課后習(xí)題答案7-9綜合例題

1、習(xí)題 7.9(P102)1設(shè)a 、b 、c 是三角形三條邊的長， A 、B 、C 分別是此三邊對應(yīng)的三個角的度量，求AAA，.abc解：由余弦定理： 2bc cos A b 2 c 2 a 2兩端分別對a 、b 、c 求偏導(dǎo)： 2bc sin A A 2aa2c cos A 2bc sin A A 2bb2b cos A 2bc sin A A 2ccA整理得：aAc cos A bAb cos A c，abc sin Abbc sin Acbc sin A2設(shè) z f ( y ( x y), e 2 x ) ，其中 f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求 2 zxy .z解：x f f

2、e 2 x 2 f 2e 2 x f 1212 2 z f (1 2e2 x (1 )f1f 2111xy 2 y 2 yxat3 證明：函數(shù) y( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat f (z)dz 滿足方程2 at 2x 2（其中 f ， 可微）y證明： ( x at ) ( x at ) f ( x at ) f ( x at )x 2 y ( x at ) ( x at ) f ( x at ) f ( x at )x 2第 7 章第 9 節(jié)1/8yt a ( x at ) a ( x at ) af ( x at ) af ( x at ) 2 y a 2 (

3、x at ) a 2 22( x at ) a f ( x at ) a f ( x at )t 2 2 y 2 y a 2 ( x at ) ( x at ) f ( x at ) f ( x at ) a2故t 2x 2易出的錯誤：將 ( x at ) 與 ( x at ) 均寫成 ； ( x at ) 與 ( x at ) 均寫成 ； f ( x at ) 與 f ( x at ) 均寫成 f . （注：在不發(fā)生時才可以簡寫） 2 z 2 z4設(shè)函數(shù) f (u) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， z f (e sin y) 滿足方程x ez ，求2 xx 2y 2f (u) .z解：xzy f e x

4、 sin y ， f e x cos y 2 z f e sin y e sin y f exxsin yx 2 2 zy 2 f e cos y e cos y xxf esin y代入方程得f e 2f f ，亦即 f f 0f ，即其特征方程為 r 2 1 0 ，得 r1, 2 1故 f (u) C1eu C 2 e u （ C1 、C 2 為任意常數(shù)）.5設(shè) u u( x) 是由方程組 u f ( x, y) ， g( x, y, z) 0 ，h( x, z) 0 所確定的函數(shù)，其中 f 、 g 、 h 是可微函數(shù)，且 h 0 ， g 0 ，求 du .zydx解：三個方程分別對 x

5、求導(dǎo)：第 7 章第 9 節(jié)2/8 du dyf f (1) dxxydxg g dy g dz 0(2)xyzdxdxdzhx hz 0(3)dx由(3)式解得 hx ，將其代入(2)式得dzdxhzgz hxgxdy，將其代入(1)式得dxg hgyzyf y gz hxf y gx gz hxgxdudx f x f y f x gy hzgyg hgyzy z1 sin y 6設(shè)函數(shù) z( x, y) 滿足x1 xy ，求 z( x, y) .z(1, y) sin y解：方程兩端對 x 積分（把 y 視為常數(shù)）： z x sin y 1 ln 1 xy ( y)y1由條件 z(1, y

6、) sin y ， ( y) 2 sin y ln 1 yy1 y1故 z( x, y) (2 x) sin y ln1 xyy易出的錯誤：利用積分公式 1 dx ln xC 時，未加絕對值符號.x7 設(shè) f ( x, y) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 f ( x, x 2 ) 1 ， f x (，求 f y ( x, x 2 )解： 方程 f (求導(dǎo)，由多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得f x ( x, x 2 ) f y ( 0( x, x 2 )x1 2 x2故 f y (2 x第 7 章第 9 節(jié)3/8 2 f 2 f 1 ，8 設(shè) f (u, v) 具 有 二 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ，且 滿 足又u

7、2v 2 2 g 2 g1g( x, y) f ( xy,( x y22) ，求2x 2y 2g解：y f x fgx fy f，xuvyuv 2 g 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f y( yx) x( yx) 22 xyx2yx 2u2uvvuv 2u2uvv 2 2 g 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f x( xy) y( xy) 2 xyyx22uvvuuvy 2u2v 2u2v 2 2 g 2 g 2 f 2 f ( x y )(22) x y22故x 2y 2u2v 29 作變換 u x ， v x 2 y 2 ，求方程 y z y z

8、0 的解.xy分析：所作的變換使得二元函數(shù)變?yōu)橹虚g變量為 u 、v 的復(fù)合函數(shù)，利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)zz法求出、，代入方程即xy解.zzz解：zy z 2 y 2 x ,xuvvy z z 2 x x 2 y z 0代入方程得 uvv y z 0 ，因為 y 0 （這里 為不恒等于），所以 z 0整理得uu兩端對 u 積分（積分時注意到 z 是 u 、v 的函數(shù)，對u 求偏導(dǎo)時，是把v 作為常數(shù)）得z f (v) f ( x 2 y 2 ) 2 zy 2 2 z10設(shè) z z( x, y) 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u x ay ，v x ay ，變換方程2 ax 2第 7 章第 9 節(jié)4/8zzuz

