2020年第37屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題答案詳解

1、 第37屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題答案詳解1.高鐵運行的平穩(wěn)性與列車的振動程度密切相關(guān)，列車上安裝的空氣彈簧可以有效減振。某高鐵測試實驗 采用的空氣彈簧模型由主氣室（氣囊）和附加氣室（容積不變）構(gòu)成，如圖所示?？諝鈴椈蓪缮县?fù)載豎 直向上的作用力由氣囊內(nèi)被壓縮的空氣產(chǎn)生的彈力提供?；缮县?fù)載處于平衡狀態(tài)時，主氣室內(nèi)氣體的壓強(qiáng) 和體枳分別為Po和0,附加氣室的容積為匕，大氣壓強(qiáng)為PU。空氣彈簧豎直向上的作用力/與主氣室內(nèi) 氣體壓強(qiáng)和大氣壓強(qiáng)之差的比值稱為空氣彈簧的有效承載而積A,。已知空氣的定容摩爾熱容G，=|r （R 是普適氣體常量）。假設(shè)在微振幅條件下主氣室內(nèi)氣體的體積匕和有效承載面積4均可

2、視為空氣彈簧（氣 囊）的承我面相對于其平衡位置的豎直位移y （向下為正）的線性函數(shù)，變化率分別為常量（。）和 B （年0）。（1）附加氣室與主氣室連通（閥門關(guān)閉）。試在下述兩種情形下，導(dǎo)出空氣彈簧的勁度系數(shù)K=/74與其有效 承載而積A之間的關(guān)系：i）上下乘客（主氣室內(nèi)氣體壓強(qiáng)和體積的變化滿足等溫過程）。ii）列車運行中遇到劇烈顛簸（主氣室內(nèi)氣體壓強(qiáng)和體積變化滿足絕熱過程）。（2）主氣室連通附加氣室（閥門打開）后，在上述兩種情形下，導(dǎo)出空氣彈簧的勁度系數(shù)K與其有效承載面 積A,之間的關(guān)系。主氣室與附加氣室之間連通管道的容積可忽略。【答案】（1）長=。44+4所 修 j-P。一。7：Q)K =

3、叩【解析】【詳解】（1）依題意，空氣彈簧主氣室對簧上負(fù)載整直向上的作用力為尸=（0）4 式中，Pi是主氣室內(nèi)空氣的壓強(qiáng)。當(dāng)空氣彈簧承受的負(fù)載發(fā)生變化時，主氣室內(nèi)氣體的壓強(qiáng)Pi和體積匕均會發(fā)生變化。為了統(tǒng)一處理題給的兩種情形，考慮氣體壓強(qiáng)和體積變化的過程方程為式中，是常數(shù)。式左右兩邊對空氣彈簧承載而的整直位移y微商，可知空氣彈簧的勁度系數(shù)K滿足K4=(件+知dyay ay式左右兩邊對y微商得dp1必dy=0由題意知，空氣彈簧主氣室內(nèi)體枳V和有效承載而積4相對于平衡位置的豎直位移的變化率為警一會夕式得,空氣彈簧勁度系數(shù)K與其有效承載而積4之間的關(guān)系為 、“在高鐵上下乘客的情形下，主氣室內(nèi)氣體壓強(qiáng)和

4、體積變化滿足等溫過程由式得K=aP+，4+A Pio寸-Po 在列車行中遇到強(qiáng)烈簸的情形下，主氣室內(nèi)氣體壓強(qiáng)和體積變化滿足絕熱過程 =/式中，/是空氣的定壓摩爾熱容G，與定容摩爾都容Cv之比Lr TOC o 1-5 h z Cp Cv+R 27,一片丁b =2 由式得77K = aJjyLAe+P J% 羊為 Y L 1 17 (2)主氣室連通附加氣室后，如果車輛振動頻率較低，例如情形儲，空氣彈簧變形較慢，可認(rèn)為在任意瞬間, 空氣彈簧主氣室的樂強(qiáng)與附加氣室的壓強(qiáng)相同，兩氣室間的壓強(qiáng)差可視為零。兩氣室的空氣作為一個整體,經(jīng)歷等溫過程.空氣彈簧的勁度系數(shù)K與其有效承載而積A,之間的關(guān)系Pl。（九+

