算法2013s-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

1、算法設(shè)計(jì)與分析2022年8月9日講授內(nèi)容：擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)教師：胡學(xué)鋼、吳共慶綱要?jiǎng)討B(tài)順序統(tǒng)計(jì)方法區(qū)間樹8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)2OS-SELECT (i,S) ：返回動(dòng)態(tài)集合S中第個(gè)i最小元素 。OS-RANK (x,S) ：返回 x S 在 S的元素中的排序的位置IDEA: 使用紅黑樹存儲(chǔ)集合 S, 同時(shí)在節(jié)點(diǎn)中保存子樹的大小。節(jié)點(diǎn)示意:Keysize動(dòng)態(tài)順序統(tǒng)計(jì)8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3一個(gè) OS-樹的例子8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)4實(shí)現(xiàn)技巧: 使用 監(jiān)視哨(啞記錄) 為 NIL ，令 sizeNIL = 0.OS-SELECT (x

2、, i) ith smallest element in the subtree rooted at x ksizeleftx + 1 k = rank(x) if i= k then return x if i highintx or lowintx highi) do i and intx dont overlap if leftx NIL and low i mleftx then xleftx else xrightx return x新操作8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)15xroot14,16 與 17,19 不重疊14 18 xleftx例子 1: INTERVAL-

3、SEARCH(14,16)8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1614,16 與 5,11 不重疊14 8 xrightx例子 1: INTERVAL-SEARCH(14,16)8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1714,16 與 15,18 重疊返回 15,18例子 1: INTERVAL-SEARCH(14,16)8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)18xroot12,14 與 17,19 不重疊12 18 xleftx例子 2: INTERVAL-SEARCH (12,14)8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1912,14 與 5,11 不重疊12 8

4、 xrightx例子 2: INTERVAL-SEARCH (12,14)8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)2012,14 與 15,18 不重疊12 10 xrightx例子 2: INTERVAL-SEARCH (12,14)8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)21x = NIL與12,14 重疊的區(qū)間不存在。例子 2: INTERVAL-SEARCH (12,14)8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)22時(shí)間 = O(h) = O(lg n) , 因?yàn)?INTERVAL-SEARCH 沿著一條簡(jiǎn)單路徑向下，所以在每層都花費(fèi)常數(shù)時(shí)間。列出所有的重疊區(qū)間: 搜索,

5、列出, 刪除,重復(fù)。 最后將他們重新插入。時(shí)間 = O(klg n) , k 是重疊區(qū)間的總數(shù)。存在一個(gè) 輸出敏感 的界.至今最好的算法需要: O(k+ lg n).分析8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)23定理. 令 L為節(jié)點(diǎn)x的左子樹的區(qū)間集合, 并且令 R 為節(jié)點(diǎn)x的右子樹的區(qū)間集合。 如果搜索走向右邊，那么 iL: i 重疊 i = . 如果搜索走向左邊, 那么 iL: i 重疊 i = iR: i 重疊 i = .換而言之,在2個(gè)孩子中選擇 1個(gè)總是安全的: 我們要么找到什么，要么什么都找不到。正確性8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)24證明. 假設(shè)首先搜索走向右邊。 如果 leftx = NIL, 那么得證, 因?yàn)?L = . 否則, 代碼顯示我們一定有l(wèi)owi mleftx. 值 mleftx對(duì)應(yīng)某些區(qū)間jL的高端點(diǎn), L 中的區(qū)間沒有比high j 還大的高端點(diǎn)。 因此, iL: i 重疊 i = .正確性證明8/9/2022算法設(shè)計(jì)與分析-擴(kuò)展數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)25假設(shè)搜索走向左邊, 同時(shí)假設(shè) iL: i 重疊 i = . 然后, 代碼顯示 lowi mleftx = highj 對(duì)于某些 jL. 因?yàn)?jL, 它與 i不重疊, 因此 highi lowj