下面特征值問題有解(最大特征值為1是平凡解, 兩組非零特征值相同!)令前面的特征值問題可以寫成兩個特征值問題有同樣的非零特征值.如U是ZZ的特征向量, 則ZU是ZZ的特征向量. ZZ的特征根為l1l2lp; ZZ相應的特征向量為u1,u2,up. ZZ相應的特征向量為v1,v2,vn.對最大的m個特征值得因子載荷陣可以對變量和樣品作兩兩因子載荷圖.返回 教學重點教學過程教學總結第八章 區(qū)間估計STATS

11、TAT 一家食品生產企業(yè)以生產袋裝食品為主，每天的產量約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應不低于100克，否則即為不合格。為對產量質量進行檢測，企業(yè)設有質量檢查科專門負責質量檢驗，并經常向企業(yè)高層領導提交質檢報告。質檢的內容之一就是每袋重量是否符合要求。 由于產品的數量大，進行全面的檢驗是不可能的，可行的辦法是抽樣，然后用樣本數據估計平均每袋的重量。質檢科從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，下表1是對每袋食品重量的檢驗結果。實踐中的統(tǒng)計STAT 根據表1的數據，質檢科估計出該天生產的食品每袋的平均重量在101.38109.34克之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過4克。產品

12、的合格率在96.07%73.93%之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過16%。表1 25袋食品的重量（克）112.5102.6100.0116.6136.8101.0107.5123.595.4102.8103.095.0102.097.8101.5102.010808101.6108.498.4100.5115.6102.2105.093.3STAT 質檢報告提交后，企業(yè)高層領導人提出幾點意見：一是抽取的樣本大小是否合適？能不能用一個更大的樣本進行估計？二是能否將估計的誤差在縮小一點？比如，估計平均重量時估計誤差不超過3克，估計合格率時誤差不超過10%。三是總體平均重量的方差是

13、多少？因為方差的大小說明了生產過程的穩(wěn)定性，過大或過小的方差都意味著應對生產過程進行調整。STAT本章重點1、抽樣誤差的概率表述；2、區(qū)間估計的基本原理；3、小樣本下的總體參數估計方法；4、樣本容量的確定方法；本章難點1、一般正態(tài)分布標準正態(tài)分布；2、t分布；3、區(qū)間估計的原理；4、分層抽樣、整群抽樣中總方差的分解。STAT點估計的缺點：不能反映估計的誤差和精確程度區(qū)間估計：利用樣本統(tǒng)計量和抽樣分布估計總體參數的可能區(qū)間【例1】CJW公司是一家專營體育設備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務質量， CJW公司每月都要隨即的抽取一個顧客樣本進行調查以了解顧客的滿意分數。根據以往的調查，滿意分數的標準

14、差穩(wěn)定在20分左右。最近一次對100名顧客的抽樣顯示，滿意分數的樣本均值為82分，試建立總體滿意分數的區(qū)間。8.1.1抽樣誤差抽樣誤差：一個無偏估計與其對應的總體參數之差的絕對值。抽樣誤差 = （實際未知）8.1總體均值的區(qū)間估計（大樣本n30）STAT要進行區(qū)間估計，關鍵是將抽樣誤差 求解。若 已知，則區(qū)間可表示為： 此時，可以利用樣本均值的抽樣分布對抽樣誤差的大小進行描述。 上例中，已知，樣本容量n=100,總體標準差 ，根據中心極限定理可知，此時樣本均值服從均值為 ，標準差為 的正態(tài)分布。即：STAT8.1.2抽樣誤差的概率表述 由概率論可知， 服從標準正態(tài)分布，即，有以下關系式成立：一

15、般稱， 為置信度，可靠程度等，反映估計結果的可信程度。若事先給定一個置信度，則可根據標準正態(tài)分布找到其對應的臨界值 。進而計算抽樣誤差STAT若，則查標準正態(tài)分布表可得，抽樣誤差 此時抽樣誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的3.92的區(qū)間包含總體均值的概率是95%，或者說，樣本均值產生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。 常用的置信度還有90%，95.45%，99.73%，他們對應的臨界值分別為1.645，2和3，可以分別反映各自的估計區(qū)間所對應的精確程度和把握程度。STAT8.1.3計算區(qū)間估計： 在CJW公司的例子中，樣本均值產生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。因此，

16、可以構建總體均值的區(qū)間為，由于，從一個總體中抽取到的樣本具有隨機性，在一次偶然的抽樣中，根據樣本均值計算所的區(qū)間并不總是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯系的。如下圖所示：STAT3.923.92圖1 根據選擇的在 、 、 位置的樣本均值建立的區(qū)間STAT 上圖中，有95%的樣本均值落在陰影部分，這個區(qū)域的樣本均值3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 因此，總體均值的區(qū)間的含義為，我們有95%的把握認為，以樣本均值為中心的3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 通常，稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對應的置信水平為 置信區(qū)間的估計包含兩個部分：點估計和描述估計精確度的正負值。也將正負值稱為誤差邊際或極限誤差，

