移動最小二乘法

1、移動最小二乘法2.1移動最小二乘曲線擬合將擬合函數(shù)表述為如下形式: TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document f (x) = pj (x)a (x) = pT (x) a( x),(3)i=1其中 a(x)=(a1(x), a2(x),., ax)7為待定系數(shù)，p(x)=(P(x),p2(x),.,Px)7為基函數(shù)向量，通常需要選擇完備多項式基，例如二維情況線性基p(x) = (1, x, y)T(m=3)二次基p(x) = (1, x, y, x2, xy, y2)T(m=6)為了得到較為精確的局部近似值，需使局部近似值f

2、x)和節(jié)點(diǎn)值yi之差平方帶權(quán)最小，因此殘差的離散加權(quán)L2范式為：J = 8w(x-x ) f (x) - y 2ii w(x - x.)pt (x. )a(x) - y. 2,. =1其中n是求解區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，fx)是擬合函數(shù)，w(x-x.)是節(jié)點(diǎn)x,的權(quán)函數(shù)。權(quán)函數(shù)應(yīng)該是非負(fù)的，且隨著|x-x,|I?的增加單調(diào)遞減，權(quán)函數(shù)還應(yīng)該具有緊支性，即 在支持域(x的影響區(qū)域)內(nèi)不等于0，在支持域之外全為0, 一般選用圓形作為權(quán)函數(shù)的 支持域，半徑記為r。常用的權(quán)函數(shù)是樣條函數(shù)，記s = x- x.，s = ，則三次樣條函數(shù) r1 s 21 s 1.形式如下：2 /-4 s 2 + 4s 334,4

3、-4s + 4s 2 - s3 330要求出待定系數(shù)a(x),先要使J取得最小值，先將(4)式寫成矩陣形式:J = (Pa(x) Y)t W(x) (Pa(x) Y)其中Y = S，y,，yn)T,4(氣)p (x )12W(x) = diag (W(x), w2(x),., w(x)，w,(x) = w(x- x.).p2(氣) pm (氣) p2( x2)pm (x2)n )p2(x)pm (J根據(jù)最小二乘原理求得待定系數(shù)為：a(x) = A1(x)B(x)Y其中 A(x) = PTW(x) P, B(x) = PT W(x)。代入(3)式，得擬合函數(shù)為f (x)=乙呼3)七=Wk (x)

4、Y ,i=1其中W k (x)為形函數(shù)，k表示基函數(shù)的階數(shù)，W k (x) = k , k，,饑=pT (x) A-1( x) B( x).2.2帶插值條件的移動最小二乘曲線擬合當(dāng)擬合曲線要求經(jīng)過某些節(jié)點(diǎn)的時候，就需要將通常的移動最小二乘法增加插值條件， 可利用上面帶插值條件的最小二乘曲線擬合法二進(jìn)行構(gòu)造。假設(shè)若給出的離散點(diǎn)為(x , J )，i = 1,2,，插值條件為(x, j ), 5 = 1,2,t， TOC o 1-5 h z i is st n，采用一般的移動最小二乘法得到的擬合曲線為fx)，則帶插值條件的移動最小二乘擬 合曲線可表示為J = f (x) -(x)5 s(6)s=1

5、其中i(x)=n ,s=1,2,，t， = f(x)j.s . (x - x )s ss主jj該構(gòu)造公式也可看成是對移動最小二乘擬合公式的修正，修正項為El (x)5，其具體 ss s=1計算過程為：先求出不帶插值條件的移動最小二乘擬合曲線；接著計算插值節(jié)點(diǎn)下的偏差 =f(x )J；s s s最后計算ls(x)并利用公式(6)得到插值條件下的移動最小二乘擬合曲線。我們通過實驗對一般移動最小二乘和帶插值條件移動最小二乘方法進(jìn)行比較。給定離散 數(shù)據(jù)點(diǎn)為 x=1,2.5,4.5,6,7,8,9,10; j=1.5,2,2.2,3,4,5.5,6.5,7。采用移動最小二乘方法進(jìn)行擬合 的時候，采用線性

6、基p(x) = (1,x, j)t，并采用公式(5)的三次樣條函數(shù)作為權(quán)函數(shù)。圖5是 一般移動最小二乘方法的擬合結(jié)果；圖6是通過兩節(jié)點(diǎn)(x3, j3), (x7, j7)，即(4.5, 2.2), (9, 6.5)的 移動最小二乘擬合結(jié)果。我們也比較兩種方法擬合的誤差，見表1，其中了與)分別表示給定 離散點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，七與七分別表示通常情況與插值條件下的移動最小二乘擬合得到的函數(shù) 值，取的是擬合產(chǎn)生的離差平方和。實驗和誤差結(jié)果發(fā)現(xiàn)，本文給出的帶插值條件的移動 最小二乘方法整體擬合效果更好。8765432112345678910圖5通常情況下移動最小二乘擬合12345678910圖6插值條件下移動最小二乘擬合表1擬合誤差分析表XJ11.51.50001.29792.521.92381.83394.52.22.3