FRM知識點(diǎn)兩基金分離定理

1、知識點(diǎn)：兩基金分離定理前言美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬科維茨1952 年發(fā)表論文資產(chǎn)組合的選擇，標(biāo)志著現(xiàn)代投資組合理論的開端。他利用均值方差模型對投資組合進(jìn)行分析，提出投資組合理論，并進(jìn)行了系統(tǒng)、深入和卓有成效的研究，后得出這樣的一條曲線（上雙曲線）有效前沿，在該前沿上的投資組，均滿足一定風(fēng)險下的高收益，一定收益下的低風(fēng)險，給投資者資產(chǎn)組合的選擇提供了理論基礎(chǔ)。然而， 馬科維茨組合理論雖然給出了組合選擇的方法， 在實(shí)務(wù)操作中卻較難實(shí)施，因為要獲得優(yōu)組合的各個投資標(biāo)的的權(quán)重，需要每個投資標(biāo)的的收益、方差（或標(biāo)準(zhǔn)差），以及各個標(biāo)的間的相關(guān)系數(shù)，計算要求極高，當(dāng)時計算機(jī)硬件發(fā)展不匹配。因此，資產(chǎn)組合理論后續(xù)發(fā)展的

2、 “兩基金分離定理”、“單一因素模型”等，都極大的推動了投資組合理論的實(shí)際應(yīng)用。文章思路兩基金分離定理包括兩層涵義，因此本文從以下兩方面展開：其一，投資組合僅有風(fēng)險資產(chǎn)，不包括無風(fēng)險資產(chǎn)，因其引申自馬科維茨組合管理理論 （本文不再贅述） ， 所以主要從定理、定理證明和現(xiàn)實(shí)意義進(jìn)行闡述； 其二， 引入無風(fēng)險資產(chǎn)的兩基金分離定理，也主要從以上三方面展開，然而會引出資本市場線、市場組合等重要概念。3僅有風(fēng)險資產(chǎn)定理在只有風(fēng)險資產(chǎn)的情況下， 有效前沿是一條上雙曲線， 在這 條線上，任意兩個分離的點(diǎn)都代表兩個分離的有效投資組合， 而 有效組合邊界上任意其他的點(diǎn)所代表的有效投資組合， 都可以由 這兩個分離

3、的點(diǎn)所代表的有效投資組合的線性組合生成。證明由馬科維茨的投資組合理論可知， 過任意兩個分離的各自代 表有風(fēng)險資產(chǎn)的點(diǎn)可以生成一條雙曲線。 所以，有效組合邊界上 的兩個分離的點(diǎn)可以看作兩項有風(fēng)險資產(chǎn)， 它們也就可以生成一 條雙曲線。然而，有效組合邊界本身是一條雙曲線。首先，任意兩條不同的雙曲線不可能在同一側(cè)有兩個分離的 切點(diǎn)。其次，如果這兩條雙曲線在這兩個點(diǎn)是相交的話，則由兩個點(diǎn)生成的雙曲線一定會有一部分落在有效組合邊界所圍區(qū)域的外面。然而，由有效組合前沿的定義知這是不可能的，所以這兩條雙曲線一定重合。綜上，兩基金分離定理成立。意義以市場上的機(jī)構(gòu)投資者共同基金為例。 共同基金一方面發(fā)行小面額的收

4、益憑證作為自己的負(fù)債， 另一方面則把籌集到的大筆資金進(jìn)行分散化投資， 形成自己的投資組合。 如果有兩家不同的共同基金，它們都投資于有風(fēng)險資產(chǎn)，而且都經(jīng)營良好，經(jīng)營良好意味著它們的收益/ 風(fēng)險關(guān)系都能落到有效組合前沿。那么， 根據(jù)兩基金分離定理， 任何別的投資于有風(fēng)險資產(chǎn)的共同基金，如果經(jīng)營良好（即為有效組合前沿上的風(fēng)險資產(chǎn)組合） ， 其有效投資組合一定與原來那兩個共同基金的某一線性組合等同。因此， 只要找到這樣兩家不同的經(jīng)營良好的共同基金， 把自己的資金按一定的比例投資于這兩家基金， 就可以與投資于其他經(jīng)營水平良好的共同基金（即其他不同收益/ 風(fēng)險配比的有效組合） 獲得完全一樣的效果。 這一結(jié)

