《高中函數(shù)萬(wàn)能解題套路》在一元二次方程根的分布中的應(yīng)用

1、樂(lè)倍思教育 PAGE 4高中函數(shù)萬(wàn)能解題套路在一元二次方程根的分布中的應(yīng)用摘自高中函數(shù)萬(wàn)能解題套路（羅荷玉著）例：已知函數(shù)，且在中存在，使得，求的取值范圍。說(shuō)明：在很多參考書(shū)上，此種類(lèi)型的題目被命名為一元二次方程根的分布問(wèn)題，也叫一元二次函數(shù)零點(diǎn)分布問(wèn)題，是高考和競(jìng)賽經(jīng)常涉及到的內(nèi)容。這類(lèi)問(wèn)題是指當(dāng)方程（相當(dāng)于）的根、呈某種分布時(shí)，如當(dāng)時(shí)，函數(shù)的系數(shù)、具有什么特征。一般的參考書(shū)將這種問(wèn)題歸結(jié)為10種類(lèi)型，其中“0分布”4種，“分布”6種（有興趣的讀者可參閱有關(guān)資料）。本質(zhì)上，對(duì)這種問(wèn)題最自然的想法是，用求根公式把、的值求出來(lái)，然后代入題目條件解不等式或不等式組，如當(dāng)時(shí)，有不等式組：然而，求解這

2、種無(wú)理不等式是很麻煩的。那么，如何才能化解這種困境呢？事實(shí)上，如果回顧本章所歸納的解題思想和方法，就可以知道，這是典型的“比較大小的問(wèn)題”。我們知道，對(duì)方程來(lái)說(shuō)，不管其根、的值有多復(fù)雜，都必然分別分布在函數(shù)的兩個(gè)不同單調(diào)區(qū)間上，且恒有。如按以上套路的轉(zhuǎn)化思想，當(dāng)時(shí)，必然有。這樣，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，五個(gè)量、之間的關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為、之間的關(guān)系，又，即轉(zhuǎn)化為、與0的關(guān)系。下一步就是如何確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間了。我們知道，一元二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間由其開(kāi)口（二次項(xiàng)系數(shù)）和對(duì)稱(chēng)軸決定，而對(duì)稱(chēng)軸又與二次項(xiàng)系數(shù)有著關(guān)聯(lián)，于是，按套路的基本操作步驟，我們?cè)谟懻撛摵瘮?shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上得出如下解題步驟：步驟一：以原方程為基

3、礎(chǔ)，構(gòu)造一元二次函數(shù)，如根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)；步驟二：根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與參數(shù)、的位置關(guān)系列表，并求出相應(yīng)的二次項(xiàng)系數(shù)的取值范圍；對(duì)稱(chēng)軸二次項(xiàng)系數(shù)步驟三：結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)與對(duì)稱(chēng)軸的位置情況對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)討論（如果同樣的對(duì)稱(chēng)軸位置，對(duì)應(yīng)著的二次項(xiàng)系數(shù)卻有著、兩種情況，則按、分別討論之）；步驟四：對(duì)每一種情況，根據(jù)參數(shù)、所處的單調(diào)區(qū)間，確定、與0的關(guān)系式。解：由已知有，要存在，使得即要存在，使得也即要存在，使得令 當(dāng)時(shí)，滿足題意。 當(dāng)時(shí)對(duì)稱(chēng)軸二次項(xiàng)系數(shù)或 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)要存在，使得即要滿足題意 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)要存在，使得即要（舍） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)要存在，使得即要滿足題意