算法2013s-擴展數(shù)據(jù)結構

1、算法設計與分析2022年8月9日講授內(nèi)容：擴展數(shù)據(jù)結構教師：胡學鋼、吳共慶綱要動態(tài)順序統(tǒng)計方法區(qū)間樹8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構2OS-SELECT (i,S) ：返回動態(tài)集合S中第個i最小元素 。OS-RANK (x,S) ：返回 x S 在 S的元素中的排序的位置IDEA: 使用紅黑樹存儲集合 S, 同時在節(jié)點中保存子樹的大小。節(jié)點示意:Keysize動態(tài)順序統(tǒng)計8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構3一個 OS-樹的例子8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構4實現(xiàn)技巧: 使用 監(jiān)視哨(啞記錄) 為 NIL ，令 sizeNIL = 0.OS-SELECT (x

2、, i) ith smallest element in the subtree rooted at x ksizeleftx + 1 k = rank(x) if i= k then return x if i highintx or lowintx highi) do i and intx dont overlap if leftx NIL and low i mleftx then xleftx else xrightx return x新操作8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構15xroot14,16 與 17,19 不重疊14 18 xleftx例子 1: INTERVAL-

3、SEARCH(14,16)8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構1614,16 與 5,11 不重疊14 8 xrightx例子 1: INTERVAL-SEARCH(14,16)8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構1714,16 與 15,18 重疊返回 15,18例子 1: INTERVAL-SEARCH(14,16)8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構18xroot12,14 與 17,19 不重疊12 18 xleftx例子 2: INTERVAL-SEARCH (12,14)8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構1912,14 與 5,11 不重疊12 8

4、 xrightx例子 2: INTERVAL-SEARCH (12,14)8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構2012,14 與 15,18 不重疊12 10 xrightx例子 2: INTERVAL-SEARCH (12,14)8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構21x = NIL與12,14 重疊的區(qū)間不存在。例子 2: INTERVAL-SEARCH (12,14)8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構22時間 = O(h) = O(lg n) , 因為 INTERVAL-SEARCH 沿著一條簡單路徑向下，所以在每層都花費常數(shù)時間。列出所有的重疊區(qū)間: 搜索,

5、列出, 刪除,重復。 最后將他們重新插入。時間 = O(klg n) , k 是重疊區(qū)間的總數(shù)。存在一個 輸出敏感 的界.至今最好的算法需要: O(k+ lg n).分析8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構23定理. 令 L為節(jié)點x的左子樹的區(qū)間集合, 并且令 R 為節(jié)點x的右子樹的區(qū)間集合。 如果搜索走向右邊，那么 iL: i 重疊 i = . 如果搜索走向左邊, 那么 iL: i 重疊 i = iR: i 重疊 i = .換而言之,在2個孩子中選擇 1個總是安全的: 我們要么找到什么，要么什么都找不到。正確性8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構24證明. 假設首先搜索走向右邊。 如果 leftx = NIL, 那么得證, 因為 L = . 否則, 代碼顯示我們一定有l(wèi)owi mleftx. 值 mleftx對應某些區(qū)間jL的高端點, L 中的區(qū)間沒有比high j 還大的高端點。 因此, iL: i 重疊 i = .正確性證明8/9/2022算法設計與分析-擴展數(shù)據(jù)結構25假設搜索走向左邊, 同時假設 iL: i 重疊 i = . 然后, 代碼顯示 lowi mleftx = highj 對于某些 jL. 因為 jL, 它與 i不重疊, 因此 highi lowj