行列式理論小結(jié)

1、行列式理論小結(jié)一、排列1.全排列定義1.1.1： 將n個(gè)不同的元素排成一列，不論排的次序如何，均統(tǒng)稱為n 個(gè)元素的全排列，或稱一個(gè)n級(jí)排列，簡(jiǎn)稱排列.如：12345678，75632184，等均為8個(gè)元素的全排列，或稱8級(jí)排列。問(wèn)題一一n個(gè)元素的全排列有多少個(gè)？一一n個(gè)元素的全排列的個(gè)數(shù)=n!.逆序與逆序數(shù)a.標(biāo)準(zhǔn)排序按數(shù)字從小到大的順序構(gòu)成的n級(jí)排列123 - n稱為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)排列，標(biāo)準(zhǔn)排列的元素之 間的順序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)順序。除了標(biāo)準(zhǔn)排列外，其他的全排列都至少有一個(gè)以上的大小次序的顛倒 的情況出現(xiàn)。這種顛倒次序的多少與排列的性質(zhì)有關(guān)，是一個(gè)很重要的概念。逆序定義1.1.2在任一排列中，若某兩個(gè)元素的

2、順序與標(biāo)準(zhǔn)順序不同，就稱這兩個(gè)元素構(gòu) 成了一個(gè)逆序。即前面的元素按標(biāo)準(zhǔn)次序應(yīng)該是小數(shù)，但在這個(gè)排列中它卻比它后邊某數(shù)大 了，則稱這二個(gè)數(shù)構(gòu)成了一個(gè)逆序。那么一個(gè)排列的逆序，當(dāng)然不會(huì)是固定的某個(gè)公式能算， 有時(shí)候只有一個(gè)逆序，有時(shí)候有若干個(gè)，應(yīng)該怎么計(jì)算呢？這個(gè)知識(shí)很重要，這關(guān)系到你后 邊要理解行列式展開的那些項(xiàng)前的正負(fù)號(hào)問(wèn)題，所以大家要學(xué)會(huì)計(jì)算逆序數(shù)。c、逆序數(shù)及其求法逆序數(shù)：在一個(gè)排列中，逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)通常排列j jA 7；的 逆序數(shù)用符號(hào)t(7 7 A j )表示。1 2 n(2)逆序數(shù)的求法：從第二個(gè)元素起開始數(shù)，該元素前有幾個(gè)數(shù)比它大，這個(gè)元素的 逆序就是幾，將一個(gè)排列

3、所有元素的逆序相加，即得到這個(gè)排列的逆序數(shù)例如：213的逆序數(shù)為1，321的逆序數(shù)為3.請(qǐng)計(jì)算t(589624317)= ?0+0+0+2+4+4+5+7+2=24再計(jì)算T(586924317)= ?0+0+1+0+4+4+5+7+2=23請(qǐng)觀察改變一對(duì)數(shù)字的位置后，逆序數(shù)的變化情況。3、排列的奇偶性定義1.1.3逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。對(duì)換與排列的奇偶性關(guān)系對(duì)換的定義：在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列 的手續(xù)叫做一次對(duì)換；將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換，簡(jiǎn)稱鄰換。對(duì)換與排列的奇偶性的關(guān)系引理1.1.1：一次鄰換改變排列的奇偶性.

4、定理1.1.1 一次對(duì)換必改變排列的奇偶性推論：奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶 數(shù).二、二階和三階行列式(一)二階行列式1、引入用消元法解二元一次方程組 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark33 o Current Document I a x + a x = b(1) 11 112 21 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document a x + a x = b(2)=ba 一a b1 2212 221 122 22由 a22 X (1) - a12 消去 x2 得(ana22 - a1

5、2氣由 a21 Xa11 X (2) 消 去x1得(a a 一 a a )x = b a 一 a b = -(a b 一 b a )21 1211 2221 2111 211 21 21當(dāng)a11a22 - a12a21 *。時(shí)，求得方程組的解為_ b a 一 a bx 1 2212 21(a a 一 a a )11 2212 21_ b a 一 a bx =-112142(a a 一 a a )11 2212 21(3)分析：顯然求出來(lái)的解都是和方程組的系數(shù)及等號(hào)后邊的常數(shù)項(xiàng)有關(guān)，而 且分母剛好僅與未知量前的系數(shù)相關(guān)，而與等號(hào)后邊的常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。分子 與等號(hào)后的常數(shù)及另外一個(gè)未知量的系數(shù)有關(guān)。人

6、們?yōu)榱朔奖阌?jì)算，引進(jìn) 了一種行列式符號(hào)，精確地表示出這樣的一種解式中的分子和分母：引入符號(hào)a11a21a12表示分母，即定義a22a11a21a12a22=a a 一 a a11 2212 21a a u 人.行人 / -r 卜-i-u / r. a a a a a a a a 1112為一個(gè)二階仃列式，其值=11 2212 21。11 2212 21正好等a a設(shè)有方程組aaba1112D 112aa1ba21221222aiia21則當(dāng)D o0時(shí)，方程組有解為_ Dd2例1：I 3x _ 2x 1, 求解二元線性方程組2氣+ %3.解：Q3-21-2D 213 x 1 2 x (-2) 7

7、 o 0,131于對(duì)角線上兩個(gè)元素乘積之差。這個(gè)行列式，也稱上述方程組的系數(shù)行列 式。其中稱數(shù)aij為行列式的元素，元素的第一個(gè)下標(biāo)i表示這個(gè)元素所在的 行數(shù)，稱為行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)j表示這個(gè)元素所在的列數(shù)，稱為列標(biāo).注:二階行列式的計(jì)算可用對(duì)角線法幫助記憶:主對(duì)角線上元素的乘積-次 對(duì)角線上元素的乘積.2、用二階行列式解二元一次方程組a x + a x b11 112 21a x + a x b21 122 22x1 D 71,（二） 三階行列式定義:三階行列式:aaa111213aaa212223aaa31323311 22 a33a a + a a a - a12 23 3113 21 3211a 23 a 3212 a21 33a -弓的a22 a3112-4-221-34-2例2：求D 解12-4D -221-34-21x 2 x (-2) + 2 x 1 x(3)+(-2) x 4 x 2 - (-4)x 2 x (-3) -1 x 1 x 4 - 2 x (-2) x (-2) T4