線性回歸與梯度下降

1、本文會講到:線性回歸的定義單變量線性回歸cost function：評價線性回歸是否擬合訓練集的方法梯度下降：解決線性回歸的方法之一feature scaling :加快梯度下降執(zhí)行速度的方法多變量線性回歸Linear Regression注意一句話：多變量線性回歸之前必須要Feature Scaling!方法：線性回歸屬于監(jiān)督學習，因此方法和監(jiān)督學習應該是一樣的，先給定一個訓練集，根 據這個訓練集學習出一個線性函數，然后測試這個函數訓練的好不好(即此函數是否足夠擬 合訓練集數據)，挑選出最好的函數(cost function最小)即可；注意：因為是線性回歸，所以學習到的函數為線性函數，即直線

2、函數；因為是單變量，因此只有一個X； 我們能夠給出單變量線性回歸的模型:膈 3)= Oq +。許我們常稱 x 為 feature，h(x)為 hypothesis；從上面“方法”中，我們肯定有一個疑問，怎么樣能夠看出線性函數擬合的好不好呢？我們需要使用到Cost Function (代價函數)，代價函數越小，說明線性回歸地越好(和訓練 集擬合地越好)，當然最小就是0，即完全擬合； 舉個實際的例子：我們想要根據房子的大小，預測房子的價格，給定如下數據集:Size in feet2 (x)Price ($) in 1000s (y)210414161534460232315852 Bl178i-

3、n 根據以上的數據集畫在圖上，如下圖所示:Housing Prices (Portland, ORPrice(in 1000sof dollars)Size (feet2)我們需要根據這些點擬合出一條直線，使得cost Function最小;雖然我們現在還不知道Cost Function內部到底是什么樣的，但是我們的目標是：給定輸入 向量x，輸出向量y，theta向量，輸出Cost值；以上我們對單變量線性回歸的大致過程進行了描述；Cost FunctionCost Function的用途：對假設的函數進行評價，cost function越小的函數，說明擬合訓練數據擬合的越好；下圖詳細說明了當c

4、ost function為黑盒的時候，cost function的作用；(11 vector x vector y(3) vector th&ta蟀:比即存在數據生心 g 料罰，則虹Q2外y = 1;2.3： 如果侵設預刪了國裁為丫 - x ,則發(fā)Slco&t value - 0 ;如果假設預測了函數為y = 2x ,則發(fā)睨st value = 1;如果假設預刨了函數為y -救，則發(fā)Hlmst value - 2 ;則痢i誰現y-x的cost仰1睥最小，因此選擇y-x作為我Cl的 hypothesis但是我們肯定想知道cost Function的內部構造是什么？因此我們下面給出公式:IJ泌1）

5、=總支（膈（/） ，）i1其中：杼）表示向量x中的第i個元素；儼）表示向量y中的第i個元素；膈（那）表示已知的假設函數；m為訓練集的數量；比如給定數據集(1,1)、(2,2)、(3,3)則x = 1;2;3，y = 1;2;3(此處的語法為Octave語言的語法，表示3*1的矩陣)如果我們預測 theta0 = 0， theta1 = 1，則 h(x) = x，則 cost function：J(0,1) = 1/(2*3) * (h(1)-1廣2+(h(2)-2廣2+(h(3)-3廣2 = 0；如果我們預測 theta0 = 0， theta1 = 0.5，則 h(x) = 0.5x，則 c

6、ost function：J(0,0.5) = 1/(2*3) * (h(1)-1廣2+(h(2)-2廣2+(h(3)-3廣2 = 0.58；如果theta0 一直為0，則thetal與J的函數為:如果有theta0與thetal都不固定，則theta0、thetal、J的函數為:當然我們也能夠用二維的圖來表示，即等高線圖;-50005D0 V0OT 15002000即只有一個注意：如果是線性回歸，則costfunctionJ與的函數一定是碗狀的，最小點；以上我們講解了 cost function的定義、公式；Gradient Descent （梯度下降）但是又一個問題引出了，雖然給定一個函數