5、論對投資策略的制定無疑有重要的意義。4 含無風(fēng)險資產(chǎn)定理在引入無風(fēng)險資產(chǎn)的情況下，有效前沿就變成是一條射線，在這條線上， 任何一個的有效資產(chǎn)組合都可以由無風(fēng)險資產(chǎn)和一個市場組合的線性組合生成， 但是其中一個關(guān)鍵的地方是， 該市場組合是作為所有風(fēng)險資產(chǎn)的代表， 投資者投資在該風(fēng)險組合的每個風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例不隨投資者的偏好而改變。證明該定理的證明首先需要引出資本市場線，然后進(jìn)行論證。資本市場線在所有可能有風(fēng)險資產(chǎn)組合所構(gòu)成的雙曲線所圍成區(qū)域的有效組合邊界左下端，就是小方差組合。因為有系統(tǒng)風(fēng)險存在，小方差組合不是無風(fēng)險的， 其預(yù)期收益率也一定高于無風(fēng)險利率點(diǎn)。于是，在標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)期收益率圖中：有效組合

6、邊界和表示預(yù)期收益率大小的縱坐標(biāo)軸是不相接觸的， 而代表無風(fēng)險證券的收益 / 風(fēng)險的坐標(biāo)點(diǎn)落在縱軸上。因而， 在加入無風(fēng)險證券后， 代表新的組合的點(diǎn)一定落在連接點(diǎn)和包含所有可能的有風(fēng)險資產(chǎn)組合的雙曲線所圍區(qū)域及其邊界的某一點(diǎn)的射線上。如此的射線有無數(shù)多條。 但是， 當(dāng)射線圍繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)時，不管投資者的收益/ 風(fēng)險偏好如何（即不管效用函數(shù)的曲線形狀如何），越在上面的射線上的點(diǎn)，其效用值越大。于是，效用值大的射線一定是與有效組合邊界相切的那一條，即連接點(diǎn)和M點(diǎn)的射線。這條射線實(shí)際構(gòu)成了無風(fēng)險證券和有風(fēng)險資產(chǎn)組合的有效組合邊界資本市場線。論證資本市場線上點(diǎn)（0, Rf）代表無風(fēng)險資產(chǎn)，點(diǎn)M（仃M

7、, E（Rm） 有風(fēng)險的市場組合，而該資產(chǎn)市場線上的任意投資組合為（ Gp, E（Rp）,設(shè)3為該組合配置風(fēng)險市場組合的比例，則：E（Rp） = （1 - 向際埒 + * E（RjP = 30M得U）=aMOpOp該投資組合配置比例的有風(fēng)險市場組合，（1-外1）比例的無風(fēng)險資產(chǎn)。該投資組合收益e（rJ為：,、血.）-周E（Rp） = Rf + a?-該方程也就是資本市場線的表達(dá)式。此時，其中一項基金是無風(fēng)險證券， 而另一項則是切點(diǎn) M所 代表的有風(fēng)險資產(chǎn)的組合。資本市場線上任意一點(diǎn)所代表的投資 組合，都可以由一定比例的無風(fēng)險證券和由M點(diǎn)所代表有風(fēng)險資產(chǎn)組合生成。在這個包括無風(fēng)險證券和有風(fēng)險資產(chǎn)

8、組合的有效組 合邊界（即資本市場線）上，兩基金分離定理實(shí)際上依然成立。代表小方差組合的點(diǎn)位于點(diǎn)的右上方，從而保證了切點(diǎn)（ M 點(diǎn)）的存在性（如果小組合的預(yù)期收益率與無風(fēng)險收益率相等的 話，雙曲線上的切點(diǎn)會不存在， 資本市場線會變成雙曲線的漸近 線）。資本市場線在 M點(diǎn)右上方的部分所包含的投資組合，即 是賣空了無風(fēng)險證券（即以無風(fēng)險利率貸款）后，將所得的資金投資于M點(diǎn)所代表的有風(fēng)險資產(chǎn)組合。意義現(xiàn)實(shí)意義兩基金分離定理為從事投資服務(wù)的金融機(jī)構(gòu)提供了理論指導(dǎo)，不管投資者的收益/風(fēng)險偏好如何，只需要找到切點(diǎn) M所代 表的有風(fēng)險投資組合，再加上無風(fēng)險證券，就能為投資者提供佳 的投資方案，而投資者的收益/

