2016年高考導數(shù)試題及答案

1、1.(新課標1)已知函數(shù)J=:有兩個零點.第 頁共10頁第 頁共10頁(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)，x2是的兩個零點，證明：+x20，則當x(,1)時，f(x)0所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，+)上單調(diào)遞增又f-e,fa，取b滿足b02且b2(b2)+a(b1)2a(b2-2b)0，故f(x)存在兩個零點.e(iii)設(shè)a0，由f(x)0得x1或x4(-2a).若a22，則ln(-2a)0，因此f(x)在(1，+8)上單調(diào)遞增.又當x1時，/(x)0，所以f(x)不存在兩個零點.e若a1，故當x(1，ln(-2a)時，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(-2a)單調(diào)遞減，在(

2、ln(-2a)，+)單調(diào)遞增.又當x1時,f(x)0，所以/(x)不存在兩個零點.綜上,的取值范圍為0，+).(II)不妨設(shè)x1x2，由(I)知x1(8,1),x2(1，,)，2-x2(，1)，f(x)在()上單調(diào)遞減，所以x1,x2f(2-x2)，即f(2-x2)1時，g(x)1時，g(x)0.從而g(x)f(2-x)0，故x,x0時，(x一2)ex+x+20;X十2(II)證明：當a0，1)時，函數(shù)(x)=exaxax2(x0)有最小值設(shè)g(x)的最小值為h(a)求函數(shù)h(a)的值域.第 頁共10頁第 頁共10頁解：(I)f(x)的定義域為(十S./(x)(x1)(x+2)ex(x2)ex

3、(x+2)2x2ex0,且(x+2)2且僅當x0時，f(x)0，所以f(x)在(q,2),(2,+q)單調(diào)遞增,因此當xe(0,+q)時,f(x)f(0)1,所以(x2)ex(x+2),(x2)ex+x+20(II)g(x)(x-2)ex+a(x+2)x+2(f(x)+a),由(1)知,f(x)+a單調(diào)遞增，對任意x2x2ae0,1),f(0)+aa10,f(2)+aa0,因此，存在唯一xe(0,2,使得f(x0)+a0,即g(x0)0,當0 xx0時，f(x)+a0,g(x)x0時，f(x)+a0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增因此g(x)在xx0處取得最小值，最小值為ex。a(x+1)ef+

4、f(x)(x+1)g(x)00 x20ex0 x+20exh(a)2，由x+20ex(x+1)ex)x+2(x+2)2ex0,x+2單由x0e(0,2,得ex0e2x+22+20exx+21e2單調(diào)遞增，對任意仁(2,4,存在唯一的1e2x0e(，2,af(x0)e0,1),使得h(a)入,所以h(a)的值域是(？，4,1e2綜上，當ae0,1)時，g(x)有h(a),h(a)的值域是(2,4.3.(新課標3)設(shè)函數(shù)f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a0,記IfI的最大值為A.(I)求f(x)；(II)求A；(III)證明2A.解：(I)f(x)2asin2x(al)si

5、nx.(ii)當a1時,If(x)lIasin2x+(a1)(cosx+1)Ia+2(a1)3a2f(0)因此，A3a2.當0a1時，將f(x)變形為f(x)2acos2x+(a1)cosx1.令g(T)2at2+(a1)t1，則A是1g(t)|在1,1上的最大值，g(1)a,g(1)3a2,1a1a(a1)a2+6a+1且當t4a時g取得極小值極小值為g(4a)8a18a.令2第 #頁共10頁第 頁共10頁-1學1，解得a5-(匚)當0a5時4a355g（t）在（1,1）內(nèi)無極值點，Ig(1)1a,Ig(1)1=23a,1g(1)IIg丨,所以A23a1(ii)當5a1時,g(-1)-g(1

6、)=2(1-a),0，知g(-1),g(1),g(工).4a又Ig(F)I-1g(-1)I=(1-af+7a)，0，所以A=Ig(F4a8a4a8a)I=2-3a,0a丄5a2+6a+11“,a1(IIIIf(x)I=I-2asin2x-(al)sinxI2a+1a-1IIf(x)I1+a2-4a2(2-3a)=2A.當1a188a4，所2第 頁共10頁第 #頁共10頁If(x)I1+a1時，If(x)I3a-16a-4=2A，所以If(x)I2A.4（山東）已知f（x）=af（x）+1對于任意的xelx2成立a22(ax2-2)(x-1)x3解(I)f(x)的定義域為0，+a)；f/(x)=

