INS理論與技術(shù)06(復(fù)合運(yùn)動(dòng)與慣導(dǎo)基本方程)

1、INS理論與應(yīng)用（6.慣導(dǎo)基本方程）INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程授課內(nèi)容1.哥氏加速度2.絕對(duì)加速度3.比力方程4.慣導(dǎo)的高度通道INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程要解釋陀螺儀的基本特性，有必要說(shuō)明一下哥氏（Coriolis）加速度的概念。要說(shuō)明加速度所感測(cè)的量，有必要推導(dǎo)出絕對(duì)加速度的表達(dá)式。為了研究慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的理論實(shí)現(xiàn)，要在建立加速度計(jì)所測(cè)量的比力表達(dá)式，即比力方程。比力方程是慣性系統(tǒng)的一個(gè)基本方程。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程1.哥氏加速度從運(yùn)動(dòng)學(xué)知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)對(duì)某一動(dòng)參考系作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)這個(gè)動(dòng)參考系又在作牽連轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則該動(dòng)點(diǎn)將具有哥氏加速度。載體相對(duì)地球運(yùn)動(dòng)，地球又相對(duì)慣性空間運(yùn)

2、動(dòng)。因此，對(duì)地球而言，載體的慣性加速度包含了相對(duì)加速度和哥氏加速度等。若要求得載體相對(duì)地球的運(yùn)動(dòng)，就要確定這些加速度之間的關(guān)系。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程從運(yùn)動(dòng)學(xué)知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)對(duì)某一動(dòng)參考系作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)這個(gè)動(dòng)參考系又在作牽連轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則該動(dòng)點(diǎn)將具有哥氏加速度。設(shè)有一直桿繞定軸以角速度作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，直桿上有一小球以速度vr沿直桿作勻速移動(dòng)。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程直桿是動(dòng)參考系，小球可看成為動(dòng)點(diǎn)。小球在直桿上的移動(dòng)可看成為動(dòng)點(diǎn)對(duì)動(dòng)參考系作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而直桿繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)可看成為動(dòng)參考系在作牽連轉(zhuǎn)動(dòng)。小球的相對(duì)速度就是它在直桿上的移動(dòng)速度。小球的牽連速度就是直桿上與小球相重合的那個(gè)點(diǎn)的速度。

3、這里直桿繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)使?fàn)窟B點(diǎn)具有切向速度，即為小球的牽連速度。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程設(shè)在某一瞬時(shí) t，直桿處于 OA1 位置，小球在直桿上處于 B1 位置。這時(shí)小球的相對(duì)速度矢量的大小為 vr，方向沿 OA1方向；小球的牽連速度矢量大小為 ve=r，方向與 OA1垂直。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程經(jīng)過(guò)時(shí)間t 后，直桿轉(zhuǎn)動(dòng)了=t 角度，處于OA2 位置；小球在直桿上移動(dòng)了r = vrt距離，處于B2位置。小球的相對(duì)速度的大小不變，為 vr=vr，但因直桿的牽連轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)小球一起轉(zhuǎn)動(dòng) ，故其方向改變成沿OA2方向。小球牽連速度矢量用 ve 表示。因牽連點(diǎn)改變到B2，故牽連速度的大小改變成

4、 ve=(r+r) ，其方向與 OA2垂直。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)了t 時(shí)間后，小球的相對(duì)速度和牽連速度都有變化。在速度矢量圖中，相對(duì)速度增量vr表示了相對(duì)速度方向的變化。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程牽連速度增量ve表示了牽連速度大小和方向的變化。將ve分解為ve1 和 ve2 ，它們分別表示了牽連速度方向和大小的變化。速度的方向或大小發(fā)生變化，表明必有加速度存在。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程首先分析使相對(duì)速度方向改變的加速度。從相對(duì)速度矢量圖可得速度增量vr的大小為用t 除以等式兩邊并求極限值，則得如下加速度INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程該加速度的方向可由t 0

5、 (即0)時(shí)r的極限方向看出，它垂直于和vr所組成的平面。這就是由直桿牽連轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，使小球相對(duì)速度方向改變的加速度。如果直桿沒(méi)有牽連轉(zhuǎn)動(dòng)，那么小球相對(duì)速度的方向不會(huì)發(fā)生改變，這項(xiàng)加速度是不存在的。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程再看使?fàn)窟B速度大小改變的加速度。從牽連速度矢量圖可得速度增量ve2 的大小為用t 除以等式兩邊并求極限值，則得如下加速度INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程該加速度的方向可由t 0 (即0)時(shí)Ve2的極限方向看出，它也垂直于和vr所組成的平面。這就是由小球相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，使小球牽連速度大小改變的加速度。如果小球沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，那么小球牽連速度的大小不會(huì)發(fā)生改變，這項(xiàng)加速度是

