高中物理選擇性必修3第二課時離散型隨機變量的分布列及兩點分布

1、第二課時離散型隨機變量的分布列及兩點分布課標要求素養(yǎng)要求1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的分布列.2.掌握離散型隨機變量分布列的表示方法和性質(zhì).通過研究離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)，進一步提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究在迎奧運會射擊比賽訓(xùn)練中，統(tǒng)計某運動員的射擊結(jié)果可知，該運動員射擊所中環(huán)數(shù)均在7環(huán)(含7環(huán))以上，已知該運動員射擊一次命中7環(huán)的概率為0.1，射擊一次命中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率依次成等差數(shù)列問題你能知道該運動員射擊命中環(huán)數(shù)的概率分布情況嗎？提示通過學習本節(jié)課的離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)，我們可以很快解決此類問題1離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量在某一范

2、圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之和(1)離散型隨機變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為 x1，x2，xn ，我們稱X取每一個值xi的概率P(Xxi)pi，i1，2，n為X的概率分布列，簡稱為分布列(2)可以用表格來表示X的分布列，如下表Xx1x2xixnPp1p2pipn還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖2離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)(1)pi0，i1，2，n；(2) p1p2pn1.3兩點分布對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，eq o(A,sup6()表示“失敗”，定義Xeq blc(avs4al

3、co1(1，A發(fā)生，,0，o(A,sup6()發(fā)生.)如果P(A)p，則P(eq o(A,sup6()1p，那么X的分布列如表所示X01P1pp我們稱X服從兩點分布或01分布拓展深化微判斷1在離散型隨機變量分布列中隨機變量的每一個可能值對應(yīng)的概率可以為任意的實數(shù)()提示概率必須滿足pi0才行2在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之積()提示在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之和3在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為1.()微訓(xùn)練1設(shè)離散型隨機變量X的概率分布列如下表：X1234Peq f(1,6)eq f(1

4、,3)eq f(1,6)p則p的值為()A.eq f(1,2) B.eq f(1,6) C.eq f(1,3) D.eq f(1,4)解析由分布列的性質(zhì)，知eq f(1,6)eq f(1,3)eq f(1,6)p1，故peq f(1,3).答案C2已知隨機變量X的分布列為：P(Xk)eq f(1,2k)，k1，2，則P(2X4)_解析P(2X4)P(X3)P(X4)eq f(1,23)eq f(1,24)eq f(3,16).答案eq f(3,16) 微思考1拋擲一枚骰子，朝上的一面所得點數(shù)X有哪些值？取每個值的概率是多少？提示X的取值有1，2，3，4，5，6，則P(X1)eq f(1,6)，

5、P(X2)eq f(1,6)，P(X3)eq f(1,6)，P(X4)eq f(1,6)，P(X5)eq f(1,6)，P(X6)eq f(1,6).2離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的嗎？提示是離散型隨機變量的各個可能值表示的事件不會同時發(fā)生，是彼此互斥的.題型一求離散型隨機變量的分布列【例1】為檢測某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克)，測量數(shù)據(jù)如下：編號12345x169178166177180y7580777081如果產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x177且y79時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)

6、X的分布列解5件抽測品中有2件優(yōu)等品，則X的可能取值為0，1，2.P(X0)eq f(Ceq oal(2,3),Ceq oal(2,5)0.3，P(X1)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(1,2),Ceq oal(2,5)0.6，P(X2)eq f(Ceq oal(2,2),Ceq oal(2,5)0.1.優(yōu)等品數(shù)X的分布列為X012P0.30.60.1規(guī)律方法求離散型隨機變量分布列的步驟(1)首先確定隨機變量X的取值；(2)求出每個取值對應(yīng)的概率；(3)列表對應(yīng)，即為分布列【訓(xùn)練1】某班有學生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人現(xiàn)

7、從中抽1人，其血型為隨機變量X，求X的分布列解將O，A，B，AB四種血型分別編號為1，2，3，4，則X的可能取值為1，2，3，4.P(X1)eq f(Ceq oal(1,10),Ceq oal(1,45)eq f(2,9)，P(X2)eq f(Ceq oal(1,12),Ceq oal(1,45)eq f(4,15)，P(X3)eq f(Ceq oal(1,8),Ceq oal(1,45)eq f(8,45)，P(X4)eq f(Ceq oal(1,15),Ceq oal(1,45)eq f(1,3).故其分布列為X1234Peq f(2,9)eq f(4,15)eq f(8,45)eq f(

8、1,3)題型二分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用【例2】設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列解由分布列的性質(zhì)知：0.20.10.10.3m1，m0.3.首先列表為X012342X113579|X1|10123從而由上表得兩個分布列為(1)2X1的分布列2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列|X1|0123P0.10.30.30.3規(guī)律方法離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)通過性質(zhì)建立關(guān)系，求得參數(shù)的取值或范圍，進一步求出概率，得出分布列(2)求對立事件的概率或判斷某概率是否成立【訓(xùn)練2】(1