7、a-+=xx2x3當a0,xe(0，1)時，f/(x),0,f(x)單調(diào)遞增；xg(1,+a)時,f/(x)0時，f/(x)=xD(x+)(x-).(1)0a1，當xe(0,1)aaa2f/(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當xG(1,)時，f/(x)0,f(x)單調(diào)遞增;3）a,2時，0221，當xG(0,)或aaxG(h+a)時，f/(x),0,f(x)單調(diào)遞增;2第 頁共10頁第 頁共10頁當x(，1)時，f/(x)0,f(x)單調(diào)遞減.綜上所述,a當a,0時，函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，+)內(nèi)單調(diào)遞減;2當0a2，f(x)在(0,a2)內(nèi)單調(diào)遞增，在a2(,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在

8、(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.aa1時，2x-1122f(x)f/(x)xInx+-(1一_+)x2xx2x3(II)由(I)知,312xInx+1，xx2x331x1,2，令g(x)x-lnx,h(x)一+-xx22一1，x1,2則x3.x-1f(X)-f/(X)g(x)+h(x)，由g/(x)0可得g(x)g(1)1當且僅當x1x，時取得等號.又h(x)，設(shè)Q(x)一3兀2-2x+6，則Q(x)在X1,2單調(diào)x4遞減，因為Q(1)1,Q(2)=-1，所以在1，2上存在x0使得x(1,x0)時，Q(x)0,x(x0,2)時，p(x)h(2)當且僅當，x2取得等號，所以33f(x)-f/(x)g(1)

9、+h(2)-,即f(x)f/(x)+2對于任意的1,2恒成立。5.(天津)設(shè)函數(shù)f(x)(x-1)3一ax-b,xR,其中a,bR.(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(II)若f(x)存在極值點x0，且f(x1)f(x0)，其中x1豐x0，求證：x1+2x03；(III)設(shè)a，函數(shù)g(x)f(x)|，求證：g(x)在區(qū)間,2上的最大值不小于42第 #頁共10頁第 頁共10頁解：(I)解：由f(x)=(x一l)3一ax一b,可得廣(x)=3(x一l)2一a.下面分兩種情況討論：(1)當a,0時，有廣(x)-3(x-1)2-a0恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,).3a3a(2)當a0時，令廣(x

10、)=0,解得x二1,或x二1.當x變化時，廣(x)，f(x)(II)證明：因為f(x)存在極值點，所以由(I)知a0，且x0豐1，由題意，得的變化情況如下表：x(1(3a)(-,1-)1返a13(;a,1+、,;a)13a33a、(1+亍,+)f(x)+0一0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(13，單調(diào)遞增區(qū)間為(1弓，(1+-)2第 #頁共10頁第 #頁共10頁2第 #頁共10頁第 #頁共10頁(x01)2=3f(x)=3(x1)2a=000f(x)二(x1)3axb二-冬xab0003038af(32x)二(22x)3a(22x)b二一(1x)+2

11、ax3ab000300-x03b-f(x0)，且32x0豐x0，由題意及(I)知，存在唯一實數(shù)滿足f(x1)=f(x0)，且x1豐x0，因此x1=3一2x0，所以x12x0=3；(III)證明：設(shè)g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為M,maxx,y表示x,y兩數(shù)的最大值下面分三種情況同理：3a3a(1)當an3時，1丁,02,1，由(I)知，f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,2上的取值范圍為f(2),f(0),因此M=maxlf(2)1,1f(0)1二maxl12ab1,11b1二maxa1(ab)l,la1(ab)la1(ab),abn0a1(ab),ab0，所以M二_11b

12、1-2/=f(x缶，它(x)為=4且二4所以m4，故實數(shù)/=f(x缶，它(x)為=4且二4所以m4，故實數(shù)第 #頁共10頁第 頁共10頁第 頁共10頁323a3a3a23a當4a3時，1一301121+3，由(1)和(11)知,23a33a23a3a)f(1,30,2上的取值范圍為f(1+斗),f(1斗)，因此MmaxIf(1,3a*)i,if(1-3a)ImaxI-2a3aabI,I3aabI9maxl一彳；3a一(a+b)l,l甞3a一(a+b)I23313a,Ia,bIx_x3x=_9444-33a3a(3)當0a4時，01一1+丁2，由(I)和(II)知，23a3a23a3af(0)f