6、不存在的。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程至于使小球牽連速度方向改變的加速度（即與牽連速度增量ve1 對(duì)應(yīng)的加速度），不難看出，它是由直桿的牽連轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的，并且它是向心加速度，所以此項(xiàng)加速度實(shí)為小球的牽連加速度。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程本例中，小球在直桿上作勻速移動(dòng)，故小球的相對(duì)加速度為零，直桿繞固定軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，故小球的牽連加速度中不存在切向加速度，只存在向心加速度。這就表明，上述導(dǎo)出的兩項(xiàng)加速度既不是相對(duì)加速度，也不是牽連加速度，而是一種附加加速度，它就稱為哥氏加速度。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程由此看出哥氏加速度的形成原因：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，牽連轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)使相對(duì)速度的方

7、向不斷發(fā)生改變，而相對(duì)運(yùn)動(dòng)又使?fàn)窟B速度的大小不斷發(fā)生改變；這兩種原因都造成了同一方向上附加的速度變化率，該附加加速度變換率即為哥氏加速度。或簡(jiǎn)言之，哥氏加速度是由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)與牽連轉(zhuǎn)動(dòng)的相互影響而形成的。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程上面是以牽連角速度與相對(duì)速度vr相垂直的情況進(jìn)行分析。哥氏加速度的大小為上述兩項(xiàng)加速度之和的模，即ac=2vr哥氏加速度的方向如右圖所示。哥氏加速度 ac垂直于牽連角速度與相對(duì)速度Vr所組成的平面，從沿最短路徑握向Vr的右手旋進(jìn)方向即為 ac的方向。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程在一般情況下，牽連角速度與相對(duì)速度之間可能成任意夾角。按照類似的方法進(jìn)行分析，可得哥

8、氏加速度的一般表達(dá)式為： ac=2vr即在一般情況下哥氏加速度的大小為而哥氏加速度的方向仍按右手旋進(jìn)規(guī)則確定。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程2.絕對(duì)加速度當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度a應(yīng)等于相對(duì)加速度ar、 牽連加速度ae與哥氏加速度ac的矢量和， 即a= ar +ae + ac這就是一般情況下的加速度合成定理。 INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程如圖所示，設(shè)在地球表面附近航行的運(yùn)載體所在點(diǎn)為q。它在慣性系OXiYiZi中的位置矢量為R，在地球系OXeYeZe 中的位置矢量為 r，而地心相對(duì)日心的位置矢量為 R0。根據(jù)各量關(guān)系，可以寫出位置矢量方程：INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方

9、程上式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，則有利用矢量的相對(duì)導(dǎo)數(shù)和絕對(duì)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，上式第二項(xiàng)，即載體位置矢量r在地心慣性坐標(biāo)中的導(dǎo)數(shù)可表達(dá)為從而得到運(yùn)載體絕對(duì)速度的表達(dá)式INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程上式中各項(xiàng)所代表的物理意義如下dR/dt|i：位置矢量R在慣性系中的變化率，代表運(yùn)載體相對(duì)慣性空間的速度，即絕對(duì)速度。dr/dt|e：位置矢量r 在地球坐標(biāo)系中的變化率，代表運(yùn)載體相對(duì)地球的速度，即運(yùn)載體的相對(duì)速度(是重要的導(dǎo)航參數(shù)之一)。dRo/dt|i：位置矢量R0 在慣性系中的變化率，代表地球公轉(zhuǎn)引起的地心相對(duì)慣性空間的速 度，它是運(yùn)載體牽連速度的一部分；ier：代表地球自轉(zhuǎn)引起的牽連點(diǎn)相對(duì)慣性空間的速度，

10、它是運(yùn)載體牽連速度的又一部分。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程運(yùn)載體絕對(duì)速度對(duì)時(shí)間再求一階導(dǎo)數(shù)而而地球相對(duì)慣性空間的角速度ie可以精確地看成是常矢量，即die/dt=0，由此得到運(yùn)載體絕對(duì)加速度的表達(dá)式 ：INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程上式中各項(xiàng)所代表的物理意義如下：d2R/dt2|i：運(yùn)載體相對(duì)慣性空間的加速度，即運(yùn)載體的絕對(duì)加速度。d2r/dt2|e：運(yùn)載體相對(duì)地球的加速度，即運(yùn)載體的相對(duì)加速度；d2Ro/dt2|i：地球公轉(zhuǎn)引起的地心相對(duì) 慣性空間的加速度，它是運(yùn)載體牽連加速度的一部分 ；ieier：代表地球自轉(zhuǎn)引起的牽連點(diǎn)的向心加速度，它是運(yùn)載體牽連速度的又一部分；2iedr/dt|