9、)已知離散型隨機變量X的分布列為X123nPeq f(k,n)eq f(k,n)eq f(k,n)eq f(k,n)則k的值為()A.eq f(1,2) B1 C2 D3解析由eq f(k,n)eq f(k,n)eq f(k,n)1，得eq f(nk,n)1，即k1.答案B(2)設(shè)隨機變量X的分布列為P(Xi)eq f(k,2i)(i1，2，3)，則P(X2)_解析由已知得隨機變量X的分布列為X123Peq f(k,2)eq f(k,4)eq f(k,8)eq f(k,2)eq f(k,4)eq f(k,8)1，keq f(8,7).P(X2)P(X2)P(X3)eq f(k,4)eq f(k

10、,8)eq f(2,7)eq f(1,7)eq f(3,7).答案eq f(3,7)題型三兩點分布【例3】袋中有5個白球，6個紅球，從中摸出兩球，記Xeq blc(avs4alco1(0，兩球全紅，,1，兩球非全紅，)求隨機變量X的分布列解由題意知，X服從兩點分布，P(X0)eq f(Ceq oal(2,6),Ceq oal(2,11)eq f(3,11)，所以P(X1)1eq f(3,11)eq f(8,11).所以隨機變量X的分布列為X01Peq f(3,11)eq f(8,11)規(guī)律方法兩點分布的4個特點(1)兩點分布中只有兩個對應(yīng)結(jié)果，且兩結(jié)果是對立的；(2)兩點分布中的兩結(jié)果一個對應(yīng)

11、1，另一個對應(yīng)0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X0)(或P(X1)，便可求出P(X1)(或P(X0)；(4)在有多個結(jié)果的隨機試驗中，如果我們只關(guān)心一個隨機事件是否發(fā)生，就可以利用兩點分布來研究它【訓(xùn)練3】已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進行檢查，若用隨機變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的分布列解由題意知，X服從兩點分布，P(X0)eq f(Ceq oal(2,199),Ceq oal(2,200)eq f(99,100)，所以P(X1)1eq f(99,100)eq f(1,100).所以隨機變量X的分布列為X01Peq f(99,100

12、)eq f(1,100)一、素養(yǎng)落地1通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng)2離散型隨機變量的分布列，不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一個值時的概率的大小，從而反映了隨機變量在隨機試驗中取值的分布情況3一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和二、素養(yǎng)訓(xùn)練1已知隨機變量X的分布列如下：X12345678910Peq f(2,3)eq f(2,32)eq f(2,33)eq f(2,34)eq f(2,35)eq f(2,36)eq f(2,37)eq f(2,38)eq f(2,39)m則P(X10)等于()A.eq f

13、(2,39) B.eq f(2,310) C.eq f(1,39) D.eq f(1,310)解析P(X10)1eq f(2,3)eq f(2,39)eq f(1,39).答案C2已知隨機變量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)等于()X101PabcA.eq f(1,3) B.eq f(1,4) C.eq f(1,2) D.eq f(2,3)解析a，b，c成等差數(shù)列，2bac.由分布列的性質(zhì)得abc3b1，beq f(1,3).P(|X|1)P(X1)P(X1)1P(X0)1eq f(1,3)eq f(2,3).答案D3已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))

14、：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果錯誤的是()Aa0.1 BP(X2)0.7CP(X3)0.4 DP(X1)0.3解析易得a0.1，P(X2)P(X2)P(X3)P(X4)0.7，P(X3)P(X3)P(X4)0.3，P(X1)P(X0)P(X1)0.3，故C錯誤答案C4設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X101Peq f(1,2)12qq2則P(X0)_解析由分布列的性質(zhì)，得12q0，q20，eq f(1,2)(12q)q21，所以q1eq f(r(2),2)，q1eq f(r(2),2)(舍去)P(X0)P(X1)P(X0)eq f(1,2)12eq blc(rc)

15、(avs4alco1(1f(r(2),2)eq r(2)eq f(1,2).答案eq r(2)eq f(1,2)5若離散型隨機變量X的分布列為：X01P9c2c38c試求出離散型隨機變量X的分布列解由已知可得9c2c38c1，9c29c20，ceq f(1,3)或eq f(2,3).檢驗：當ceq f(1,3)時，9c2c9eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(2)eq f(1,3)eq f(2,3)0，38c3eq f(8,3)eq f(1,3)0；當ceq f(2,3)時，9c2c9eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2