9、v解：z zxu xv xuv 2 z z z 2 z u 2 z v 2 z u 2 z vx uv xuv xvu xxx 2u2v 2 2 z 2 z 2 z2 uvu2v 2 a zzz u z va zyu yv yuv 2 z u 2 zv 2 z v 2 zy 2zz 2 zu a a aa2yuv y vu yy y uv uv 2 2 z 2 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z a(a) a a(a)a a 2uv 2 22 vuuvu2vuv 2 z 2 z 2 z代入方程 a2 0得：uvy 2x 211 設(shè) nv 是曲面 2 x 2 3 y 2 z 2 6

10、在點 P(1, 1, 1) 處的指向外側(cè)的法向量， 求函數(shù)6 x 2 8 y 2u 在點 P 處沿方向 n 的方向向量.z解：曲面在點 P(1, 1, 1) 處的指向外側(cè)的法向量為 nv 4x, 6 y, 2zP 4, 6, 2 231nv 0,141414 6 x 2 8 y 2uxuu6 x8 y ， ， yzz 26 x 2 8 y 26 x 2 8 y 2zzux6u，8u， 14yz1414PPPunv62 1171414P12 證明：曲線 x et cos t ， y e t sin t ， z e t 與圓錐面 x 2 z 2 所有母線以等y 2第 7 章第 9 節(jié)5/8角相交.

11、分析： 曲線上的點 M 與曲面在點 M 處的母線的夾角即曲線在點 M 處的切線與曲面在點M 處的母線的夾角。故只要證明曲線在任意一點 M 處的切向量與曲面在點 M 處母線方向向量的夾角是常數(shù)即可。注意：曲線在圓錐面上，圓錐面的頂點為原點。證明：由于曲線方程滿足圓錐面方程，故曲線在圓錐面上，設(shè) M ( x, y, z) 是曲線上的任一點，則曲線在點 M 處的切向量T dx , dy , dz e t (cos t sin t ), e t (sin t cos t ), e t dtdtdt 圓錐面上過點 M 的母線上的向量OM x, y, z e t cos t, et sin t, et 設(shè)

12、 為T 與OM 之間的夾角，則T OM2cos 6 與 t 無關(guān)，因此 與點 M 無關(guān)，故曲線與圓錐面所有母線以等角相交. y 13 證明：曲面 z xf.上的任何一點的切平面通過一定點. x 證明：設(shè) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是曲面上的任一點，則曲面在點 M 0 處的法向量y0 y0y0 y0 n z , z , 1xy f f , f , 1 x0 x0 x0 x0 M 0 y0 又 z0 x f ，故曲面在點 M 0 處的切平面方程為0 x0 y0 y0 y0 y0y0 f f ( x x0 ) f ( y y0 ) z x0 f 0 xxxxx0 0 0 0 0y0

13、y0 y0 y0 整理得 f f x f y z 0 xxxx0 00 0 原點(0, 0, 0) 滿足上述方程，即曲面上的任何一點的切平面都通過原點這一定點.14. 求曲面 x u v ， y u2 v 2 ， z u3 v 3 在點 u 1， v 1 處的切平面方程.分析：求出法向量n zx，zy， 1即可. 兩種解法：(1)已知的曲面方程是參數(shù)為 u 、v 的參數(shù)方程，因而 u u( x, y) ， v v( x, y) ，利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求 zx 、 zy ；(2)可第 7 章第 9 節(jié)6/8TOM以將 z 表示為 x 、 y 的函數(shù)直接求 zx 、 zy .解：法 1：曲面方程

14、分別對 x 、 y 求偏導(dǎo)：0 u vuv1 x xyyuvxuvy0 2u 2v1 2u 2v，xyz zxuvxuvy y22 3u 3v 3u2 3v 2xy將 u 1， v 1 代入上述方程組，解得 z 3 ， 0 ，zx故切平面的法向量 n zx，zy， 1 3, 0, 1當(dāng) u 1， v 1 時， x 0 ， y 2 ， z 0y故切平面方程為3( x 0) 0( y 2) (z 0) 0 ，即 3x z 0 x 2y2222法 2： x (u v) u v 2uv y 2uv ，即 uv 2x 2 yx 3233322z u v (u v)(u v uv) x( y ) xy 2

15、2z故 3 ( y x 2 )z3 x 3 ， 0 x (0,2,0)y (0,2,0)22(0,2,0)(0,2,0)15. 已知 x 、 y 、 z 為實數(shù)，且e x y 2 3 ，求證： e x y 2 z 1 .z分析：令 u e x ，v y 2 ，w ，只要證明在條件 u v w 3 (u 0, v , w 0)z下，函數(shù)T uvw 的最大值為 1 即可，故用也可以轉(zhuǎn)化為無條件極值問題。日乘數(shù)法。設(shè) F (u, v, w) uvw (u v w 3) ，則令證明：法 1(日乘數(shù)法):Fu vw 0F uw 0v， 解得唯一駐點 u v w 1F uv 0wu v w 3因為T (1, 3 , 1 ) 3 ，而T (1, 1, 1) 1 ，即T T (1, 1, 1) 1 ，故uvw 1 ，max2 24第 7 章第 9 節(jié)7/8法 2（轉(zhuǎn)化為無條件極值）：由 u v w 3 ，得 w 3 u v故T