線性空間的性質(zhì)

1、學號：20115034038信潺的懿孝盼學年論文（本科）學 院專 業(yè)信息與計算科學年 級2011 級姓 名魏 云論文題目線性空間的性質(zhì)指導教師 韓英波 職稱 副教授成 績2013年3月16日學年論文成績評定表 TOC o 1-5 h z 摘要1關(guān)鍵字1Abstract1Key words1前言11線性空間的概念2 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 2線性空間的相關(guān)理論32.1線性空間的一些簡單性質(zhì)32.2向量的線性關(guān)系32.3基、維數(shù)、坐標6 HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 3兩個特殊的子空間

2、73.1歐幾里得空間的定義與性質(zhì)73.2酉空間的介紹8 HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 4線性空間的同構(gòu)84.1同構(gòu)映射與線性空間同構(gòu)的定義8104.2同構(gòu)映射的性質(zhì)9 參考文獻線性空間的性質(zhì)摘要：本文首先介紹了與線性空間相關(guān)的一系列基本概念，然后歸納總結(jié)了線 性空間的一些相關(guān)性質(zhì)，包括線性空間的維數(shù)、基及坐標；同構(gòu)映射以及性質(zhì)等， 還包括了向量的線性關(guān)系，同時介紹了一些特殊的線性空間，以及它們的簡單性質(zhì).關(guān)鍵詞：線性空間；基；維數(shù)；同構(gòu)The properties of linear vector spaceAbstract： In th

3、esis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and jud

4、gments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties.Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism前言：線性空間是線性代數(shù)最基本的數(shù)學概念之一，是線性代數(shù)的主要研究對象， 它用公理化的方法引入了一個代數(shù)系統(tǒng).同時線性空間與線性變換也是學習現(xiàn)代 矩陣論時經(jīng)常用到的兩個極其重要的概念，線性空間的理論和方法在自然科學和 工程技術(shù)領(lǐng)域中都有廣泛的應用.

5、下面我們主要研究線性空間及、向量的線性關(guān) 系、基、維數(shù)、坐標、特殊的線性空間以及線性空間的同構(gòu)問題.1.線性空間的概念定義：設(shè)V是非空集合，F(xiàn)是某一個數(shù)域：V上定義了一個加法運算(也就是說， 給出了一個對應法則，按照這個法則，V中任意兩個元素a與p，在V中都有一個 確定的元素Y與只對應，稱為a與p的和，記法y = a + p)，同時也定義了一個用F 上的數(shù)乘以V中元素，乘積保持為V中元素的數(shù)乘運算(也就是說，給出了這樣 一個對應法則，對于F上的任意一個數(shù)人與V中任意一個元素a，按照這個法則， V中總有一個確定的元素8與之對應，稱為人乘a的數(shù)乘積，記法8 =人a)有關(guān) 這兩個運算還滿足以下八條運

6、算律：設(shè) a, p, y g V,人,g Fa + p = p+a；(a + p)+y =a + (p+y);V中存在零元素，記它為0，對任何V中元素a，都有a +0= a成立；對V中的任何元素a，V中一定還存在a的負元素，記為-a，使得a + (-a) =0；1 a = a ;人(pa) = X(pa)；(X + p)a=Xa + pa；X (a + p) = Xa + Xp.這時便稱V是數(shù)域F上的一個線性空間.注：實數(shù)域R上的線性空間稱為是線性空間；復數(shù)域C上的線性空間稱為復線性 空間.2線性空間的相關(guān)理論2.1線性空間的一些簡單性質(zhì)（1）零元素唯一；（2）a的負元素唯一；（3）ka =

7、0 o k = 0 或 a = 0 ；（4）- （-a） = a ；（5）（ka） = （k ）a= k （-a）;（6）k（a-p） = ka kp;（7）Va,p e V,存在唯一的y e V,使得a+p =y.2.2向量的線性關(guān)系2.2.1線性組合與線性表示（1）設(shè)a,., a是線性空間V中的向量組，k，,k e F,稱1n1nka + k a . + k a1 12 2n n為a.,an的一個線性組合；（2）零向量可由任一向量組線性表示；（3）一個向量組中的每一個向量都可由這個向量組線性表示；（4）如果向量a可由p，,p線性表示，而每個p 乂可由a,., a線性表示，則a1ni1n可由

8、,.,a線性表示.2.2.2線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè),.,氣 是線性空間V中的向量組，若有F中不全為0的數(shù),.,kn，使 得ka + k a . + k a =0，1 12 2n n則稱a，,a線性相關(guān)；否則，稱a，,a線性無關(guān)，即若1n1nka + k a . + k a =0，1122nn則 k = k =. = k = 0.若氣,.,氣中有一零向量，則此向量必線性相關(guān).單個零向量線性相關(guān)，一個非零向量線性無關(guān).Fn的m個向量a=(七,氣，,a(i = 1,.,m)線性相關(guān)的充要條件是其次線性方程AX=0有非零解，其中A= (a ) 即r(A) 2 ）線性相關(guān)的充要條件是其中某向量是其余向量的

9、線性組合.（10）設(shè)A g E，則對A施行初等行變換不改變A的列向量線性關(guān)系.2.2.3向量組的等價（1）I和II是線性空間V中的兩個向量組，若I的每個向量都可由II線性表示，II 中的每個向量都可由I線性表出，即I與II可以相互線性表出，就說I與II等價.（2）向量組的等價關(guān)系具有反身性、傳遞性和對稱性.（3）（Steinitz替換定理）設(shè)向量組（I）:a1,氣,.,a線性無關(guān)，并且可由向量 組（II）： P1,.,P線性表示，則（i）i s，則a ,a，,a線性相12m1s12m關(guān).推論2等價的線性無關(guān)的向量組含有相同個數(shù)的向量.2.2.4極大線性無關(guān)組（1）向量組a,.,a中的部分向量P