17、反映樣本估計量與總體參數之間的最大誤差范圍?？偨Y：STAT8.1.4計算區(qū)間估計： 在大多數的情況下，總體的標準差都是未知的。根據抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標準差s作為總體標準差的點估計值，仍然采用上述區(qū)間估計的方法進行總體參數的估計。STAT【例2】 斯泰特懷特保險公司每年都需對人壽保險單進行審查，現公司抽取36個壽保人作為一個簡單隨即樣本，得到關于、投保人年齡、保費數量、保險單的現金值、殘廢補償選擇等項目的資料。為了便于研究，某位經理要求了解壽險投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計。投保人年齡投保人年齡投保人年齡投保人年齡12345678932504024334445484

18、410111213141516171847313639464539384519202122232425262727435436344823364228 2930313233343536343934354253284939STAT上表是一個由36個投保人組成的簡單隨機樣本的年齡數據?，F求總體的平均年齡的區(qū)間估計。分析：區(qū)間估計包括兩個部分點估計和誤差邊際，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計。解：已知（1）樣本的平均年齡（2）誤差邊際STAT樣本標準差誤差邊際（3）90%的置信區(qū)間為39.5 2.13 即（37.37，41.63）歲。 注意（1）置信系數一般在抽樣之前確定，根據樣本所建立的區(qū)間能包

19、含總體參數的概率為（2）置信區(qū)間的長度（準確度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動，若要提高估計準確度，可以擴大樣本容量來達到。STAT8.2總體均值的區(qū)間估計：小樣本的情況在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣分布。我們討論總體服從正態(tài)分布的情況。t分布的圖形和標準正態(tài)分布的圖形類似，如下圖示：STAT0標準正態(tài)分布t分布（自由度為20）t分布（自由度為10）圖2標準正態(tài)分布與t分布的比較STAT在分布中，對于給定的置信度，同樣可以通過查表找到其對應的臨界值，利用臨界值也可計算區(qū)間估計的誤差邊際因此，總體均值的區(qū)間估計在總體標準差未知的小樣本情況下可采用下式進行

20、：假定總體服從正態(tài)分布；STAT【例3】謝爾工業(yè)公司擬采用一項計算機輔助程序來培訓公司的維修支援掌握及其維修的操作，以減少培訓工人所需要的時間。為了評價這種培訓方法，生產經理需要對這種程序所需要的平均時間進行估計。以下是利用新方對名職員進行培訓的培訓天數資料。根據上述資料建立置信度為的總體均值的區(qū)間估計。（假定培訓時間總體服從正態(tài)分布）。職員時間職員時間職員時間STAT解：依題意，總體服從正態(tài)分布，（小樣本），此時總體方差未知?？捎米杂啥葹椋╪-1）=14的t分布進行總體均值的區(qū)間估計。樣本平均數樣本標準差誤差邊際95%的置信區(qū)間為53.87 3.78 即（50.09，57.65）天。STAT

21、8.3確定樣本容量誤差邊際其計算需要已知若我們選擇了置信度由此，得到計算必要樣本容量的計算公式：STAT【例4】在以前的一項研究美國租賃汽車花費的研究中發(fā)現，租賃一輛中等大小的汽車，其花費范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的標準差為9.65美元。假定進行該項研究的組織想進行一項新的研究，以估計美國當前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設計該項新的研究時，項目主管指定對總體平均日租賃支出的估計誤差邊際為2美元，置信水平為95%。解：依題意，可得將以上結果取下一個整數（90）即為必要的樣本容量。STAT 說明： 由于總體標準差

22、 在大多數情況下 是未知的，可以有以下方法取得 的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本標準差；（2）抽取一個預備樣本進行試驗性研究。用實驗性樣本的標準差作為 的估計值。（3）運用對 值的判斷或者“最好的猜測”，例如，通?？捎萌嗟淖鳛?的近似值。STAT8.4總體比例的區(qū)間估計8.4.1區(qū)間估計 對總體比例 的區(qū)間估計在原理上與總體均值的區(qū)間估計相同。同樣要利用樣本比例 的抽樣分布來進行估計。若， 則樣本比例近似服從正態(tài)分布。同樣，抽樣誤差類似的，利用抽樣分布（正態(tài)分布）來計算抽樣誤差STAT上式中， 是正待估計的總體參數，其值一般是未知，通常簡單的用 替代 。即用樣本方差 替代總

23、體方差 。則， 誤差邊際的計算公式為：STAT【例5】1997年菲瑞卡洛通訊公司對全國范圍每內的902名女子高爾夫球手進行了調查，以了解美國女子高爾夫球手對自己如何在場上被對待的看法。調查發(fā)現，397名女子高爾夫球手對得到的球座開球次數感到滿意。試在95%的置信水平下估計總體比例的區(qū)間。分解：解：依題意已知，（1）樣本比例（2）誤差邊際STAT （3）95%的置信區(qū)間0.44 0.0324 即（0.4076，0.4724）。 結論：在置信水平為95%時，所有女子高爾夫球手中有40.76%到47.24%的人對得到的球座開球數感到滿意。 8.4.2 確定樣本容量 在建立總體比例的區(qū)間估計時，確定樣

