幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解

1、幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解 幾何基礎(chǔ)是研究幾何學的理論基礎(chǔ)，以及相關(guān)問題的一門學科。 題 記幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。歐幾里得的“幾何公理體系”也并不另外。有人就曾經(jīng)列舉過幾何原本至少存在的以下五個方面的不足：一、希爾伯特(Hilbert，David)公理體系 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解第一，定義含糊不清，有時無法理解，所用的都是一些日常用語，而不是精準的數(shù)學語言，如“點是沒有部分的”，“線是有長度但是沒有寬度的”等等。第二，證明過程常常依賴直觀，這樣

2、可能由于作圖的不精準或直觀錯覺，導致得出不正確的結(jié)論。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解第三，公理系不完備，缺少順序公理、合同公理和連續(xù)公理（事實上歐幾里得在邏輯推理中曾經(jīng)使用了“連續(xù)”的概念，但是在幾何原本中從未提到過這個概念）。第四，有些公理不獨立，例如第四公設(shè)“所有直角都相等”，很容易從其它公理推導出來。 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解第五，利用圖形移動不變性，用重合來證明全等，此法至少有兩點不足：一是移動、重合概念沒有邏輯依據(jù)，二是為什么會有圖形的移動不變性？哪些幾何性質(zhì)在圖形移動中不變都沒有交代清楚，也不可能交代清楚等。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解為了克服以上缺

3、陷，后來者，從多方面展開了研究。從公元三世紀的帕善朗到后來的法國數(shù)學家達朗貝爾于1757年首次對幾何原本提出批判意見、勒讓德于1794年編寫新幾何教材對幾何原本也提出了的批判。最后，集大成者應該是德國數(shù)學家希爾伯特。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解希爾伯特于1899年出版了幾何基礎(chǔ)這一世界公認的公理化方法的經(jīng)典不朽之作，在前人研究成果的基礎(chǔ)上建立起了一個相對更加和諧、獨立和完備的新的幾何公理體系希爾伯特公理體系。它是歐幾里得“公理體系”的繼承發(fā)展和升華。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解希爾伯特公理體系包括三個原始概念：點、線、面；三個不定義關(guān)系：在之間、在之上、合同于；五個基本關(guān)系

4、：兩個結(jié)合關(guān)系（點與直線結(jié)合、點與平面結(jié)合）；一個順序關(guān)系（一點在另兩點之間）；一個合同關(guān)系（線段與線段合同、角與角合同）；以及以下五類（結(jié)合公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續(xù)公理）共二十條公理的公理體系。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解第一類公理 結(jié)合公理（也稱為關(guān)聯(lián)公理或從屬公理）1 對于兩個不同的點，必有一條直線通過這兩點。2 對于兩個不同的點，至多有一條直線通過這兩個點。3 每條直線上至少有兩個不同的點，至少有三個點不在同一直線上。4 對于不在一條直線上的三個點，恒有一個平面通過其中每一個點，每個平面上至少有一個點。5 對于不在同一直線上的三個點，至多有一個平面通過其中每一

5、個點。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解6 如果一直線有不同兩點在某一平面上，那么直線全在平面上。7 如果兩個平面有一個公共點，那么至少還有另一個公共點。8 至少有四個點不在同一平面上。顯然，由1 、2 可以得到我們熟悉的兩個推理：推論1：任意不同的兩個點確定唯一通過它們的直線。（“不同兩點確定唯一直線”）推論2：不同兩條直線至多有一公共點。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解由4 、5 也可得到如下我們熟悉的一個推論：推論3：任意不在同一直線上的三個點確定唯一的通過它們的平面。（“不在同一直線的三點確定唯一平面”）幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解另外，如果只是建立平面幾何學體系，

6、可以去掉后五個公理。當然，在標準意義下，我們主張作為教師還是要全面理解整個體系并能與現(xiàn)行中小學教材中所采用的“局部公理化體系”意義下的幾何發(fā)生關(guān)聯(lián)。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解第二類公理 順序公理（也稱為介于公理）設(shè)有同在一直線上的三點，則我們由經(jīng)驗上知道有一個點介于兩點之間?！敖橛谥g”或“在之間”這個概念乃表示三點的“順序關(guān)系”，希爾伯特采用它作為原始概念或稱元誼。本組公理有四條：1 如果點B在點A和點C之間，那么A，B，C是同一直線上的不同的三個點，而且點B也在點A和點C之間。2 對于任意不同的兩個點A和點B，至少有一點C，使得點B在點A與點C之間。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非