10、，,P稱為一個極大線性無關(guān)組（簡稱為極1n1r大無關(guān)組），如果（i）中,*線性無關(guān)；（ii）a,.,a中的任一向量都可由P ,., P線性表示.1n1r（2）每一個不全由零向量組成的向量組都有極大無關(guān)組.（3）等價向量組的極大無關(guān)組含有相同個數(shù)的向量.特別地，一個向量組的任意 兩個極大無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量.（4）一個向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為該向量組的秩.（5）秩為r的向量組中的任何r個線性無關(guān)的向量為其一極大無關(guān)組，并且任何 兩個極大無關(guān)組都等價.（6）兩個向量組等價必等秩，但反之不真.（7）設(shè)兩個向量組a,., a與P，P的秩都為r，并且a，,a可由P，P線1S 1t1S1

11、t性表示，則這兩個向量組等價.2.3基、維數(shù)、坐標定義：數(shù)域F上的線性空間V中的向量組a1,a2,.,氣稱為V的一個基，如果（1）aa2,.,a線性無關(guān)；（2）Va e V，a可由aa2,.,a線性表示.V的一個基所含向量的個數(shù)稱為V的維數(shù)，記為dim V.注：（1）線性空間V的一個基實際上就是V中全體向量的一個極大無關(guān)組.（2）基向量是有序的，如果調(diào)換基中向量的次序，就會得到V中的另一個基.（3）若找到V中的一個基，則稱V為有限維的；否則，稱為無限維的.定義：設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，氣,氣,.,氣為V的一個基，對Vae V有以二 ka + k a +. + k a ,1 12 2n n

12、稱（k ,k ,.,k）為a在a ,a，,a下的坐標，其中12 n12nk e F, i = 1,., n .坐標有時也可以寫成列向量的形式.兩個特殊的線性空間3.1歐幾里得空間的定義與性質(zhì).3.1.1定義：設(shè)V是實數(shù)域R上的線性空間，對于V中任二向量x與y，按某規(guī)則定義一個實數(shù)，用（x,y）表示.則稱該實數(shù)為x與y的內(nèi)積，它滿足下列四個條件：（1）交換律(x,y)=(y,x);(2)分配律(x,y+z)=(x,y) + (x,z);(3)其次性(kx,y)=k(x,y), Vk e R（4）非負性（x,x） 0,當且僅當 x=0時 才有，（x,x）=0則稱V為歐幾里得空間，簡稱歐式空間或?qū)崈?nèi)

13、積空間.3.1.2基本性質(zhì)：(1)(x,ky)=k(x,y);(x,0) = (0,x)=0;（3） （E& x ,E門 y ） = &門（x , y ）i i i ii j i ji =1j=1i, j=13.2酉空間介紹定義：設(shè)V是負數(shù)域C上的線性空間，對于V中任意兩個向量x,y,按照規(guī)則有一復數(shù)（%y）與之對應，并稱其為內(nèi)積，它滿足下列四個條件（1）交換律（x,y）= （y,x）這里（y,x）是（x,y）的共軛復數(shù)；(2)分配律 (x,y+z)=(x,y) + (x,z);(3)其次性(kx,y)=k(x,y), Vk g C ；（4）非負性（x,x） 0,當且僅當x=0時才有，實數(shù)（x

14、,x）=0則稱V為一酉空間（或酉交空間，復內(nèi)積空間）.線性空間的同構(gòu)4.1同構(gòu)映射與線性空間同構(gòu)的定義定義1設(shè)V,匕是數(shù)域F上的兩個線性空間，若V到匕有一個雙射b滿足（1）b（a + P） =b（以）=b（P）;（2）b （ka） = kb （a）,其中a, P為V中的任意向量，k為F中的任意數(shù)，則稱b為V到V的一個同構(gòu)映射.1若V與V之間有一個同構(gòu)映射，則稱V與V同構(gòu)，記為V蘭V .1 1 1定義：設(shè)V與V都是歐式空間，若V與V存在同構(gòu)映射b，并且Va, Pg V有(b (以)q (p)=(以，p),則稱歐式空間V與V同構(gòu).1注：若b為由V與V的同構(gòu)映射，則稱V有一個自同構(gòu).4.2同構(gòu)映射的

15、性質(zhì) 設(shè)b為V到V的一個同構(gòu)映射，則1(1)b (0) = 0,b (-a) = b (以)；(2)b(ka + k a +. + k a ) = kb(a ) +. + k b(a )；112 2r r 11r r（3）V中的向量組a1，a2,.,a線性相關(guān)的充要條件是b（%）,.（a,）線性相關(guān).（4）b-1是V到V的一個同構(gòu)映射;1（5）數(shù)域F上的兩個有限維線性空間V，V同構(gòu)的充要條件是它們的維數(shù)相同;1（6）若b : V r V,b : V r V都是同構(gòu)映射，則112122氣：V r匕也是同構(gòu)映射，并且(b b )-1 =b -1b -1;（7）同構(gòu)的線性空間具有反身性、對稱性和傳遞性，因而數(shù)域F上的任意兩個n 維線性空間都同構(gòu)；（8）V與V是兩個有限維歐式空間，則V與V同構(gòu)當且僅當 1212dimV =dimV .參考文獻：楊茂信，陳璞華,庚鏡波.線性代數(shù)（第