5、匕）（匕+。A.+/ Pi。%十匕匕+匕一0對于情形力，車輛系統(tǒng)的振動頻率較高，空氣彈簧主氣室內(nèi)部的壓力和體積變化較快，主氣室與附加氣室 之間來不及進(jìn)行氣體流動，此時空氣彈簧的容積相當(dāng)于主氣室容積單獨作用，經(jīng)歷絕熱過程?？諝鈴椈傻膭哦认禂?shù)K與其有效承載而積A,之間的關(guān)系為7 r 77dVz VK = aJAe+P pg tp。y L J2. 一質(zhì)量為，半徑為R的均質(zhì)實心母球靜置于水平桌而上，母球與桌面之間的滑動摩擦因數(shù)為少 將球桿R調(diào)整到位于過球心的豎直平而內(nèi)保持水平，并擊打母球上半部，球桿相對于球心所在水平面的高度為彳,2擊打時間極短：母球獲得的沖量大小為P，方向水平。假設(shè)最大靜摩擦力等于滑

6、動摩擦力。重力加速度大小為g。問擊打后經(jīng)過多長時間母球開始做純滾動？求母球達(dá)到純滾動時球心的運動速度;記母球達(dá)到純滾動時（以此時刻為計時零點）母球上與桌面接觸點為B,求此后的時刻球上B點的位置、 速度與加速度015P【答案】函5Pf -.(2)/?sin14/n15P廣14次15P . 15P/sinIm 18mR【解析】【詳解】（1）對擊球過程應(yīng)用剛體質(zhì)心運動的動量定理，有 TOC o 1-5 h z P = 0式中，。是擊打結(jié)束后的瞬間母球質(zhì)心的速度（與沖量尸同向）。母球受到的相對于其質(zhì)心的沖量矩為J = P-2對擊球過程應(yīng)用剛體轉(zhuǎn)動的角動量定理有J = /例-0式中，g是在擊打結(jié)束后的瞬

7、間母球的轉(zhuǎn)動角速度.母球的轉(zhuǎn)動慣量為2-mR 5在擊球結(jié)束后的瞬間，母球上與桌面相接觸的點A的速度為由式可知，在擊球結(jié)束的瞬間，母球上A點的速度為pv =0,且為 一定值）。已知占0時，（0）=0,，（0）=6#0（4表示“對，微商）；交流電流隨時間的變化滿足（四、p、%、A為待定常量）試確定常量/、4、/、入，以確定任意時刻/的交流電流”）：（2）試說明在什么條件下左側(cè)回路中會發(fā)生諧振？并求在發(fā)生諧振的情形下左側(cè)回路中電流拾（r）和諧振頻 率加（3）試說明在什么條件下左側(cè)回路中會發(fā)生RLC阻尼振蕩？并求此時左側(cè)回路中電流為山（力和振蕩頻率（4）已知該隧道二極管。正常工作（即能保持其具有負(fù)微分

8、電阻效應(yīng)）的范圍為匕而匕E匕如，（V為已知常量）試求該隧道二極管上交流部分可能達(dá)到的最大平均功率pm 輸出電壓均。L 0-C 匕|1-/【答 案】c R &Y 1,2H LC1+ 2L2L ） LC1,： （2）r ； （3）P- p 2L W 2L ） LC【解析】【詳解】（1）左側(cè)回路電勢之和為零，有&（，）+ 中）+卦（5+（-%）中）= c 0題給的，（/）的一般形式是由初始條件有4、以及此時理想恒壓直流電源的a _ _2M 2L ） LCo(i(O)=q+%=0U(O) = a典+%夕2=月一由式知將式代入式得(夫一凡)(。產(chǎn)4 +%,) + %e 勺 + ) J (4/ +”勺=0

