2020年北京市中考二模數(shù)學(xué)試題分類匯編：導(dǎo)數(shù)

1、1.(豐臺19)已知函數(shù)f(x) (I)求函數(shù)f (x)的極值;1 2(n)求證：當(dāng) x (0,)時，f(x) -x 1； 2(出)當(dāng)x 0時，若曲線y f (x)在曲線y ax2 1的上方，求實數(shù)a的取值范圍答案x 1解：(I)因為f(x) ,定義域R,ex所以 f(x) F.e令 f (x) 0 ,解得 x 0.隨x的變化，f (x)和f(x)的情況如下:X0(0* Eo)/W+0一極大值由表可知函數(shù)f(x)在x 0時取得極大值f(0) 1 ,無極小值(n)令 g(x)g (x)=1 2 x 11 2f(x) -x 1-x 1(x 0),2e 2x1 ex 1-x x(1 ) x(一).

2、ee ex由x 0得e 1 0 ,于是 g(x) 0,故函數(shù)g(x)是0,+ )上的增函數(shù)所以當(dāng) x (0,+ )時，g(x) g(0)1x2 1.2、一 1 .(出)當(dāng)a 一時，由(n)知 f(x)2122,-x 1 ax 1,滿足題意.2令 h(x)2 x 12f (x) ax 1 -x- ax 1,eh(x)x-2ax e1 x( 2a).e20.520.5h (x) 0,41a 0 時，若 x (0,ln( ) 2a1 1則h(x)在0,ln( )上是減函數(shù).2a1所以 x (0,ln( )時，h(x) h(0)當(dāng) a 0 時 h (x)2a0,則 h(x)在(0,+0,不合題意.)上

3、是減函數(shù),所以 h(x) h(0)綜上所述，實數(shù)a的取值范圍(15分2.(密云 19)已知函數(shù) f(x) x alnx,a R .(i)1時，求曲線f(x)在x 1處的切線方程;(n)設(shè)函數(shù)1 a h(x) f (x) ，試判斷函數(shù)h(x)是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理 x由.(出) 答案0時，寫出xlnx與x2 x的大小關(guān)系.1, TOC o 1-5 h z 132a4b(I)解：根據(jù)題意得、/b2(n)b2152G62c .a解得b2,1,、3.所以橢圓2C的方程為y2 1,離心率4解：方法一因為直線不與 軸垂直，所以直線設(shè)直線的方程為:x聯(lián)立方程2xtyy2 1.

4、e化簡得(t26 ty ?6 一 一顯然點Q( 6,0)在橢圓C的內(nèi)部，所以設(shè) M (Xi, y1) , N(x2, 丫2)，f (x) 1 x3 ax3f (x) 1 x3 ax3則 yy2 ， y y5(t2 4)6425(t2 4)UULT(x1 2,y. AN2) V1 y2(x22, y2),UUUU又因為A( 2,0),所以AMUUUU UULT所以 AM gAN(x1 2)(x21625y26 一 5 1-2r22 y 6一5 X/VALX24 一 5 p 佻 6 一 5 w11t t12t25(t4)642) 一t25(t4)51)(t2=0 UJIT AN ,即 MAN90是

5、定值.聯(lián)立方程y2 x4k(x5)化簡得(1 4kbx 1._2_48, 24(36 k 25)一 k x 525uuuu 所以AM方法二(1)當(dāng)直線，垂直于x軸時64解得M與N的坐標(biāo)為(6, f).55由點 A( 2,0),易證 MAN 90.(2)當(dāng)直線/斜率存在時設(shè)直線/的方程為：y k(x -),k 0.,56 _、-0.顯然點Q( 2,0)在橢圓C的內(nèi)部，所以5設(shè) M(x),y1), Nd.),加48k24(36k2 25)則 x1 x2廠,x1x2 丁 .5(1 4k2)25(1 4k2)JJJJUJIT又因為 A( 2,0),所以 am(x1 2,y1), AN (x2 2,y2

6、) .UUUU JUUT所以 AMgAN (x1 2)(x2 2) y1y2(X(k2(k2662)(x2 2) k(x15)k(x25)1)x1x26 2(25k)(x1x2)36k22524(36k2 25)25(1 4k2)6 2(2 -k2)5248k25(1 4k2)236k22590是定值.=0UUUU UJIT所以AM AN ,即 MAN3.(昌平20)已知函數(shù)a,a R.(i)當(dāng)a 1時，求曲線y f(x)在點(0,1)處的切線方程；(II )求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(III)當(dāng)x (0,2)時，比較f(x)與|1 a|的大小.答案 TOC o 1-5 h z - 一，1