7、，我們能夠根據cost function知道這個函數擬 合的好不好，但是畢竟函數有這么多，總不可能一個一個試吧？因此我們引出了梯度下降：能夠找出cost function函數的最小值；梯度下降原理：將函數比作一座山，我們站在某個山坡上，往四周看，從哪個方向向下走一 小步，能夠下降的最快；當然解決問題的方法有很多，梯度下降只是其中一個，還有一種方法叫Normal Equation ；方法：先確定向下一步的步伐大小，我們稱為Learning rate；任意給定一個初始值：* ；確定一個向下的方向，并向下走預先規(guī)定的步伐，并更新；當下降的高度小于某個定義的值，則停止下降；算法：-終止翁牛repeat

8、 untilLearning rate決定了下降的步伐大土決se 了下降的方向小J(.iipda同dtempl= CtJ (0i)f出0 q rrnpO61 ：=坨mplv特點:初始點不同，獲得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值;越接近最小值時，下降速度越慢； 問題：如果、初始值就在local minimum的位置，則七1 會如何變化？答：因為已經在local minimum位置，所以derivative肯定是0，因此不會變化；如果取到一個正確的f 值，則cost function應該越來越小；問題：怎么取 值？答：隨時觀察值，如果cost function變小了，則ok，反之，

9、則再取一個更小的值；下圖就詳細的說明了梯度下降的過程:最小值從上面的圖可以看出：初始點不同，獲得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部 最小值；注意：下降的步伐大小非常重要，因為如果太小，則找到函數最小值的速度就很慢，如果太大，則可能會出現overshoot the minimum的現象；卜圖就是overshoot minimum 現象:如果Learning rate取值后發(fā)現J function增長了，則需要減小Learning rate的值;Integrating with Gradient Descent & Linear Regression梯度下降能夠求出一個函數的最小值；線性回

10、歸需要求出，使得cost function的最小;因此我們能夠對cost function運用梯度下降，即將梯度下降和線性回歸進行整合，如下圖 所示：Gradient descent algorithmLinear Regression Model膈3） =+務呈repeat until convcrgcncc?。?。1 丈（膈o）一於）廈梯度下降是通過不停的迭代，而我們比較關注迭代的次數，因為這關系到梯度下降的執(zhí)行速度，為了減少迭代次數，因此引入了 Feature Scaling；Feature Scaling此種方法應用于梯度下降，為了加快梯度下降的執(zhí)行速度思想：將各個feature的值標

11、準化，使得取值范圍大致都在-1=x=1之間；常用的方法是 Mean Normalization，即，其中就訓練集中當前知him的平均值，mx為孤能取的最大值，min為x能取的最小值max.- min或者：X-mean(X)/std(X);舉個實際的例子，有兩個Feature：size，取值范圍02000；(2)#bedroom，取值范圍 05；貝0通過 feature scaling 后， 滄巴一1000_ #bedrooms25 2000妲5練習題我們想要通過期中開始成績預測期末考試成績，我們希望得到的方程為:標弟)=缸-Ml - &Q給定以下訓練集：midterm exam(midterm

12、 exam)2final exam89792196725184749488368769476178我們想對(midterm exam)A2 進行 feature scaling，貝0 經過 feature scaling 后的值為多 少？max = 8836,min=4761,mean=6675.5,則 x=(4761-6675.5)/(8836-4761) = -0.47；多變量線性回歸前面我們只介紹了單變量的線性回歸，即只有一個輸入變量，現實世界不可能這么簡單，因 此此處我們要介紹多變量的線性回歸；舉個例子：房價其實由彳艮多因素決定，比如 size、number of bedrooms、n

13、umber of floors、age of home 等，這里我們假設房價由4個因素決定，如下圖所示：Size (feet1!Number of bedroomsNumber of floorsAge of home Ivears)Price ($1000)21045145460141632402321534323031S8522136178 + 4a -is 4 I- + -Iaai-我們前面定義過單變量線性回歸的模型:膈(8)=仇)OyX這里我們可以定義出多變量線性回歸的模型：+ 皈偌 2 + + 0nXnCost function 如下：I J（佻Ml）=去丈（標（）一此）2 i=l如

14、果我們要用梯度下降解決多變量的線性回歸，則我們還是可以用傳統的梯度下降算法進行 計算：Repeat 的快隔加惴記錄陽e知:=0-a交（人如叫_舟依?！钡囊挥耖ㄈ鏮必）即-1.e| 瓣 苗：=住土用3） （simultaneously upd-ate 0j for_i=i7 fJtl為：=的-在*（膈3勺-MWi=l總練習題：我們想要根據一個學生第一年的成績預測第二年的成績，x為第一年得到A的數量，y為 第二年得到A的數量，給定以下數據集：xy34214301訓練集的個數是多少？ 4個；J(0,1)的結果是多少？J(0,1) = 1/(2*4)*(3-4)A2+(2-1)A2+(4-3)A2+