9、風(fēng)險偏好，就只需反映在組合中 無風(fēng)險證券所占的比重。這一佳投資方案的設(shè)計與投資者的收益 /風(fēng)險偏好無關(guān)的結(jié)果，更能說明兩基金分離定理中“分離” 一 詞的涵義。M點(diǎn)所代表的有風(fēng)險資產(chǎn)組合是什么樣的組合，投資者如何 才能構(gòu)建這樣的組合？市場組合資本市場線與有風(fēng)險資產(chǎn)的有效組合邊界的切點(diǎn)M所代表的資產(chǎn)組合就是有風(fēng)險資產(chǎn)的市場組合。市場組合包含所有市場 上存在的資產(chǎn)種類，以及各種資產(chǎn)所占的比例和每種資產(chǎn)的總市 值占市場所有資產(chǎn)總市值的比例相同。 有風(fēng)險資產(chǎn)的市場組合就是指從市場組合中剔除無風(fēng)險證券后的組合。首先，任何市場上存在的資產(chǎn)須被包括在M所代表的資產(chǎn)組合里。 因為， 理性的投資者都會選擇資本市場

10、線上的點(diǎn)作為自己的投資組合，不被M所包含的資產(chǎn)就會變得無人問津，其價格自然會下跌，從而收益率會上升，直到進(jìn)入M所代表的資產(chǎn)組合。其次， 當(dāng)市場均衡時， 對任何一種資產(chǎn)都不會有過度的需求和過度的供給。 因為， 所有的理性的投資者所選擇的有風(fēng)險資產(chǎn)的比例都應(yīng)同M所代表的資產(chǎn)組合里的投資比重相同。由此，說明M所代表的資產(chǎn)組合就是有風(fēng)險資產(chǎn)的市場組合。得知M點(diǎn)是有風(fēng)險的市場組合，那么實(shí)踐中如何根據(jù)兩基金分離定理制定和實(shí)施相應(yīng)的投資策略呢？指數(shù)化投資策略指數(shù)化的投資策略是被動的但很有效的投資策略。 該策略分兩步做：一步是按照市場的組合比例來構(gòu)筑有風(fēng)險資產(chǎn)的組合，這樣也一定實(shí)現(xiàn)了風(fēng)險的分散化； 二步是將資

11、金按照投資者的收益/ 風(fēng)險偏好分投到無風(fēng)險證券和所構(gòu)筑的有風(fēng)險市場組合中去。這種策略調(diào)節(jié)起來也非常方便。如果覺得風(fēng)險偏大，則可適當(dāng)增大投資于無風(fēng)險證券的比例，否則反之。在各個金融市場中， 已經(jīng)有好些反映市場總體價格水平變化的指數(shù)，如著名的標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)、日經(jīng) 255 指數(shù)， 金融時報 100 指數(shù)、恒生指數(shù)，以及中國內(nèi)地的上證指數(shù)、深證指數(shù)等， 以此類指數(shù)為基礎(chǔ)而開發(fā)的指數(shù)產(chǎn)品， 往往可以用來作為有 風(fēng)險市場組合的替代品。 所以這種投資策略被稱為指數(shù)化的投資這種被動式的指數(shù)化的投資策略在西方被養(yǎng)老基金、共同基金等金融機(jī)構(gòu)廣泛的采用，弁被用作評估其他主動式的投資策略 績效的依據(jù)。因此我們

12、可以清楚地看到，這種優(yōu)投資策略的制定， 確實(shí)是與個別投資者的效用函數(shù)無關(guān)的。這種投資策略的產(chǎn)生， 是市場整合的結(jié)果。雖然它經(jīng)常有悖于人們的常識和感覺，卻是 金融學(xué)的本質(zhì)特性。5小結(jié)本文從定理、證明和實(shí)踐意義三方面對兩基金分離定理在僅 有風(fēng)險資產(chǎn)和包括無風(fēng)險資產(chǎn)兩種情況進(jìn)行了分析，該理論建立在馬科維茨的資產(chǎn)組合選擇理論基礎(chǔ)上，馬科維茨的資產(chǎn)組合選擇理論開啟了現(xiàn)代組合理論研究的開端，然而，兩基金分離定理極大的推動了現(xiàn)代組合理論的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，為投資者投資策略的制定和實(shí)施提供理論基礎(chǔ)和現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)。實(shí)踐中，人們都會配置部分無風(fēng)險資產(chǎn)甚至借入資金，根據(jù)兩基金分離定理，投資者可以通過在代表整個市場風(fēng)險資產(chǎn)的指 數(shù)和無風(fēng)險資產(chǎn)之間進(jìn)行配比，來達(dá)到資本市場線上的優(yōu)組合。其中，選