7、歐幾何講解 無序兩點A和B的集合叫做線段，記為AB或BAA和B之間的點叫線段AB內(nèi)部的點或內(nèi)點或線段AB上的點點A和B都稱為線段AB的端點在直線AB上, 除去點A、B和線段AB的內(nèi)點外, 其它的點叫做線段AB外部的點或外點 點A和B之間的一切點的集叫做線段AB的內(nèi)部或開線段，記為(AB) 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解3 在同一條直線上任意三個不同的點中，至多有一個點在其它兩個點之間。4 （帕須公理）設(shè)A，B，C三點不在同一條直線上，而直線在平面ABC上，但不通過A，B，C中任何一點，如果上有一點在A和B之間，則必還有一點在A和C或B和C之間。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解最后

8、一個公理是德國數(shù)學家帕須（Pasch,1843-1930年）首先提出來的，也叫截割公理。同樣，如果只是建立平面幾何學體系，可以去掉最后一個公理。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解第三類公理 合同公理 有了“在之間”的概念和順序公理，就可以得出以下定義：線段：介于A、B兩點之間，有無限多個點。這些點的全體叫做線段。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解射線：設(shè)O和A是直線上兩點。則除這兩點外，在直線上還有無限個點X，使得O不介于A和X之間，又有無限個點Y，使得O不介于A和Y之間。所有一切X點連同A點組成的總體，以及一切Y點合成的全體，各叫做一條半線或射線。記著射線OX及0Y.點0叫端點或原點

9、。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解角：一點0及由這點發(fā)出的兩條射線0X與0Y合起來叫做一個角?，F(xiàn)在我們認定線段與線段之間、角與角之間具有一種相互關(guān)系，這個關(guān)系我們用“合同”或“相等”一詞表示。有時也用“”來標記。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解這組公理有5個：1 設(shè)A，B是直線a上兩個不同的點，A是同一或另一直線上a的點，那么在a和A的指定一側(cè)恒有點B，使線段AB和線段AB合同(相等或全合),記為AB= AB 。2 如果兩個線段（相同或是不同的）都與第三個線段合同，那么這兩個線段合同（相等）。簡言之，若AB= AB ， 則 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解3 設(shè)AB和BC是直

10、線a上兩個沒有公共內(nèi)點的線段， AB和BC是同一或另一直線上兩個沒有公共內(nèi)點的線段，如果合同，合同，那么AC和AC合同。簡言之，若 AB=AB而且BC=BC 那么AC=AC （線段可加性）。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解4 已知平面上的一個角(h,k)，同一或另一平面上的一條直線a和a上以O(shè)為頂點的射線h，那么上a的指定一側(cè)恰有一條射線k，使(h,k)與(h,k)合同； (h,k)與自身合同。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解5 對于兩個三角形ABC和ABC ，如果線段AB與AB合同，線段AC與AC合同，BAC與BAC合同，那么ABC與AB C 合同。由這些公理可以推證線段與線段或

11、角與角的相等關(guān)系并具有“反身性”、“對稱性”、“傳遞性”，又可建立關(guān)于線段或角的“大于”、“小于”、“加法”以及“圖形的變換”等等概念。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解第四類公理 平行公理 同在一個平面上而且沒有公共點的兩直線叫做平行線，或稱兩直線相互平行。以下公理首先由德國數(shù)學家普雷費爾（Playfair,17481819rh ）替代“第五公設(shè)”，所以普遍把它叫做“普雷費爾公理”。 設(shè)a是任意一條直線，A是a外的任意一點，在a與A所確定的平面上，至多有一條直線通過A且與a不相交。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解第五類公理 連續(xù)公理連續(xù)公理（戴得金(Dedekind)公理） 若線段