11、e：運(yùn)載體相對(duì)地球速度與地球自轉(zhuǎn)角速度的相互影響而形成的附加加速度，即運(yùn)載體的哥氏加速度。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程3.比力方程加速度計(jì)的工作原理是牛頓力學(xué)定律 ，其力學(xué)模型如圖所示。敏感質(zhì)量（質(zhì)量設(shè)為m）借助彈簧（彈簧剛度設(shè)為k）被約束在儀表殼體內(nèi)，并且通過(guò)阻尼器與儀表殼體相聯(lián)。當(dāng)沿加速度的敏感軸方向無(wú)加速度輸入時(shí)，質(zhì)量塊相對(duì)儀表殼體處于零位。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程當(dāng)安裝加速度計(jì)的運(yùn)載體沿敏感軸方向以加速度 a 相對(duì)慣性空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，儀表殼體也隨之作加速運(yùn)動(dòng)。但質(zhì)量塊由于保持原來(lái)的慣性，故它朝著與加速度相反方向相對(duì)殼體位移而壓縮或拉伸彈簧。當(dāng)相對(duì)位移量達(dá)一定值時(shí)，彈簧變形所給出

12、的彈簧力 kxA（xA為位移量）使質(zhì)量塊以同一加速度 a 相對(duì)慣性空間運(yùn)動(dòng)。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程在此穩(wěn)態(tài)情況，有如下關(guān)系成立：kxA=ma，或xA=ma/k。即穩(wěn)態(tài)時(shí)質(zhì)量塊的相對(duì)位移量xA與運(yùn)載體的加速度 a 成正比。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程地球、月球，太陽(yáng)和其它天體均存在著引力場(chǎng)，加速度計(jì)的測(cè)量將受到引力的 影響 。為了便于說(shuō)明，暫且不考慮運(yùn)載體的加 速度 。設(shè)加速度的質(zhì)量塊受到沿敏感軸方向的引力mG(G為引力加速度)的作用，則質(zhì)量塊將沿著引力作用方向相對(duì)殼體位移而拉伸(或壓縮)彈簧 。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程當(dāng)相對(duì)位移量達(dá)一定值時(shí)彈簧受拉 (或受壓所給出的彈簧力

13、kxG(xG為位 移量)恰與引力mG相平衡。在此穩(wěn)態(tài)情況，有如下關(guān)系成立：kxG=mG，或xG=mG/k即穩(wěn)態(tài)時(shí)質(zhì)量塊的相對(duì)位移量xG與引力加速度G成正比。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程對(duì)照前兩圖可以看出，沿同一軸向的a矢量和G矢量所引起的質(zhì)量塊位移方向相反。綜合考慮運(yùn)載體加速度和引力加速度的情況 下，在穩(wěn)態(tài)時(shí)質(zhì)量塊的相對(duì)位移量為x=m(a-G)/k上式說(shuō)明，穩(wěn)態(tài)時(shí)質(zhì)量塊的相對(duì)位移量x 與(a-G)成正比。 阻尼器則用來(lái)阻尼質(zhì)量塊到達(dá)穩(wěn)定位置的振 蕩。借助位移傳感器可將該位移量變換成電信號(hào)，所以加速度計(jì)的輸出與(a-G)成正比。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程在地球表面附近，把加速度計(jì)的敏感

14、軸安裝得與運(yùn)載體(如火箭)的縱軸平行，當(dāng)運(yùn)載體以 5g(g為重力加速度)的加速度垂直向上運(yùn)動(dòng)，即以a=5g沿敏感軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，因沿敏感軸負(fù)向有引力加速度G=g，故質(zhì)量塊的相對(duì)位移量為x=(5g-(-g)m/k=6mg/k.當(dāng)運(yùn)載體垂直自由降落，即以a=-g沿敏感軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，因沿敏感軸正向有引力加速度 G=-g，故質(zhì)量塊的相對(duì)位移量為x=(-g-(-g)m/k=0.INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程在慣性技術(shù)中，通常把加速度計(jì)的輸入 量a-G稱為“比力”?，F(xiàn)在說(shuō)明它的物理意義 。這里作用在質(zhì)量塊上的外力包括彈簧力 F彈和引力 mG，根據(jù)牛頓第二定律，可以寫出：F彈+mG=ma移項(xiàng)后得：F彈=ma

15、-mG再將上式兩邊同除以質(zhì)量m，得到：F彈/m=a-GINS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程令f=F彈/m，則f=a-G.稱f為比力，于是比力代表了作用在單位質(zhì)量上的彈簧力。比力的大小與彈簧變形量成正比，而加速度計(jì)輸出電壓的大小正是與彈簧變形量成正比，所以加速度計(jì)實(shí)際感測(cè)的量并非是運(yùn)載 體的加速度，而是比力。也因此，加速度計(jì)又稱比力敏感器。作用在質(zhì)量塊上的彈簧力與慣性力和引力的合力大小相等，方向相反。于是又可把比力定義為“作用在單位質(zhì)量上慣性力與引力的合力 (或矢量和)。應(yīng)該注意：比力具有與加速度相同的量綱。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程在比力的表達(dá)式中，a 是運(yùn)載體的絕對(duì)加速度，當(dāng)運(yùn)載體在地球表

