數(shù)理方程課件3-1

1、二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法本征值問(wèn)題李莉3-1 二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法二階線(xiàn)性常微分方程為具一般性，設(shè)變數(shù)x是復(fù)變數(shù)，p(x)，q(x)，y(x)為復(fù)變函數(shù)。 p(x)和q(x)稱(chēng)為方程的系數(shù)。方程的解完全由方程的系數(shù)決定方程解的解析性完全由方程系數(shù)的解析性決定用級(jí)數(shù)解法解常微分方程時(shí)，得到的解總是某一指定點(diǎn) 的鄰域內(nèi)收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)。方程系數(shù)p(x)，q(x)在 點(diǎn)的解析性就決定了級(jí)數(shù)解在 點(diǎn)的解析性，或者說(shuō)，決定了級(jí)數(shù)解的形式，例如是泰勒級(jí)數(shù)還是羅朗級(jí)數(shù)。二階線(xiàn)性常微分方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)如果p(x)，q(x)在 點(diǎn)解析，則稱(chēng) 為方程的常點(diǎn)；如果p(x)，q(x)中至少有一個(gè)在 點(diǎn)不解析，則稱(chēng)

2、為方程的奇點(diǎn)；例1：超幾何方程系數(shù)是：在有限遠(yuǎn)處，p(x)，q(x)有兩個(gè)奇點(diǎn)：x=0和x=1。所以，除了x=0和x=1是超幾何方程的奇點(diǎn)外，有限遠(yuǎn)處的其它點(diǎn)都是方程的常點(diǎn)。例2： 勒讓德方程在有限遠(yuǎn)處的奇點(diǎn)為：方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的級(jí)數(shù)解法定理如果p(x)，q(x)在圓 內(nèi)解析，則在此圓內(nèi)常微分方程初值問(wèn)題存在唯一的解y(x)，并且y(x)在此圓內(nèi)單值解析。根據(jù)這個(gè)定理，可以把y(x)在 點(diǎn)的鄰域 內(nèi)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)將這個(gè)形式的級(jí)數(shù)解代入微分方程，比較系數(shù)，就可以求出系數(shù) 。系數(shù) 均可用 ， 表示。設(shè)方程的解為將 和 也展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：代入方程有：由上式可化為：上式可化為：由冪級(jí)數(shù)的乘法：比較等式兩

3、邊 同次冪的系數(shù)有：由此可知 可以由初值 以及 表示出來(lái)，如：以此類(lèi)推，可求出全部系數(shù) ，從而得到方程的級(jí)數(shù)解。例3：在 的鄰域內(nèi)求解常微分方程 解： 這里設(shè)解為則把以上結(jié)果代入方程，比較系數(shù)得：由此可得系數(shù)的遞推公式：得到：于是方程的級(jí)數(shù)解為：通過(guò)這個(gè)實(shí)例，可以看出在常點(diǎn)鄰域內(nèi)求級(jí)數(shù)解的一般步驟： 將相同冪次項(xiàng)的系數(shù)歸并，比較系數(shù)，得到系數(shù)之間的遞推關(guān)系； 反復(fù)利用遞推關(guān)系，求出系數(shù) 的普遍表達(dá)式（用 和 表示），從而最后得出級(jí)數(shù)解。 將（方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的）解展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，代入微分方程；求勒讓德方程 在x=0點(diǎn)鄰域內(nèi)的解，其中l(wèi)是一個(gè)參數(shù)。解：x=0是方程的常點(diǎn)，根據(jù)定理，可知解的形式為：

4、根據(jù)上式求出：代入方程中，有：整理合并，得到根據(jù)泰勒展開(kāi)的唯一性，可得：即這樣就得到了系數(shù)之間的遞推關(guān)系。反復(fù)利用遞推關(guān)系，就可以求得系數(shù)。由遞推公式得：這樣得到l階Legendre方程的級(jí)數(shù)解其中現(xiàn)在確定 和 的收斂半徑。說(shuō)明 和 在|x|1處發(fā)散。在 處， 和 可表示成常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：由Gauss判別法，對(duì) ，有對(duì) ，有可知級(jí)數(shù) 與 均發(fā)散。即方程級(jí)數(shù)解在x=1和x=-1為無(wú)限值。勒讓德多項(xiàng)式在實(shí)際應(yīng)用中，遇到勒讓德方程時(shí)，往往還附有邊界條件：要求在 處收斂（實(shí)際問(wèn)題中， ， 是球坐標(biāo)中角度， ）。勒讓德方程的兩個(gè)無(wú)限級(jí)數(shù)形式解均不滿(mǎn)足這個(gè)條件。注意：勒讓德方程還有一個(gè)參數(shù)l。如果l取某些特定