12、AB及其內(nèi)部的所有的點能被分為兩類，有性質(zhì)(1) 每點恰屬于一類；A屬于第一類，B屬于第二類；(2) 第一類中異于A的每個點在A和每個第二類點之間，則存在點C，使A和C之間的點均屬于第一類，C和B之間的點均屬于第二類點C稱為戴得金點或界點（C可能屬于第一類，也可能屬于第二類），由它決定的分類叫做一個戴得金分割（分劃）戴得金點是唯一的. 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解第五類公理 連續(xù)公理1 （阿基米德公理或稱度量公理）對于任何線段AB與CD，在以點A為頂點，通過點B的射線上，存在有限點 ，使得線段 都與CD合同，而且點B在A與An之間.幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解幾何基礎(chǔ)希爾伯

13、特公理體系和非歐幾何講解2 康托公理（或稱完備性公理）設(shè)在直線上給了無限個線段AiBi（i=1,2,3,n,）,其中Ai+1Bi+1線段的點全屬于 AiBi 。假如無論給出多么小的線段PQ都能在該串線段中總有線段AiBi小于PQ,那么在直線上有且僅有一占C屬于該串線段的每個線段或是其中某些線段的端點。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解有了“度量公理”，就可以度量任意線段的“長度”；“康托公理”能解決相反問題，即保證已知長度的線段必然存在。這兩個公理奠定了線段長度的度量理論的基礎(chǔ)。以上介紹的希爾伯特公理體系是一個完備的體系，利用它足以建立系統(tǒng)嚴密的歐幾里得幾何學。或者說，從這一公理體系就能夠

14、演繹出全部中小學幾何的內(nèi)容，并且可以無限發(fā)展下去并產(chǎn)生出豐富燦爛的成果。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解當然，值得說明的是，希爾伯特公理體系不是世界上獨一無二的完備的公理體系。事實上，人們應用公理化思想構(gòu)造出了許許多多幾何公理體系，如外爾的現(xiàn)代歐氏公理體系（向量基礎(chǔ)上），羅巴切夫斯基的非歐幾何公理體系等。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解特別值得一提的是，我國在大綱意義下組織的中小學數(shù)學教材，特別是中學數(shù)學教材的內(nèi)容，原則上都是按公理化思想指導下按公理化方法組織展開的。它的體系事實上不是一個嚴格的公理化體系，而只是一個“局部公理化體系”。特別是平面幾何、立體幾何內(nèi)容的組織，一般地按以

15、下邏輯方式展開的：幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解各章節(jié)教材在具體展開時，為了便于學生接受，一般都增添了便于理解教材內(nèi)容的實例，采用如下的塊狀結(jié)構(gòu)：感性材料、實例、背景設(shè)置公理、定義、概念引進并證明定理、公式應用舉 例幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解從全部教材的邏輯結(jié)構(gòu)和具體內(nèi)容來看，總體上體現(xiàn)了公理化的基本思想。但就其公理系統(tǒng)而論，由于考慮到中學生接受能力和教材的精簡，因而對公理獨立性的要求不是很嚴格，而且公理系統(tǒng)也不完備，有時還要借助于直觀。例如：平面幾何教材，從它的邏輯結(jié)構(gòu)和具體內(nèi)容看，基本上沿用了歐氏幾何的不完善的公理系統(tǒng)。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解20世紀80

16、年代以來我國的平面幾何教材中一共引進幾何公理16條，等量公理5條，不等量公理6條。在16條幾何公理中，有11條新增公理，5條強化了的公理?！皟牲c之間，線段最短”，“同位角相等，則兩直線平行”等都是新增的公理；而“經(jīng)過直線外一點，有且僅有一條直線和這條直線平行”是強化了的公理。 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解教材的這種處理方案，雖然從公理系統(tǒng)來說是不夠嚴格的，有悖于公理體系的完備性和獨立性。但是這樣做能減少初學者的困難，便于學生接受，從教學論的角度看是有積極作用的。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解對此，學術(shù)界、教育界歷來存在不同觀點。其中，我國著名數(shù)學教育家張景中院士就曾指出：“引

17、進了公理系統(tǒng)，是不是在課堂上就要把這個公理系統(tǒng)作為平面幾何學習的開端呢？大可不必。從公理系統(tǒng)入手講幾何，就像學騎自行車先學上車一樣，騎自行車本來先要上車，但學騎時可以先請別人扶著，爬上車學前進，學會了蹬車前進，回過頭來學上車是容易的?！睅缀位A(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解于是，在標準意義下的數(shù)學新教材對此作了重大的改革。刪去了大部分的公理和定理，弱化了嚴格的邏輯證明的要求，呈現(xiàn)方式也與原來順序大不相同，有的版本則完全不同。例如，西師版教材就以“體、面、線、點”的順序展開呈現(xiàn)的。整個體系也估且算得上是一個“局部的公理體系”，談不上什么“相容性”、“獨立性”和“完備性”。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系