9、出C q得a (R-&) + W+7 *+a2(R &) + L+4。的=：r+r.1 Lc必 c vPi Pi 7兩邊對t微商得a 心夕；+(R_/)Qi+/ *+% L優(yōu) + (R-R(J仇 + ； ep：! = 0VzVz不失普遍性，可設(shè)4。A （因為4=旦可視為4HA但4- A的極限情形）a上式對任意的時刻t都等于零；因而，各指數(shù)項的系數(shù)均應(yīng)為零，即L0；+(R-RjA+g = O1L 隹+(R-RJ 四 + 不=0解得4=4=R% : R-凡2L2L ；2_J_ Zc -i2LLC另一種選擇百=/_、用=，導(dǎo)致同樣的結(jié)果由式得%=一 2r rY 1ji。丫2L )LC由式得間期性變化

10、，因而有R-k佇1 2, 注意，式第一式直接導(dǎo)致式第二式。所以，式得iB(t) = p4LC 請振頻率為fn(3)要在左側(cè)回路中產(chǎn)生RLC阻尼振蕩(即電流)=0右丫0L ) LC式第一式是此電路發(fā)生諧振的條件。由式和式第一；應(yīng)皿加2周云卷i (t)振幅隨時間t衰減)，須使電路的能量不斷隨時間耗損,要在左側(cè)回路中產(chǎn)生諧振(即電流i (t)持續(xù)等幅振蕩)，須使電路的能量不隨時間耗損，同時電流隨時同時電流隨時間周期性變化。因而有由國式得R-&=。 1 2L ) LC&R& + 2 心V這是電路發(fā)生阻尼振蕩條件。由式得iD(t)=p.=-i (R_2卜一(2L)=,B篝 sir (r_r“22l)振蕩

11、頻率uAl 空百守”百號j2j(4)若要使得隧道二極管上交流部分的平均最大，同時以要確保隧道二極管始終工作在負(fù)電阻區(qū)域，則須使隧道二極道上的直流偏置電壓處在工作電壓范圍的中間位置.V +v.7 = max min2此時的交流部分電壓可達(dá)到最大振幅Vy 1) max考慮到右側(cè)回路中電壓源為理想恒壓電源，且理想的高頻扼流圈RFC的直流電阻為0,由回路電勢之和為0可知此時，隧道二極管交流部分的最大平均功率為皿2 R。8凡.勞倫斯在1930年首次提出了回旋加速器的原理：用兩個半圓形磁場，使帶電粒子沿圖 弧形軌道旋轉(zhuǎn)，反復(fù)通過兩半圓健瞰間的高頻電場加速而獲得較高能量。他因這個極富創(chuàng)意的方案而獲得 了 1

12、939年的諾貝爾物理學(xué)獎。已知數(shù)據(jù)：質(zhì)子質(zhì)量叫,=938.3MeV7c2,真空中的光速300 x108/$。(1)目前全球最大的回旋加速器是費米實驗室中的高能質(zhì)子同步加速器嶷了。(粒子運行最大回旋圓軌道的 周長為乙”6436/)。可以將一質(zhì)子加速到的最大能量為E7”=L00 xl()6MeV。假設(shè)質(zhì)子在被加速過程中 始終在垂直于均勻磁場的平面內(nèi)運動，不計電磁輻射引起的能量損失。求該同步加速器將質(zhì)子加 速到上述最大能量所需要的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值反而。(2)高能入射質(zhì)子轟擊靜止的質(zhì)子(靶質(zhì)子)。可產(chǎn)生反質(zhì)子萬，反應(yīng)式為 + + + +萬。求能產(chǎn) 生反質(zhì)子時入射質(zhì)子的最小動能，并判斷第(1)間中的叱