13、(1，丁)=f(1二一)，所以f(x)在區(qū)間0,2上的取值范圍為f(0),f(2)，因此MmaxIf(0)1,1f(2)1maxl1b1,112a-b11maxl1a,(a,b)I,I1a(a,b)I1一a+Ia+bl4.綜上所述，當a0時，g(x)在1區(qū)間0,2上的最大值不小于4.6(江辦)已知函數(shù)f(X)=f(x)=ax+bx(a0,b0,a豐1,b豐1)1(1)設(shè)a=2,b=2求方程f(x)=2的根；若對任意xGR，不等式f(2x)mf(x)一6恒成立，求實數(shù)m的最大值;(2)若0a1，b1,函數(shù)g(x)f(x0，所以m對于xGR恒成立.而f(x)，ff(1，丁)=f(1丁)，所以f(x

14、)在區(qū)間m的最大值為4.(2)因為函數(shù)g(x)二f(x)2只有1個零點，而g(0)二f(0)2二a0+b02二0，所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點.因為g(x)二axIna+bxInb，又由0a1知lna0,所以g(x)二0有唯一解x二log(竺).令h(x)二g(x),則0blnbah(x)=(axInabxInb)=ax(Ina)2+bx(Inb)2,從而對任意xeR,h(x)0,所以g(x)二h(x)是(一8,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，于是當xe(x0),g(x)g(x0)=0.因而函數(shù)g(x)在(一8,x0)上是單調(diào)減函數(shù)，在(x0,+8)上xx是單調(diào)增函數(shù).下證x0-0.若x00,則x02

15、0,于是g(才)a嗨a22=0,且函數(shù)g(x)在以*和lOg2為端點的閉區(qū)間上a2ax的圖象不間斷，所以在才和log2之間存在g(x)的零點，記為叫因為0a】，所以log2,2a1axx又才0,所以x10,同理可得，在才和log2之2102a間存在g(x)的非0的零點，矛盾因此，x0二0于是黑二1,故lna+lnb=0,所以ab=1.0lnb7.(四川)設(shè)函數(shù)fx)=ax2-a-lnx,其中aWR.(I)討論fx)的單調(diào)性；(II)確定a的所有可能取值，使得fx)-e1-x+在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立(e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù))。解(I)f(x)二2ax丄二2ax=1xxx0).當a0時

16、,f(x)0,f(x)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞/=f(x缶，它(x)為=4且二4所以m4，故實數(shù)/=f(x缶，它(x)為=4且二4所以m4，故實數(shù)第 #頁共10頁第 #頁共10頁第 #頁共10頁/=f(x缶，它(x)為=4且二4所以m4，故實數(shù)/=f(x缶，它(x)為=4且二4所以m4，故實數(shù)第 #頁共10頁第 #頁共10頁第 #頁共10頁f(x)0時，由f(x)=0,有x-.此時，當xe(0,，s(x)=ex-1-x.ex-12a當xe(,+8)時，f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.(II)令g(x)=-2ax則s(x)=ex-1一1.而當x1時，s(x)0,所以s(x)在區(qū)間d,+內(nèi)單調(diào)遞增又由

17、s(l)=o,有s(x)o,從而當x1時，f(x)0.當a0,x1時，f(x)=a(x2-1)-Inxg(x)在區(qū)間d，+)內(nèi)恒成立時，必有.當1.2寸2a由(I)有0,所以此時f(x)g(x)在區(qū)間(l,+)內(nèi)不恒成1111第 #頁共10頁第 #頁共10頁第 #頁共10頁1111第 #頁共10頁第 #頁共10頁第 #頁共10頁令h(x)f(x)g(x)(x1)，當x1時，e1工x111x32x1x22x1立.綜=min2Ix一(I)求使得(II)(i)求F(x)的最小值m(a)h(x)2ax1xx2(1，/)單調(diào)遞增又因為hE=CT,8(浙江)設(shè)1f(x)g(x)0,、二-11,一2a+4,

18、其中即f(x)恒成0，因此，h(x)在區(qū)間一2ax+4a一2成立的(ii)求F(x)在0,6上的最大值M(a)解(I)由于a3，故當x0,當x1時，Cx2一2ax+4a一2)一2x一1=(x一2)(x-2a).所以，使得等式F(x)=x2一2ax+4a一2成立的x的取值范圍為b，2。.(id(i)設(shè)函數(shù)f(x)=2x1g(x)-x2一2ax+4a一2,則f(x)=f(1)=0，g(x)=g(a)=a2+4a一2，所以，minmin由F(x)的定義知0,3a2+払F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2)m(a)=minf(1),g(a)，即m(a)=2x6時，F(xiàn)(x)g(x)max(g(2),g(6)=max2,348a=max&(2),F(6).所以,()348a,30知，f(x)與1_x+ex，1同號令g(x)二1，x+ex，1,則g(x)=，f1f(t一f(t+d+一lOg+ex，1.所以，當xw(2，1)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(h+s)上單