18、和非歐幾何講解但是，實踐說明，這樣也沒有對“學生形成空間觀念，形成推理能力”產(chǎn)生太大的影響。當然，在局部環(huán)節(jié)上出現(xiàn)了學生演繹推理能力下降等現(xiàn)象。然而也沒有研究表明這跟教材體系有直接的關(guān)聯(lián)。所有這些還有待我們?nèi)フJ真的研究和討論。如何用希爾伯特公理體系去推導歐氏幾何的全部定理,可參看傅章秀編幾何基礎(chǔ)（北京師范大學出版社,1984年）或希爾伯特著,江澤涵譯幾何基礎(chǔ),科學出版社。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解二、非歐幾何學 歐幾里得幾何學的第五公設(shè)，由于并不“自明”，引起了歷代數(shù)學家的關(guān)注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起了兩種非歐幾何學體系。這不僅對數(shù)學產(chǎn)生了巨大影響，而且對于人類文化都產(chǎn)生

19、了深刻影響?？梢哉f是人類思想史上的一個奇跡。 1.羅巴切夫斯基幾何幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解羅巴切夫斯基（）幾何：俄羅斯數(shù)學家羅巴切夫斯基在嘗試解決歐氏第五公設(shè)問題的過程中，從失敗走上他的發(fā)現(xiàn)之路的。他從1815年著手研究平行線理論的。開始他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設(shè)的證明。在保存下來的他的學生聽課筆記中，就記有他在18161817學年度在幾何教學中給出的一些證明?？墒?，很快他便意識到自己的證明是錯誤的。 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解羅巴切夫斯基從前人和自己的失敗的反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設(shè)的證明。于是，他便調(diào)轉(zhuǎn)思路，著手

20、尋求第五公設(shè)不可證的解答。這是一個全新的，也是與傳統(tǒng)思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設(shè)不可證的過程中發(fā)現(xiàn)了一個嶄新的幾何世界。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解那么，羅巴切夫斯基是怎樣證得第五公設(shè)不可證的呢？又是怎樣從中發(fā)現(xiàn)新幾何世界的呢？原來他創(chuàng)造性地運用了處理復雜數(shù)學問題常用的一種邏輯方法反證法。這種反證法的基本思想是，為證“第五公設(shè)不可證”，首先對第五公設(shè)加以否定，然后用這個否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開邏輯推演。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解首先假設(shè)第五公設(shè)是可證的，即第五公設(shè)可由其它公理公設(shè)推演出來。那么，在新公理系統(tǒng)

21、的推演過程中一定會出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設(shè)和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設(shè)可證”這一假設(shè)，從而也就間接證得“第五公設(shè)不可證”。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解依照這個邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公設(shè)的等價命題普雷菲爾公理“過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交”作以否定，得到否定命題“過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，并用這個否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)展開邏輯推演。在推演過程中，他得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。但是，經(jīng)過仔細審查，卻沒有發(fā)現(xiàn)它們之間存在任何邏輯矛盾。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和

22、非歐幾何講解于是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結(jié)果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構(gòu)成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設(shè)可證性的反駁，也就是對第五公設(shè)不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何在現(xiàn)實界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解羅巴切夫斯基開創(chuàng)了數(shù)學的一個新領(lǐng)域，但他的創(chuàng)造性工作在生前始終沒能得到學術(shù)界的重視和承認。就在他去世的前兩年，俄國著名數(shù)學家布尼雅可夫斯基還在其所著的平行線一書中對羅巴切夫斯基發(fā)難，他試圖通過論述非歐幾何與經(jīng)驗認識的