7、3斛：(I)當(dāng) a 1 時，f (x) - x x 1.3因為 f(x) x2 1,分.1所以f(0)1.龍所以曲線y f (x)在點(0,1)處的切線方程為x y 1 0.分(II )定義域為R .因為 f (x) x2 a, a R.當(dāng)a 0時，f (x) 0恒成立.所以函數(shù)yf (x)在(-,+ )上單調(diào)遞增.結(jié)當(dāng)a 0時，f(x) 0恒成立.所以函數(shù)yf (x)在(-,+ )上單調(diào)遞增.泰當(dāng)a 0時，令f(x) 0,則xja或x ja.分所以當(dāng)f(x) 0時，xja或x ja；當(dāng) f (x) 0時，Ja x Va .分.8所以函數(shù)y f (x)在(，3)和(指，)上單調(diào)遞增，在(ja,

8、 ja)上單調(diào)遞減.分.9綜上可知，當(dāng)a 0時，函數(shù)y f (x)在(-,+ )上單調(diào)遞增；當(dāng)a 0時，函數(shù)y f (x)在(，石)和(店，)上單調(diào)遞增，在(ja, ja)上單調(diào)遞減.(III)法一：由(n)可知，(1)當(dāng)a 0時，函數(shù)y f(x)在(-,+ )上單調(diào)遞增；所以當(dāng) x (0,2)時，fmin(x) f (0) a.因為 11a |= (1 a) a 1所以 f(x) |1 a|.(2)當(dāng)a 0時，函數(shù)y f (x)在(, 石)和(向)上單調(diào)遞增,在(ja,ja)上單調(diào)遞減.當(dāng) 0 ja 1,即 0 a 1時，11a| 0.所以當(dāng)x (0,2)時，函數(shù)y f (x)在(0,向 上

9、單調(diào)遞減，(向2)上單調(diào)遞增，fmin(X)f 晨 a)a . a + a1( a)3 3a( 2Va +1) 03所以 f(x) |1 a|.10.11當(dāng) 1 后 2,即 1 a 4時，11a |=1 a 0.2由上可知。(刈f(后)a( 261), 3:2a a因為 a( 7a 1) (1 a) 2a 1,32x x設(shè) g(x) 2x x 1,(1 x 4).因為 g (x) 2 Vx 0,所以g(x)在(1,4)上單調(diào)遞增. TOC o 1-5 h z 一 1c所以 g(x) g(1) - 0. 3-一,22a a , 一所以 a( -.a 1) (1 a) 2a 1 033所以 f(x

10、) |1 a |.當(dāng) Va 2,即 a 4時，|1 a|=1 a 0.因為函數(shù)y f (x)在(0,6)上單調(diào)遞減，8所以當(dāng) x (0,2)時，fmin(x)f(2) 8 a 1 a.3對于 a 2(出)解：a 0 15分所以 f(x) |1 a|.綜上可知，當(dāng) x (0,2)時，f(x) |1 a|.14(III)法二：因為 f(x) ( |1 a|) f(x) |1 a|,當(dāng)a 1時，因為 x (0,2),所以 ax x. TOC o 1-5 h z 一.1a1a所以 f (x) |1 a | =f (x) 1 a - x ax 1 - x x 1分033當(dāng)a 1時，1 3c/1 3/f

11、(x)|1 a | =f (x)a 1 -xax 2a1- xa(2x) 1因為 x (0,2),所以 a(2 x) (2 x).131 313所以 f(x) |1 a| -x3a(2 x) 1 -x3(2 x) 1 -x3x 1. 11 分設(shè) g(x) 1 x3 x 1.因為 g (x) x2 1 (x 1)(x 1),所以當(dāng)g (x) 0時，x 1或x 1 , 當(dāng) g (x) 0 時，1x1.分2所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增.131所以 gmin(x) g(1) - 0.3所以當(dāng) x (0,2)時，f (x)|1 a|.14x.(東城 20)已知 f (x)

12、e sin x ax(a R).(I)當(dāng)a 2時，求證：f (x)在(，0)上單調(diào)遞減；(n)若對任意x 0, f (x) 1恒成立，求實數(shù) a的取值范圍;(出)若f(x)有最小值，請直接給出實數(shù) a的取值范圍.答案(I)解：f (x) ex cosx a當(dāng) x 0 時， ex 1,cos x 1 ，所以 f (x) ex cosx 2 0 .所以f (x)在 ,0上單調(diào)遞減. 4分解： 當(dāng) x 0 時， f (x) 1 1 ，對于 a R ，命題成立，當(dāng) x 0 時，設(shè) g (x) ex cosx a ，則 g (x) ex sin x .因為 ex 1, sin x 1 ， TOC o 1