16、面運(yùn)動(dòng)時(shí)其表達(dá)式已由前面的公式給出；而G是引力加速度 ，它是地球引力加速度Ge、月球引力加速度Gm、太陽(yáng)引力加速度Gs和其它天體引力加速度即INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程所以，加速度計(jì)敏感到的比力為地球公轉(zhuǎn)引起的向心加速度陽(yáng)引力加速度Gs的量值大致相等, 即d2Ro/dt2|i-Gs=0。在地球表面附近，月球引力加速度的量值 Gm3.910-6Ge；太陽(yáng) 系的行星中距地球最近的金星，其引力加速度約 為 1.910-8Ge；太陽(yáng) 系的行星中質(zhì)量最大的木星，其引力加速度約為 3.710-8Ge。至于太陽(yáng) 系外的其它星系，因距地球更遠(yuǎn)，其引力加速度更加微小 。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程對(duì)于一

17、般精度的慣性系統(tǒng)， 月球及其它天體引力加速度的影響可以忽 略不計(jì)?？紤]到上述這些關(guān)系 ，加速度計(jì)感測(cè)的比力可寫成：上式中，dr/dt|e即為運(yùn)載體相對(duì)地球的運(yùn)動(dòng)速度，用vep代表。同時(shí)注意到，地球引力加速度Ge與地球自轉(zhuǎn)引起的向心加速度共同形成了地球重力加速度，亦即g=Ge-ieierINS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程在上述假設(shè)之下，加速度計(jì)所感測(cè)的比力可改寫成在慣性系統(tǒng)中， 加速度計(jì)安裝在運(yùn)載 體內(nèi)的某一測(cè)量坐標(biāo)系中工作的， 例如直接安裝在與運(yùn)載體固連的運(yùn)載體坐標(biāo)系中 (捷聯(lián)式系統(tǒng))， 或安裝 在與平臺(tái)固連的平臺(tái)坐標(biāo)中(平臺(tái)式系統(tǒng))。假設(shè)安裝加速度計(jì)的測(cè)量坐標(biāo)系為p系，它相對(duì)地球坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角

18、速度為ep， 則有 INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程應(yīng)用上述關(guān)系，加速度計(jì)所敏感的比力可進(jìn)一步寫為或者進(jìn)一步寫作INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程上式就是運(yùn)載體相對(duì)地球運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度計(jì)所敏感的比力表達(dá)式，通常稱為比力方程。式中各項(xiàng)所代表的物理意義如下：vep：運(yùn)載體相對(duì)地球的運(yùn)動(dòng)速度； epvep：測(cè)量坐標(biāo)系相對(duì)地球轉(zhuǎn)動(dòng)所引起的向心加速度，ievep：運(yùn)載體相對(duì)地球速度與地球自轉(zhuǎn)角速度的相互影響而形成的哥氏加速度；g：地球重力加速度。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程比力方程表明了加速度計(jì)所敏感的比力與運(yùn)載體相對(duì)地球的加速度之間的關(guān)系，所以它是慣性系統(tǒng)的一個(gè)基本方程。不論慣性系統(tǒng)的具體方案和結(jié)構(gòu)如何

19、，該方程都是適用的。將等式右邊除dvep/dt之外的量稱為有害加速度。導(dǎo)航計(jì)算需要的是運(yùn)載體相對(duì)地球的加速度。但從上式看出，加速度計(jì)不能分辨有害加速度和運(yùn)載體相對(duì)加速度。因此，必須從加速度計(jì)所測(cè)得的比力中補(bǔ)償?shù)粲泻铀俣鹊挠绊懀拍艿玫竭\(yùn)載體相對(duì)地球的加速度，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)而獲得運(yùn)載體相對(duì)地球的速度及位置等導(dǎo)航參數(shù) 。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程上述的比力方程是向量形式，也可以寫成沿平臺(tái)坐標(biāo)系的投影形式。平臺(tái)坐標(biāo)系的取法不同，投影的形式也不同，我們先確定平臺(tái)坐標(biāo)系的ozp軸的方向，oxp、oyp軸的方向確定在后面再討論。ozp軸的正方向選為重力加速度的反方向，即指向天。INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程根據(jù)矢量叉乘的公式，可以把慣導(dǎo)基本方程寫成如下的矩陣形式INS理論與應(yīng)用6.慣導(dǎo)基本方程4.慣導(dǎo)的高度通道根