高中物理選擇性必修37.3.1離散型隨機變量的均值導(dǎo)學(xué)案

1、7.3.1離散型隨機變量的均值 1理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì)2會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值3會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題重點：離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì) 難點：用離散型隨機變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題 1. 隨機變量X的均值：一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：則稱E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpnXx1x2xixnPp1p2pipn為隨機變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation),數(shù)學(xué)期望簡稱期望.均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反

2、映了隨機變量取值的平均水平.2. 兩點分布的均值：一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么：E(X)1p+0(1-p)=pX10Pp1-p3. 離散型隨機變量的均值的性質(zhì)：已知X是一個隨機變量，且分布列如下表所示.Xx1x2xixnPp1p2pipn若X,Y是兩個隨機變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機變量X的線性函數(shù)的均值等于這個隨機變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:(1)當a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.(2)當a=1時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)的和.(3)當b=0時,E(aX)=aE

3、(X),即常數(shù)與隨機變量乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機變量的均值的乘積.問題探究對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關(guān)事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學(xué)成績的方差。 我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機變量的某個方面的特征，最常用的有期望與方差.探究1.甲乙兩名射箭運動員射中目標靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：如何比較他們射箭水平的高低呢？環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.2

4、50.40.2二、典例解析例1. 在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運動員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少?典例解例2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為X,求X的均值.求離散型隨機變量X的均值的步驟：(1)理解X的實際意義，寫出X全部可能取值；(2)求出X取每個值時的概率；(3)寫出X的分布列(有時也可省略)；(4)利用定義公式EX=i=1nxipi求出均值跟蹤訓(xùn)練1.某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止如果李明決定參加駕照考

5、試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示：規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認為哪個順序獲得的公益基金均值最大？例4.根

6、據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設(shè)備，有以下三種方案：方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元。方案2：建保護圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢? 值得注意的是,上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的,一般地,我們可以這樣來理解“期望總損失”:如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2將會使總損失減到最小,不過,因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的,所以對于個別的一次決策,采

7、用方案2也不一定是最好的.1若隨機變量X的分布列為X101Peq f(1,2)eq f(1,6)eq f(1,3)則E(X)()A0 B1 Ceq f(1,6) Deq f(1,2)2.某射手對靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為()A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.43.已知的分布列如下表,若=3+2,則E()=. 123P12t134.設(shè)l為平面上過點(0,1)的直線,l的斜率等可能地取-22,-3,-52,0,52,3,22.用X表示坐標原點到l的距離,則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.5.口袋里裝有大小

8、相同的8張卡片,其中3張標有數(shù)字1,3張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字3.第一次從口袋里任意抽取1張,放回口袋里后第二次再任意抽取1張,記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為.求:(1)為何值時,其發(fā)生的概率最大?并說明理由.(2)隨機變量的數(shù)學(xué)期望E().1求離散型隨機變量均值的步驟(1)確定離散型隨機變量X的取值；(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；(3)根據(jù)公式寫出均值2若X，Y是兩個隨機變量，且YaXb，則E(Y)aE(X)b；如果一個隨機變量服從兩點分布，可直接利用公式計算均值 參考答案：知識梳理學(xué)習(xí)過程問題探究探究1.類似兩組數(shù)據(jù)的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數(shù),如果平均環(huán)數(shù)相等，再看

9、穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為：甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù) 當n足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于70.1+80.2+90.3+100.4=9.即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為70.15+80.25+90.4+100.2=8.65.從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.二、典例解析例1.分析:罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果,命中時X=1,不中時X=0,因此隨機變量X服從兩點分布,X的均值反映了該運動員罰球1次的平均得分水平.解：因為P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，

10、所以E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=10.8+00.2 =0.8即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.例2.分析:先求出X的分布列,再根據(jù)定義計算X的均值。解：X的分布列為(X=k)= 16,k=1,2,3,4,5,6因此,E(X)= 16(1+2+3+4+5+6)=3.5.跟蹤訓(xùn)練1. 解X的取值分別為1,2,3,4.X1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P(X1)0.6.X2，表明李明第一次考試未通過，第二次通過了，故P(X2)(10.6)0.70.28.X3，表明李明第一、二次考試未通過，第三次通過了，故P(X3)(10.6)(10.7)0.80.096.X4，表明李

11、明第一、二、三次考試都未通過，故P(X4)(10.6)(10.7)(10.8)0.024.所以李明一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列為X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值為E(X)10.620.2830.09640.0241.544.例3: 解：分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨立(=0)=(A)=0.2, (=1000)=(AB)=0.80.4=0.32,(=3000)=(C)=0.80.60.6=0.288,(=6000)=()=0.80.60.4=0.192.X的分布列如下表所示：X0100040006000P0.20.480.1280.1

12、92的均值為()=00.2+10000.32+30000.288+60000.192=2336.思考：解：如果按ACB的順序來猜歌,分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨立; (=0)=(A)=0.2,(=1000)=(AC)=0.80.4=0.32,(=3000)=(CB)=0.80.40.4=0.128,(=6000)=(CB)=0.80.40.6=0.192.X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192X的均值為E(X)=00.2+10000.48+40000.128+60000.192=2144.按由易到難的順序來猜

13、歌，獲得的公益基金的均值最大猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872例4.分析:決策目標為總損失(投入費用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示： 天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水 概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機變量,可以采用期望總損失最小的方案。解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,無論有無洪水,都損失3800元.因此,

14、P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水時,總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時,總損失為2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62 0000.01+2 0000.99=2 600,E(X3)=60 0000.01+10 0000.25+00.74=3 100.因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.達標檢測1CE(X)(1)eq f(1,2)0eq f(1,6)1eq f

15、(1,3)eq f(1,6).2.解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.40.6=0.24;P(X=1)=0.420.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=30.6+20.24+10.096+00.064=2.376.答案:C3.解析:因為12+t+13=1,所以t=16.E()=112+216+313=116.E()=E(3+2)=3E()+2=3116+2=152.答案:1524.解析:當l的斜率k=22時,直線方程為22x-y+1=0,此時d1=13;k=3時,直線方程為3x-y+1=0,此時d2=12;k=52時,直線方程為52x-y+1=0,此時d3=23;k=0時,直線方程為y-1=0,此時d4=1.由等可能性事件的概率可得分布