24、本容量的原理與8.3節(jié)中使用的為估計總體均值時確定樣本容量的原理相類似。STAT【例6】在例中，該公司想在1997年結果的基礎上進行一項新的調查，以重新估計女子高爾夫球手的總體中對得到的球座開球此數感到滿意的人數所占的比例。調查主管希望這項新的調查在誤差邊際為0.025、置信水平為95%的條件下來進行，那么，樣本容量應該為多大？解：依題意，可得將以上結果取下一個整數（1515）即為必要的樣本容量。STAT 說明： 由于總體比例 在大多數情況下是未知的，可以有以下方法取得 的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本比例；（2）抽取一個預備樣本進行試驗性研究。用實驗性樣本的比例作為 的估計

25、值。（3）運用對 值的判斷或者“最好的猜測”；（4）如果上面的方法都不適用，采用 。STAT8.5其他抽樣方法下總方差的計算 在第六章中學習到，除簡單隨機抽樣方法外，在現實中還可運用分層抽樣、整群抽樣、系統(tǒng)抽樣等抽樣方法，每一次抽樣都涉及到對總體參數的估計過程。 通過前面的知識，可知對總體參數的估計過程中比較關鍵的因素是計算總體方差。如果已知總體方差，總體參數區(qū)間估計的過程與前面介紹的方法相同。STAT8.5.1分層抽樣在簡單隨機抽樣中，我們計算總方差是采用的公式是在分層抽樣中，我們事先將總體按一定的標志進行分層，所形成的數據實際等同于組距式數列，在組距式數列中，總方差需要運用方差加法定理來計

26、算。STAT 這就是說，如果要計算總方差，則需分別將組間方差和平均組內方差先計算出來。在分層抽樣下，是否真的需要由組間方差和平均組內方差相加來計算總方差呢？ 我們來考察一下分層抽樣的實施過程： 層間抽樣：在每一層抽取 全面調查 層間方差 層內抽樣：抽取部分樣本單位 抽樣調查 層內方差 我們說抽樣誤差是抽樣調查這種調查方式所特有的誤差，因此上述兩部分誤差中只有由于抽樣調查所形成的層內方差才是抽樣誤差的組成部分，而由于全面調查所形成的層間方差不是抽樣誤差的組成部分。STAT因此，【例7】某廠有甲、乙兩個車間生產保溫瓶，乙車間產量是甲車間的2倍?，F按產量比例共抽查了60支，結果如下。試以95.45%

27、的可靠程度推斷該廠生產的保溫瓶的平均保溫時間的可能范圍?！纠?】某地一萬住戶，按城鄉(xiāng)比例抽取一千戶，進行彩電擁有量調查，結果如下。試以95.45%的概率推斷該地彩電擁有戶比率的范圍。STAT8.5.2整群抽樣與分層抽樣類似，整群抽樣下，總方差的計算仍然需要分解：同樣考察整群抽樣的實施過程：層間抽樣：在部分層中抽取 抽樣調查 群間方差層內抽樣：抽取全部樣本單位 全面調查 群內方差類似的，只有群間方差是抽樣誤差的組成部分。 STAT因此，【例9】某鄉(xiāng)播種某種農作物3000畝，分布在60塊地段上，每塊地段50畝?，F抽取5塊地，得資料如下?，F要求以95%的概率估計這種農作物的平均畝產?？傮w：R=60群

28、樣本：r=5群兩個總體參數的區(qū)間估計兩個總體參數的區(qū)間估計總體參數符號表示樣本統(tǒng)計量均值之差比例之差方差比兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立大樣本)兩個總體均值之差的估計(大樣本)1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個樣本是獨立的隨機樣本使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z兩個總體均值之差的估計 (大樣本)1.1， 2已知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為1、 2未知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體均值之差的估計(例題分析)【例】某地區(qū)教育委員會想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分

29、數之差，為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關數據如右表 。建立兩所中學高考英語平均分數之差95%的置信區(qū)間 兩個樣本的有關數據 中學1中學2n1=46n1=33S1=5.8 S2=57.2English兩個總體均值之差的估計(例題分析)解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為 兩所中學高考英語平均分數之差的置信區(qū)間為5.03分10.97分兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立小樣本)兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12= 22 )1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等：1=2兩個獨立的小樣本(n130和n230)總體方差的合并估計量估計量x1-x2的抽樣標準差兩個總

30、體均值之差的估計(小樣本: 12=22 )兩個樣本均值之差的標準化兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體均值之差的估計(例題分析)【例】為估計兩種方法組裝產品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件產品所需的時間（分鐘）下如表。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區(qū)間兩個方法組裝產品所需的時間 方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521兩個總體均值之差的估計(例題分析)解: 根據樣本數據計算得 合并估計量為：兩種方法組裝產品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.14分鐘7.26分鐘兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12 22 )1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：12兩個獨立的小樣本(n130和n230)使用統(tǒng)計量兩個總體均值之差的估計(小樣本: 1222 )兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為自由度兩個總體均值之差的估計(例題分析)【例】沿用前