13、。加速的質(zhì)子是否可以襲擊靜止的靶質(zhì)子而產(chǎn)生 反質(zhì)子?！敬鸢浮?星際飛行器甲、乙、丙如圖所示：在慣性系上(坐標(biāo)系。V)中觀測到飛行器甲和乙在同一直線上朝y 軸負(fù)方向勻速飛行，飛行器丙在另一直線上朝y軸正方向勻速飛行：兩條飛行直線相互平行，相距小三艘 飛行器的速度在慣性系Z 中分別為匕咆=(-23)、y位=(-c/3)i=(23)”是沿y軸正方向的單位矢量），圖中飛行器旁的箭頭表示其飛行速度的方向。假設(shè)飛行器甲、乙、丙的尺寸遠(yuǎn)小 于乙. 珀丙某時刻，飛行器甲向乙發(fā)射一個光信號，乙收到該信號后立即將其反射回甲.據(jù)甲上的原子鐘讀數(shù)，該 光信號從發(fā)出到返回共經(jīng)歷了時間（小一號），尸。試求分別從慣性系z

14、和乙上的觀測者來看，光信號從 甲發(fā)出到返回甲，所經(jīng)歷的時間各是多少？從甲上的觀測者來看，從甲收到返回的光信號到甲追上乙需要 多少時間？（2）當(dāng)飛行器甲和丙在慣性系S中相距最近時，從甲發(fā)射一個小貨物（質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛行器的質(zhì)量，尺寸可忽 略），小貨物在慣性系Z 中的速度大小為z 為了讓丙能接收到該貨物，從甲上的觀測者來看， 該貨物發(fā)射速度的大小和方向是多少？從乙上的觀測者來看，貨物從甲發(fā)射到被丙接收所需時間（立貨）/. 是多少？2【答案】（1）丁 ： （2）115/34 J17 7【解析】【詳解】（1）光信號從飛行器甲發(fā)出到返回甲，從慣性系z 中的觀測者來看，所需時間為根據(jù)狹義相對論速度合成法則，飛

15、行器甲相對于飛行器乙的速度為2c c c、，_ %工+1江 _ y甲+（一口乙工）_ 一7+ _3甲”即泮江u甲工（一丫乙E） 1 + f_2 V j_27c21 + I 3打 9式中，最后的等號右邊的負(fù)號表示飛行器甲相對于乙的速度沿y軸負(fù)方向，余類推，從飛行器乙上的觀測者來看，光信號從飛行器中發(fā)出到返回甲所需時間為 TOC o 1-5 h z 匕河二J（叫甲Y +（1陰）C范 mm1 jx 范中八52發(fā)射方向與飛行器甲的運動方向之間的夾角6為c 乃3貨甲）、.n48c CL ,。=+ arctan - = + arctan = = 2.95rad = 1692包甲）2底12”回到參考系Z ，

16、貨物從發(fā)送到接收所用的時間為（成=貨物在y方向上位移為（加貨）仁3貨卜|晟=鼎從飛行器乙上的觀測者來看，設(shè)貨物從發(fā)送到接收的時間為（%）/ ,由洛倫茲變換公式得（加貨）乙M）廣詈（出貨）1庖,/.光纖陀螺儀是一種能夠精確測定運動物體方位的光學(xué)儀器，它是現(xiàn)代航海、航空和航天等領(lǐng)域中被廣泛 使用的一種慣性導(dǎo)航儀器。光纖陀螺儀導(dǎo)航主要基于下述效應(yīng)：在一個半徑為R、以角速度。轉(zhuǎn)動的光纖 環(huán)路（見下圖）中，從固定在環(huán)上的分束器A分出的兩束相干光分別沿逆時針（CCW）和順時針（CW）方 向傳播后回到A，兩者的光程不一樣。檢測兩束光的相位差或干涉條紋的變化，可確定該光纖環(huán)路的轉(zhuǎn)動角 速度口。真空中的光速為C