13、-5 h z 所以 g (x)ex sin x 1 1=0 ， g(x) 在 0, 上單調(diào)遞增.又 g(0) 2 a,所以g(x)2 a .所以f(x)在0, 上單調(diào)遞增，且f(x) 2 a.當(dāng) a2 時，f (x)0，所以f(x) 在 0,上單調(diào)遞增.因為f (0)1 ，所以f (x)1 恒成立.當(dāng) a2 時，f (0)2a 0 ，因為 f (x) 在 0,) 上單調(diào)遞增，又當(dāng) x ln(2 a) 時， f (x) a 2 cosx a 2 cosx 0 ，所以存在 x0 (0,) ， 對于 x (0, x0) ， f (x) 0恒成立.所以 f(x) 在0,x0 上單調(diào)遞減，所以當(dāng) x (

14、0, x0) 時，f(x) f(0) 1 ，不合題意.綜上，當(dāng)a 2時，對于x 0, f(x) 1恒成立. 13分.(海淀 20)已知函數(shù) f (x) ex (sin x cosx).(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(n)求證：曲線 y f (x)在區(qū)間(0,_)上有且只有一條斜率為 2的切線.2答案 TOC o 1-5 h z xx解：(I) f (x) e (sinx cosx)+e (cosx sinx)2ex cosx.令 f (x) 0,得 2k x 2k (k Z). 22所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2k-,2k) (k Z).22(n)證明：要證曲線 y f(x)在區(qū)間(0,)

15、上有且只有一條斜率為 2的切線,2即證方程f(x) 2在區(qū)間(0,)上有且只有一個解.2令 f (x) 2ex cosx 2 ,得 ex cosx 1.設(shè) g(x) ex cosx 1 ,貝U g (x) ex cosx exsinx . 2exsin(x -).4當(dāng) x (0,)時，令 g(x) 0,得 x -. TOC o 1-5 h z 24當(dāng)x變化時，g(x), g(x)的變化情況如下表:x(0,4)4(一，一) 4 2g (x)0g(x)Z極大值 TOC o 1-5 h z 所以g(x)在(0,)上單調(diào)增，在(,)上單調(diào)減.44 2因為 g(0) 0,所以當(dāng) x (0, 時，g(x)

16、 0; 4又g(一)1 0,所以當(dāng)x (一,)時，g(x)有且只有一個零點24 2所以當(dāng)x (0,-)時，g(x) excosx 1有且只有一個零點. 2即方程f (x) 2, x (0,-)有且只有一個解.2所以曲線y f(x)在區(qū)間(0,)上有且只有一條斜率為2的切線.26.(西城19)設(shè)函數(shù) f(x) axlnx，其中a R.曲線y f(x)在點(1, f ( 1)處的切線經(jīng)過點(3, 2).6.(西城19)設(shè)函數(shù) f(x) axlnx，其中a R.曲線y f(x)在點(1, f ( 1)處的切線經(jīng)過點(3, 2).(i)求a的值；(n )求函數(shù) f (x)的極值；一 x 2(出)證明：

17、f (x)- e e答案解：(I)由 f (x) axlnx,得 f (x) aln x a,則 f(1) 0, f (1) a. TOC o 1-5 h z 所以曲線y f(x)在點(1,f (1)處的切線為y a(x 1). 4分將點(3,2)代入切線方程，得 a 1. 5分(n)由題意，得 f (x) xln x , f (x) In x 1.人，、C L1、令 f (x) 0 ,得 x - . 7 分e隨著x變化，f (x)與f(x)的變化情況如下表所示：x1 (0,-) e1 e(1,+ ) ef (x)0f(x)極小值 TOC o 1-5 h z 11所以函數(shù)f(x)在(0,-)上

18、單倜遞減，在(一,+ )上單調(diào)遞增. 9分ee11所以函數(shù)f(x)存在極小值，且極小值為f(-)-；函數(shù)f(x)不存在極大值.ee10分x2,x2(出)“ f(x) 1r 2” 等價于 “ xlnx $20”. 11 分eeee,11 一由(n),得f(x) xlnx-(當(dāng)且僅當(dāng)x 時等號成立). eex 2 1 x所以 xlnx _.e e e ex故只要證明- 二0即可(需驗證等號不同時成立) 12分e e設(shè) g(x) 1 壬，x (0,+ )，則 g(x) 13 分e ee因為當(dāng) x (0,1)時，g (x) J1 0；當(dāng) x (1,)時，g(x) J1 0,ee所以函數(shù)g(x)在(0,