23、不一致性，來否定非歐幾何的真實性。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解英國著名數(shù)學家莫爾甘對非歐幾何的抗拒心里表現(xiàn)得就更加明顯了，他甚至在沒有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地說：“我認為，任何時候也不會存在與歐幾里得幾何本質(zhì)上不同的另外一種幾何?！蹦獱柛实脑挻砹水敃r學術(shù)界對非歐幾何的普遍態(tài)度。在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者德國的高斯也不肯公開支持他的工作。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解高斯是當時數(shù)學界首屈一指的學學巨匠，負有“歐洲數(shù)學之王”的盛名，早在1792年，也就是羅巴切夫斯基誕生的那一年，他就已經(jīng)產(chǎn)生了

24、非歐幾何思想萌芽，到了1817年已達成熟程度。他把這種新幾何最初稱之為“反歐幾何”，后稱“星空幾何”，最后稱“非歐幾何”。但是，高斯由于害怕新幾何會激起學術(shù)界的不滿和社會的反對，會由此影響他的尊嚴和榮譽，生前一直沒敢把自己的這一重大發(fā)現(xiàn)公之于世，只是謹慎地把部分成果寫在日記和與朋友的往來書信中。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解當高斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作平行線理論的幾何研究后，內(nèi)心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度稱贊羅巴切夫斯基是“俄國最卓越的數(shù)學家之一”；另一方面，卻又不準朋友向外界泄露他對非歐幾何的有關(guān)告白，也從不以任何形式對羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開評論

25、；他積極推選羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學院通訊院士,可是，在評選會和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推選通知書中,對羅巴切夫斯基在數(shù)學上的最卓越貢獻創(chuàng)立非歐幾何卻避而不談。幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解羅氏幾何的公理系統(tǒng)歐氏、羅氏兩種幾何的全部基本概念和前四組公理IIV均相同,僅第五組公理不同 V (歐幾里得平行公理, 簡稱歐氏平行公理) 對任何直線a和不在其上的任何點A，至多有一直線過A且與a共面不交平行公理的等價命題：第五公設(shè) 在一平面上，若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解V*（羅巴切夫斯基平行

26、公理, 簡稱羅氏平行公理）有這樣的直線a和不在其上的點A，過A至少有兩條直線與a共面不交幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解羅氏幾何就是公理I-IV和V*的一切可能的邏輯推論系統(tǒng).絕對幾何(公理系統(tǒng))是歐氏幾何(公理系統(tǒng))和羅氏幾何(公理系統(tǒng))的公共部分.歐(羅)氏幾何公理系統(tǒng) = 絕對幾何公理系統(tǒng) + 歐氏平行公理V(V*). 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解命題1*（P1）有兩條共面直線a，b和截它們的第三條直線c，a與b被c所截成的同側(cè)二內(nèi)角之和小于二直角，而a和b不相交幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解命題2*（P2） 有兩條共面不交的直線a和b以及截它們的第三條直線c，a

27、與b被c所截成的同位角不合同 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解命題3*（P3） 在同一平面上，有已知直線的一垂線和一斜線不相交命題4*（P4）有這樣的三角形，它的三高線不共點（即：有的三角形無垂心）命題5*（P5）有這樣的不共線的三點，不存在通過它們的圓（即：有的三角形無外接圓） 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解命題6*（P6）有這樣的角及其內(nèi)部一點，過此點不能引直線與角的兩邊都相交命題7* P7 有一個三角形的內(nèi)角和小于幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解命題8*（P8）在任何平面上，對于任何銳角及其任一邊，都有這樣的直線，它垂直于該邊而不與另一邊相交 命題9*（P9）兩三角形

28、若有三對對應角合同，則此兩個三角形合同（羅氏幾何中特有的三角形合同的判定定理-角角角定理, 記作a.a.a.） 【注】 據(jù)此, 在羅氏幾何中不存在一般的相似三角形. 幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解命題10*（P10）對任何直線l及其外任何點A，過A至少有兩條直線與l共面不交命題11* P11 任何三角形的內(nèi)角和小于推論 凸四邊形的內(nèi)角和小于2.命題12*（P12）勾股定理不成立幾何基礎(chǔ)希爾伯特公理體系和非歐幾何講解定理 三角形的內(nèi)角和不是常數(shù).證明： 設(shè)ABC的內(nèi)角和S()=k為常數(shù). 在ABC的兩邊AB和AC上分別取點B和C, 使得AC*C且AB*B 因為ABC和ABC有公共內(nèi)角A, 于是由S()=k為常數(shù), 可知+=k-=+.