17、。（1）如下圖，光纖由內(nèi)、外兩層介質(zhì)構(gòu)成，內(nèi)、外層介質(zhì)的折射率分別為為了使光能在光纖內(nèi)傳輸，光在輸入端口（端口外介質(zhì)的折射率為“0）的入射角i應(yīng)滿足什么條件？考慮沿環(huán)路密繞N匝光纖，首尾相接于分束器A,光纖環(huán)路以角速度。沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。從A分出兩 束相干光沿光纖環(huán)路逆時針和順時針方向傳播，又回到A。已知光傳播介質(zhì)的折射率為m,兩束光在真空 中的波長為4，間兩束相干光分別沿光纖環(huán)路逆時針和順時針方向傳播的時間raw和hw為多少？這兩束 光的相位差為多少？試指出該相差與介質(zhì)折射率“I之間的關(guān)系。為了提高陀螺系統(tǒng)的微型化程度，人們提出了諧振式光學(xué)陀螺系統(tǒng)。該系統(tǒng)中含有-一個沿逆時針方向旋 轉(zhuǎn)的光學(xué)

18、環(huán)形腔，其半徑為R，旋轉(zhuǎn)角速度為0（R0c）,已知腔中的介質(zhì)折射率為，在腔內(nèi)存在沿逆 時針和順時針方向傳播的兩類共振模式。當(dāng)環(huán)形腔靜止時，這些模式的波長4”。由周期邊界條件2萬/?=機(jī)40決定，其中6為正整數(shù)，稱為共振模式的級次。當(dāng)環(huán)形腔旋轉(zhuǎn)時，同一級次（均為機(jī)）的沿順時針和逆時針方向傳播的共掘模式存在-個共振頻率差4f，試導(dǎo)出環(huán)形腔轉(zhuǎn)動角速度。與該共振頻率 差4f之間的關(guān)系?！敬鸢浮浚?） arcsin； （2）見解析： C =工/（或等）/om2R【解析】【詳解】（1）設(shè)光在光纖端口以角度，入射到內(nèi)層介質(zhì)，折射角為八進(jìn)而以入射角V入射到內(nèi)外層分界而 上，如圖所示由折射定律得sin i =

19、sin/r為了使光能在光纖內(nèi)傳輸（全反射），應(yīng)有式中，ic是內(nèi)層介質(zhì)（相對外層介質(zhì)）的全反射的臨界角，應(yīng)該滿足sin 由幾何關(guān)系有由上可行% sin i = nA cos i / cos ic = 一 n；/jM +m V8aG3MMM + 6)一1 一)（3）由上邊聯(lián)立得L = GyM+m)y3 端8aG3 Mmtc、 (M+加嚴(yán)15cz2SaG3Mm(M + m)對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)系數(shù)為5aG5/2MniyjM +in 汽8.將電傳輸信號調(diào)制到光信號的過程稱為電光調(diào)制。電光調(diào)制器的主要工作原理是電光效應(yīng)：以胃酸鋰電光晶體為例，其折射率在電場作用下發(fā)生變化，從而改變輸入光束的光程，使電信號信息轉(zhuǎn)移到光信號上。電光調(diào)制器光路圖如上圖所示，8、A分別為起偏器和檢偏器，兩者結(jié)構(gòu)相同但偏振方向相互垂直（圖中P （11內(nèi)）、P（ I1X2）表示尸|、尸2的偏振方向分別X與必為坐標(biāo)。軸平行），長度為八厚度為，/的電光晶體 置于P、P2之間，晶體兩端面之間加有電壓V （以產(chǎn)生沿用方向的電場，強(qiáng)度大小為E）：真空中波長為4 的光波經(jīng)過起偏器?（HA,）后沿處方向入射至電光晶體，折射后分為兩束偏振方向（分別與快軸