15、(0-1)A2 = 1/8*(1+1+1+1) = 1/2 = 0.5我們也可以通過vectorization的方法快速算出J（0,1）：dv= ：，=8=二昨) = 0= =人_ n伽工)一方=1 01oj -11(機對-面二4 = /皿1)=我3 = /1)另一種線性回歸方法：Normal Equation；Gradient Descent 與 Normal Equation 的優(yōu)缺點；前面我們通過Gradient Descent的方法進行了線性回歸，但是梯度下降有如下特點：(1)需要預先選定Learning rate；(2)需要多次 iteration；需要 Feature Scalin

16、g；因此可能會比較麻煩，這里介紹一種適用于Feature數量較少時使用的方法：NormalEquation；當 Feature 數量小于 100000 時使用 Normal Equation；當 Feature 數量大于 100000 時使用 Gradient Descent；Normal Equation 的特點：簡單、方便、不需要 Feature Scaling；其中Normal Equation的公式：e = (XTX)-1XTy其中表示第 i 個 training example； 表示第i個training example里的第j個feature的值;m %#training exa

17、mple；n %#feature； 舉個實際的例子：Examples:0Size (feet2)Number of bedroomsNumber of floors 旬Age of hom (years)X412104514511416324011534323018522136130004138111112104514514163240L5343230852213630004138X) -*T y一、算法實現由前面的理論，我們知道了用梯度下降解決線性回歸的公式:repeal until coiivergeiice m矗:=% 一驀丈（如例）-妁Oi =伉一驀寸（知（工）-儼），土i=l梯度下降

18、解決線性回歸思路:until convprgpnrA 喝：=侃f ct土81 ：一 a 土算法實現：ComputeCost 函數：plain view plaincopyfor t=l:num iterstempi = theta(l) - (alpha / m) temp2 二 theta(Z) - (alpha / m) theta(l) = tempi;theta(2) - temp2;endfunction J = computeCost(X, y, theta)2.m = length(y); % number of training examplesJ = 0;prediction

19、s = X * theta;J = 1/(2*m)*(predictions - y)*(predictions - y);7.endgradientDescent 函數：plain view plaincopyfunction theta, J_history = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters)% X is m*(n+1) matrix% y is m*1% theta is (n+1)*1 matrix% alpha is a number% num_iters is number of iterators7.8.m = len

20、gth(y); % number of training examplesJ_history = zeros(num_iters, 1); %cost function 的值的變化過程%預先定義了迭代的次數12.for iter = 1:num_iters14.temp1 = theta(1)-(alpha/m)*sum(X*theta-y).*X(:,1);temp2 = theta(2)-(alpha/m)*sum(X*theta-y).*X(:,2);theta(1) = temp1;theta(2) = temp2;J_history(iter) =computeCost(X,y, t

21、heta);20.end22.end二、數據可視化我們通過算法實現能夠求出函數h(x)，但是我們還需要將數據可視化:畫出訓練集的散點圖+擬合后的直線；畫出J(theta)為z軸，theta0為x軸，thetal為y軸的三維曲線；畫出(2)的三維曲線的等高線圖；1.畫散點圖+擬合的直線描述：給定ex1data1.txt，文件中有兩列數據，每一列代表一個維度，第一列代表X，第二列代表 Y，用 Octave畫出散布圖(Scalar Plot)，數據的形式如下：6.1101,17.5925.5277,9.13028.5186,13.6627.0032,11.8545.8598,6.82338.3829

22、,11.886data = load(ex1data1.txt);%導入該文件，并賦予 data 變量X = data( : , 1 )； Y = data( : , 2)；%將兩列分別賦予X和YX = ones(size(X,1),1),X;%在 X 的左邊添加一列 1plot(X,Y,rx,MarkerSize, 4);%畫圖，將 X 向量作為 X 軸，Y 向量作為 Y 軸，每個點用“x”表示，r表示紅點，每個點的大小為4；axis(4 24 -5 25);%調整x和y軸的起始坐標和最高坐標；xlabel(x);%給 x 軸標號為x最后見下圖:%給y軸標號為y;(7)ylabel(y);經