16、)eq f(2,3)1，38c3eq f(16,3)0(不適合，舍去)故ceq f(1,3).故所求分布列為X01Peq f(2,3)eq f(1,3)基礎(chǔ)達標一、選擇題1設(shè)隨機變量X等可能取值1，2，3，n，如果P(X4)0.3，那么()An3 Bn4 Cn10 Dn9解析由題意知P(X4)3P(X1)0.3，P(X1)0.1，又nP(X1)1，n10.答案C2若隨機變量X的分布列如下：X210123P0.10.20.20.30.10.1則當P(Xx)0.8時，實數(shù)x的取值范圍是()A(，1 B1，2 C(1，2 D1，2)解析由分布列知，P(X2)P(X1)P(X0)P(X1)0.10.2

17、0.20.30.8，P(X2)0.8，故17)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.答案C4下列表中能成為隨機變量X的分布列的是()解析選項A、D不滿足分布列的概率和為1，選項B不滿足分布列的概率為非負數(shù)答案C5若離散型隨機變量X的分布列如表所示，則a的值為()X11P4a13a2aA.eq f(1,3) B2 C.eq f(1,3)或2 D.eq f(1,2)解析由分布列的性質(zhì)，得eq blc(avs4alco1(4a13a2a1，,04a11，,03a2a1，)解得aeq f(1,3).答案A二、填空題6一批產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品

18、為二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量X，則Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)Xf(5,3)_解析設(shè)二級品有k個，則一級品有2k個，三級品有eq f(k,2)個，總數(shù)為eq f(7,2)k個X的分布列為X123Peq f(4,7)eq f(2,7)eq f(1,7)Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)Xf(5,3)P(X1)eq f(4,7).答案eq f(4,7)7由于電腦故障，使得隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，以代替，其表如下：X123456P0.200.100.50.100.10.20根據(jù)該表可知X取奇數(shù)值時的概率是_

19、解析由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，可求得P(X3)0.25，P(X5)0.15，故X取奇數(shù)值時的概率為P(X1)P(X3)P(X5)0.200.250.150.6.答案0.68一批產(chǎn)品分為四級，其中一級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的兩倍，三級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的一半，四級產(chǎn)品與三級產(chǎn)品相等，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗質(zhì)量，其級別為隨機變量X，則P(X1)_解析依題意，P(X1)2P(X2)，P(X3)eq f(1,2)P(X2)，P(X3)P(X4)，由分布列性質(zhì)得P(X1)P(X2)P(X3)P(X4)1，則4P(X2)1，即P(X2)eq f(1,4)，P(X3)P(X4)eq f(1,8).P(X1)

20、P(X2)P(X3)P(X4)eq f(1,2).答案eq f(1,2)三、解答題9將一枚骰子擲兩次，第一次擲出的點數(shù)減去第二次擲出的點數(shù)的差為X，求X的分布列解第一次擲出的點數(shù)與第二次擲出的點數(shù)的差X的可能取值為5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5，則P(X5)eq f(1,36)，P(X4)eq f(2,36)eq f(1,18)，P(X5)eq f(1,36).故X的分布列為X54321012345Peq f(1,36)eq f(1,18)eq f(1,12)eq f(1,9)eq f(5,36)eq f(1,6)eq f(5,36)eq f(1,9)eq f(1,12)eq f(

21、1,18)eq f(1,36)10.設(shè)S是不等式x2x60的解集，整數(shù)m，nS.(1)設(shè)“使得mn0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉事件A包含的基本事件；(2)設(shè)Xm2，求X的分布列解(1)由x2x60，得2x3，即Sx|2x3由于m，nZ，m，nS且mn0，所以事件A包含的基本事件為(2，2)，(2，2)，(1，1)，(1，1)，(0，0)(2)由于m的所有不同取值為2，1，0，1，2，3，所以Xm2的所有不同取值為0，1，4，9，且有P(X0)eq f(1,6)，P(X1)eq f(2,6)eq f(1,3)，P(X4)eq f(2,6)eq f(1,3)，P(X9)eq f(1

22、,6).故X的分布列為X0149Peq f(1,6)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,6)能力提升11已知隨機變量X只能取三個值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是()A0，eq f(1,3) Beq f(1,3)，eq f(1,3)C3，3 D0，1解析設(shè)隨機變量X取x1，x2，x3的概率分別為ad，a，ad，則由分布列的性質(zhì)得(ad)a(ad)1，故aeq f(1,3)，由eq blc(avs4alco1(f(1,3)d0，,f(1,3)d0，)解得eq f(1,3)deq f(1,3).答案B12設(shè)隨機變量X的分布列為P(Xeq f(k,5)ak(k1，2，3，4，5)(1)求常數(shù)a的值；(2)求Peq blc(rc)(avs4alco1(Xf(3,5)；(3)求Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)Xf(7,10).解由題意，所給分布列為Xeq f(1,5)eq f(2,5)eq f(3,5)eq f(4,5)eq f(5,5)Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性質(zhì)得a2a3a4a5a1，解得aeq f(1,15).(2)Peq blc(rc)(avs4alco1(Xf(3,5)Peq blc(rc