19、1)上單調(diào)遞減，在(1,+ )上單調(diào)遞增.所以g(x) g(1) 0 (當(dāng)且僅當(dāng)x 1時等號成立).因為兩個不等式中的等號不同時成立,x 2所以當(dāng) X (0,)時，f(x) F -. e e15分一cosx v7.(房山20)已知函數(shù) f (x) e .1 sin x(I)求函數(shù)f(x)的定義域;(n)求曲線f(x)在點(0, f (0)處的切線方程;(出),兀 兀求證：當(dāng)x (-,-)時, 2 2f(x)2.答案(I)由 sinx 1,得 x - 2kk Z)所以f (x)的定義域為x|x-2k 22 21V法一：f (x) e1 sin x1 n當(dāng) x 0時，f (0) e0 0;1 si

20、n0.當(dāng) x (1,0)時，sinx ( 1,0), 1 sinx (0,1), -： (1,1 sin x),11sin x1),ex (e，)，所以當(dāng) x ( ,0)時，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減,2(0,5)時，sin x1111(0，1)，1 sinx(1,2)e 號1)(1,2)，ex (1萬)，所以當(dāng)x(0,)時，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增, 2f(x)的極小值為f (0) 2一,兀 兀.所以，當(dāng) x (一,)時，f (x) 22 28.(朝陽 20)已知函數(shù) f(x) 2sinx xcosx ax (aR)(i)若曲線y f(x)在點(0, f(0)處的切線白斜率

21、為1.(i )求a的值；(ii)證明：函數(shù) f (x)在區(qū)間(0,力內(nèi)有唯一極值點；(n)當(dāng)a 1時，證明：對任意x (0, f(x) 0 .答案解：(I) (i)因為 f (x) 2sin x xcosx ax,所以 f (x) 2cosx (cosx xsinx) a cosx xsinx a.因為曲線y f(x)在點(0, f(0)處的切線的斜率為1,所以 f (0) 1,即 1 a 1,故 a 0 .經(jīng)檢驗，符合題意. 4分(ii )由(i )可知 f (x) 2sin x xcosx , f (x)cosx xsin x .設(shè) g(x) f (x),則 g (x) xcosx .一一

22、一任令 g(x) 0 ,又 x (0,力，得 x 2當(dāng) x (0, 2b 時，g (x) 0；當(dāng) x (j, 時，g (x) 0,所以g(x)在(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(:,力內(nèi)單調(diào)遞減.又g(0) 1, g(-)g(n)1,22因此，當(dāng)x (0,-時，g(x) g(0) 0,即f (x) 0,此時f(x)在區(qū)間(0,-上無極值點; 22當(dāng)x (一，用時，g(x) 0有唯一解x0,即f (x) 0有唯一解x0, 2 n -，、= ， 、 -，、 且易知當(dāng)x (2,凡)時，f (x) 0,當(dāng)x (x0,力時，f (x) 0,故此時f (x)在區(qū)間(:,力內(nèi)有唯一極大值點x0.綜上可知，函數(shù) f

23、(x)在區(qū)間(0, 內(nèi)有唯一極值點. 10分(n ) 因為 f (x) cosx xsin x a ,設(shè) h(x) f (x),貝U h (x) xcosx .令 h(x) 0,又 x (0,力，得 x 二且當(dāng) x (0,-)時，h(x) 0；當(dāng) x (-，時，h(x) 0, 222所以f (x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，在(二自內(nèi)單調(diào)遞減. 22當(dāng) a 1時，f(0)1a0,f(萬) a 0, f ()1a.(1)當(dāng) f ( )1a0,即a1 時，f (x) 0.此時函數(shù)f(x)在(0,4內(nèi)單調(diào)遞增，f (x) f(0) 0 ；(2)當(dāng) f ( )1a0,即1a 1時，因為 f (0)1a0,f

24、() a 0,22所以，在(0,2)內(nèi)f (x) 0恒成立，而在區(qū)間(;用內(nèi)f (x)有且只有一個零點，記為x1 ,22則函數(shù)f (x)在(0,X)內(nèi)單調(diào)遞增，在(X,時內(nèi)單調(diào)遞減.又因為f(0) 0, f( ) (1 a) 0,所以此時f (x) 0 .由(1) (2)可知，當(dāng)a 1時，對任意x (0,另，總有f(x) 0 . 15分9.(順義19)(本小題14分)已知函數(shù) f(x) ex ax2, a R .(I)當(dāng)a 1時，求曲線y f(x)在點A(0, f (0)處的切線方程;(II )若 f (x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù) a的取值范圍;(III )當(dāng)a 1時，試寫出方程f(x) 1根的個數(shù).(只需寫出結(jié)論)解： a 1 時，f (x) ex x2 . f (x) ex 2x TOC o 1-5 h