5、的值，則可能找到滿(mǎn)足以上邊界條件的解?？疾爝f推公式只要l是個(gè)整數(shù)，則當(dāng)k=l時(shí)，由系數(shù) 開(kāi)始，以后的系數(shù)均為零。級(jí)數(shù)便截止于l項(xiàng)，退化為l次多項(xiàng)式，解就可能滿(mǎn)足邊界條件。這樣得到的多項(xiàng)式，稱(chēng)為l階勒讓德多項(xiàng)式。當(dāng) （n=0,1,2.）時(shí)，此時(shí) 稱(chēng)為2n階勒讓德多項(xiàng)式。在以上通解中取 ，則解成為：再取 ，使 ，可得：此時(shí) 稱(chēng)為2n+1階勒讓德多項(xiàng)式。在以上通解中取 ，則解成為：再取 ，使 ，可得：當(dāng) （n=0,1,2.）時(shí)，綜上所述，只有當(dāng)l取整數(shù)時(shí)，勒讓德方程才能在 有解，這個(gè)解就是勒讓德多項(xiàng)式 ?？山y(tǒng)一表示為：其中定解問(wèn)題 構(gòu)成本征值問(wèn)題。本征值：本征解：n階勒讓德多項(xiàng)式 （第一類(lèi)勒讓德函數(shù)

6、）結(jié)論：當(dāng)l不是整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的通解為： ， 在端點(diǎn)上均無(wú)界，此時(shí)方程在-1，1無(wú)有界解；當(dāng)l是整數(shù)時(shí)（奇數(shù)或偶數(shù)）， 和 中一個(gè)是勒讓德多項(xiàng)式 ，另一個(gè)仍為無(wú)窮級(jí)數(shù)，記為 ，方程的通解為： 稱(chēng)為第二類(lèi)勒讓德函數(shù)，它在-1，1仍是無(wú)界的。方程正則奇點(diǎn)鄰域中的級(jí)數(shù)解如果 是p(x)的不超過(guò)一階的極點(diǎn)，即 在 解析；q(x)的不超過(guò)二階的極點(diǎn)，即 在 解析；這種奇點(diǎn)稱(chēng)為方程的正則奇點(diǎn)，否則，稱(chēng)為非正則奇點(diǎn)。定理：設(shè) 是方程 的正則奇點(diǎn)，則在 的領(lǐng)域內(nèi)，方程的基礎(chǔ)解系為：或：其中在方程正則奇點(diǎn)鄰域內(nèi)求解思路： 將正則解 或 代入方程 通過(guò)比較系數(shù)，求出指標(biāo)和遞推關(guān)系 進(jìn)而求出系數(shù)的普遍表達(dá)式實(shí)際

7、的求解過(guò)程中，總是將 形式的解代入方程。 如果能夠同時(shí)求得兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，則任務(wù)完成，沒(méi)有必要再將 形式的解代入方程中； 如果只能求得一個(gè)解，那么就必須將 形式（帶有對(duì)數(shù)部分）的解代入方程中。為了能夠方便地比較系數(shù)，往往需要對(duì)p(x)和q(x)進(jìn)行處理，將它們展開(kāi)為在正則奇點(diǎn)鄰域的冪級(jí)數(shù)形式。在正則奇點(diǎn)鄰域內(nèi)求方程級(jí)數(shù)解的一般步驟：用 乘方程 兩側(cè)，得：其中可化為：由正則奇點(diǎn)的條件知，新系數(shù) ， 在方程奇點(diǎn) 的領(lǐng)域中是解析的，可展成泰勒級(jí)數(shù)第1步：將方程的系數(shù)展開(kāi)為正則奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)形式；不管第二個(gè)解可能取哪種形式，總先設(shè)定解的形式為：從上式求出：第2步：寫(xiě)出第一解形式，將其代入經(jīng)過(guò)變換的方程；將以上結(jié)果代入方程得到：消去因子 后，得：其中，最低次冪項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)（i=0，j=0，n=0時(shí)），其系數(shù)為零的方程是判定方程（指標(biāo)方程）因?yàn)?，所以：第3步：比較系數(shù)，得到判定方程和系數(shù)之間的遞推關(guān)系；由方程 中，一般項(xiàng) 的系數(shù)為零的方程，可得待定系數(shù)之間的遞推關(guān)系。第4步：通過(guò)遞推關(guān)系，得到第一解中系數(shù)的普遍表達(dá)式。當(dāng) 整數(shù)時(shí)，此時(shí)第二解不含對(duì)數(shù)項(xiàng)，用 代入系數(shù)求出第二解；兩個(gè)根：決定第二解的形式（設(shè) ）： 對(duì)應(yīng)于 ，所得即為 。當(dāng) 整數(shù)時(shí)，用遞推