不定方程及含參數(shù)的元次方程的整數(shù)根問題的解法

1、不定方程及含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題的解法丹陽六中王獻(xiàn)忠、利用“質(zhì)數(shù)”及“互質(zhì)”的性質(zhì)1,求方程y3= x2+ x的整數(shù)解;（2002年“宇振杯”上海市初中數(shù)學(xué)競賽試題）已知p為質(zhì)數(shù)，使方 程x2 2px+ p2 5p 1 = 0的兩個根都是整數(shù)。求出p的所有可能的值；2.已知p、q都是自然數(shù)，關(guān)于x的方 程2px2qx+ 1990=0的兩個根都 是質(zhì)數(shù)，求1998p1998+q的值；（1991年“希望杯”初中數(shù)學(xué)競賽試題）已知關(guān)于x的方程x2+px + q= 0有兩個 不相等的整數(shù)根，則這個方程的根是；1 / 115. （1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 ）a 是大于零的實數(shù)，已知在惟一

2、實數(shù) k,使關(guān) 于x的方程x2 + （k2+ ak）x+ 1999+k2+ak=0的兩根均為質(zhì)數(shù)，求 a的值；二、因式分解法1.求方程 6ab=9a 10b+303的整數(shù)解；2 / 112.3.（十三屆“五羊杯”初二數(shù)學(xué)競賽試題）方程x/3 + 14/y = 3有組正整數(shù)解；求2xy 5= 4y x的整數(shù)解;4. a為何整數(shù)時，關(guān)于 x的方程 x2+ax8=0有整數(shù)解？5. xy + yz=63, xz+yz=23 的正整數(shù) 解的組數(shù)是()(A)1(B) 2(C)3(D)42.解方程組x+y = 2, xy z2 = 13 / 11三、判別式法（一）不等式（組）法1,求方程x2-3xy + 2

3、y3=0的正整數(shù) 解；3.方程組x3-y3-z3=3xyzx2=2(y + z);的正整數(shù)解；2.求方程x+y = x2 xy+y2的整數(shù) 解；（二）夾逼法（非負(fù)數(shù)）1. （2000年“弘晟杯”上海市初中數(shù) 學(xué)競賽試題）求方程21/x+1/y1/xy =3/4的正整數(shù)解；3.（2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位 數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位 數(shù)之和的平方恰好等于這個四位4 / 11(三)完全平方數(shù)法方程 a2x2- (3a2- 8a)x+ 2a2- 13a+ 15= 0(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個整數(shù)根，那 么 a=;(2000年浙江紹興初中數(shù)學(xué)競賽試題)已知關(guān)

4、于x的方程(4-k)(8-k)x2-(80-12k)x +32=0的解都是整數(shù)，求整數(shù)k的值。四、求根法(用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另 一個未知數(shù))(一)直接求根1. (2000年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)己知關(guān)于x的方程(2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè) 關(guān)于x的二次方程(k2 6k + 8)x2 + (2k2 6k 4)x + k2 = 4 的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實數(shù)k的值。(a- 1)x2+2x-a-1 = 0的根都是整數(shù)。那么符合條件的整數(shù) a有個；5 / 114.設(shè)關(guān)于x的方程(a2-1)x2-2(5a + 1)x + 24=0僅有整數(shù)根，則 a的值為：(1991年“祖沖之杯”

5、初中數(shù)學(xué)競賽試題)己知方程(a21)x2 2(5a+1)x+24 =0有兩個負(fù)整數(shù)根，則 a的值是,(二)反客為主(1990年“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)競 賽試題)試求這樣的正整數(shù) a,使方 程ax2 + 2(2a-1)x+4(a-3) =0 至少有一個整數(shù)解；(1994年福州市數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)試求這樣的正整數(shù) m,使方程x2 (m 1)x + m + 1 = 0至少有一個整數(shù)解；6 / 113.求使關(guān)于x的方程(a+ 1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0的根都為整數(shù)的所有整數(shù)a。五、整數(shù)(式)分法.求方程 6ab=9a 10b+303的整數(shù)解；.(十二屆“五羊杯”初二數(shù)學(xué)競賽試 題)方程4x2-

6、2xy-12x+5y+11=0有 組正整數(shù)解；.設(shè)k為正整數(shù)，關(guān)于 x的一元二次 方程(k 1)x2 px+ k= 0有兩個正整數(shù)根。求 kkp(pk+kp)的值；7 / 11六、根與系數(shù)關(guān)系法1. （1998年全國.香港初中數(shù)學(xué)競賽 試題）求所有正實數(shù)a,使得方程 x2 ax + 4a= 0僅有整數(shù)根；（1998年江蘇初中數(shù)學(xué)競賽試題，2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試 題）求滿足如下條件的所有 k值, 使關(guān)于x的方程kx2 + （k + 1）x+（k- 1） =0的根都是整數(shù)；2.方程 yx2+x2y2x x +2y36= 0的整數(shù)解；（1996年江蘇初中數(shù)學(xué)競賽試題 ）已 知方程x2+ m

7、x m+ 1= 0（m 是整數(shù)）有兩個不等的正整數(shù)根，求m的值。8 / 115.求使關(guān)于x的方程(a+ 1)x2(a2+1)x + 2a36=0的根都是整數(shù)的所有整數(shù)a。七、構(gòu)造一元二次方程.解方程組 x= 6 3y x+ 3y 2xy + 2z2= 05.關(guān)于x的二次方程 x2-(12-m)x+ m1=0的兩根都是正整數(shù)，求 m的值。2. (1998年山東初中數(shù)學(xué)競賽試題 )當(dāng) x為何值時，代數(shù)式 9x2+ 23x 2的值 恰為兩個連續(xù)整數(shù)的積？9 / 11八、放縮法1,求方程 1/x+1/y+1/z=5/6的正整 數(shù)解；3.求方程1/x+ 1/y + 1/z= a的正整數(shù)解，其中 a為正整數(shù)，xwywz;2.（十三屆“五羊杯”初三數(shù)學(xué)競賽試題）設(shè) 2/x 3/y = 1/4 （x、y 都是正整數(shù)），則方程有 組正整數(shù)解；九、不定方程解的存在性的判定.證明方程2x2 5y2=7無整數(shù)解;10 / 112.設(shè)m、n均為整數(shù)，證明方程x2 + 10m