23、過計算，算出theta值：theta,J_history = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters);即可通過：plot(X(:,2), X*theta)；%畫出最后擬合的直線5W1520Popifafiicn E City in SlO.OOQsE.Z1ED1 E4.14TZ以上呈現了線性回歸的結果；以下兩種都是可視化J(theta)；2.Surface Plot描述：數據如上一題一樣，我們想要繪制出對于這些數據的cost function，我們將繪制出三維圖形和contour plot；我們如果要繪制cost function，我們必須

24、預先寫好cost function的公式：function J = computeCost(X, y, theta)m = length(y);J = 0;predictions = X * theta;J = 1/(2*m)*sum(predictions - y) .A 2);end實現：theta0_vals = linspace(-10, 10, 100);%從-10 到 10 之間取 100 個數組成一個向量theta1_vals = linspace(-1,4, 100);%從-1 到 4 之間取 100 個數組成一個向量J_vals = zeros(length(theta0_v

25、als), length(theta1_vals); % 初始化 J_vals 矩陣，對于 某個 theta0 和 theta1，J_vals 都有對應的 cost function 值；計算每個(theta0，theta1)所對應的 J_vals；fori = 1:length(theta0_vals)for j = 1:length(theta1_vals)t = theta0_vals(i); theta1_vals(j);J_vals(i,j) = computeCost(X, y, t);endendfigure;%創(chuàng)建一個圖surf(theta0_vals,theta1_vals,

26、J_vals); %x 軸為 theta0_vals，y 軸為 theta1_vals，z 軸為J_vals；xlabel(theta_0); %添加 x 軸標志ylabel(theta_1); %添加 y 軸標志此圖而且可以轉動;Contour Plot實現：theta0_vals = linspace(-10, 10, 100);%從-10 到 10 之間取 100 個數組成一個向量theta1_vals = linspace(-1,4, 100);%從-1 到 4 之間取 100 個數組成一個向量J_vals = zeros(length(theta0_vals), length(the

27、ta1_vals); % 初始化 J_vals 矩陣，對于 某個 theta0 和 theta1，J_vals 都有對應的 cost function 值；計算每個(theta0，theta1)所對應的 J_vals；fori = 1:length(theta0_vals)for j = 1:length(theta1_vals)t = theta0_vals(i); theta1_vals(j);J_vals(i,j) = computeCost(X, y, t);endendfigure;%創(chuàng)建一個圖contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, log

28、space(-2, 3, 20); % 畫等高線圖xlabel(theta_0); ylabel(theta_1);111765,虬4。砌4.IICZJ如果我們想要在等高線圖上畫出線性回歸的theta0與thetal的結果，則可以:plot(theta(1), theta(2), rx, MarkerSize, 10, LineWidth, 2);4.畫圖查看Learning Rate是否合理我們在gradientDescent函數中返回的值里有J_history向量，此向量記錄了每次迭代后cost function的值，因此我們只需要將x軸為迭代的次數，y軸為cost function的值，

29、即可畫圖：(1)theta,J_history = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters); figure;plot(1:length(J_history), J_history, -b, LineWidth, 2);xlabel(Number of iterations);ylabel(Cost J);7010H：I liW.59*010相叩1。3ei-OlO宅 1當然，我們也可以將不同的alpha值都畫在一張圖上，可以比較取各個alpha時，c ost function 的變化趨勢；(1)alpha=0.01;theta,J1 = gr

30、adientDescent(X, y, zeros(3,1), alpha, num_iters);alpha=0.03;theta,J2 = gradientDescent(X, y, zeros(3,1), alpha, num_iters);alpha=0.1;theta,J3 = gradientDescent(X, y, zeros(3,1), alpha, num_iters);plot(1:numel(J1), J1, -b, LineWidth, 2);plot(1:numel(J2), J2, -r, LineWidth, 2);plot(1:numel(J3), J3, -k, LineWidth, 2);76*010le+010Se*4104e*aio3e102eKH0alpha-0.01aJpha=a.1多元線性回歸其實方法和單變量線性回歸差不多，我們這里直接給出算法:computeCostMulti 函數plain view plaincopy1. function J = computeCostMulti(X, y, theta)2.m = l