離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望

1、關(guān)于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)習(xí)引入第二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)定義： 一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1、每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行；2、每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果:發(fā)生與不發(fā)生；3、各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；4、每次試驗(yàn),某事件發(fā)生的概率是相同的。注：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：1.基本概念第三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月基本概念2、二項(xiàng)分布： 一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的

2、概率為此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n,p),并稱p為成功概率。第四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月51.概率分布列一般地，假定隨機(jī)變量X有n個(gè)不同的取值，它們分別是x1,x2, ,xn且P(X=xi)=pi, （i=1,2, ,n）則稱為隨機(jī)變量X 的分布列，簡稱為X的分布列.Xx1x2xnPP1,p2pn此表叫X概率分布列，表格表示第五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1、某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？把環(huán)數(shù)看成隨機(jī)變量的概率分布列：X1234P互動(dòng)探索第六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6

3、月一、離散型隨機(jī)變量取值的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。第七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?例1 誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手第八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解故甲射手的技術(shù)比較好.第九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3(2011福建福州質(zhì)檢)已知某一隨機(jī)變量的概率分布列如下，且E6.3，則a的值為()A.5 B6C7 D8解析：由分布列性質(zhì)知：0.50.1b1，b0.4E40.5a0.190.46.3a7.故選C.答案：C4a9P0.50.1b第十張，

4、PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月類型一求離散型隨機(jī)變量的期望解題準(zhǔn)備：求離散型隨機(jī)變量的期望，一般分兩個(gè)步驟：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；利用公式Ex1p1x2p2xipi，求出期望值【典例1】(2011福州市高中畢業(yè)班綜合測試卷)口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標(biāo)有數(shù)字1，三張標(biāo)有數(shù)字2，兩張標(biāo)有數(shù)字3，第一次從口袋里任意抽取一張，放回口袋后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為.(1)為何值時(shí)，其發(fā)生的概率最大？說明理由(2)求隨機(jī)變量的期望E.第十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月點(diǎn)評本題主要考查某

5、事件發(fā)生概率的求法，以及離散型隨機(jī)變量分布列的數(shù)學(xué)期望的求法問題(1)，對的取值做到不重不漏，這是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方利用好計(jì)數(shù)原理和排列、組合數(shù)公式，求事件發(fā)生的概率，問題(2)比較容易，用好離散型隨機(jī)變量分布列的數(shù)學(xué)期望公式即可第十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（廣東卷17）隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為X（1）求X的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即X的數(shù)學(xué)期望）；（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有

6、四個(gè)等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？高考鏈接：第十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；， ， , 故的分布列為：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為依題意， ，即 ，解得 所以三等品率最多為3%第十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)YaXb，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量（1） Y的分布列是什么？（2） E(Y)=？思考：第十六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于20

7、22年6月YaXb第十七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、離散型隨機(jī)變量取值的均值二、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（線性性質(zhì)）第十八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月即時(shí)訓(xùn)練：1、隨機(jī)變量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)則E(X)= . 2、隨機(jī)變量的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，則E(Y)= . 5.847910P0.3ab0.2E（）=7.5,則a= b= .0.40.1第十九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：已知隨機(jī)變量X的分布列如下：第二十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已

8、知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，X10Pp1p則三、例題講解兩點(diǎn)分布的期望第二十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月三、例題講解變式1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他連續(xù)罰球3次的得分X的均值是多少？X0123P分析： XB（3，0.7）為什么呢？Ex=第二十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？三、例題講解變式2.籃球運(yùn)動(dòng)員

9、在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為p，則他連續(xù)罰球n次的得分x的均值是多少？x01knpx的概率分布如下：xB(n,p)為什么呢？能證明它嗎？E(X)=np第二十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：所以若B(n，p)，則E（）np 證明：若B(n，p)，則Enp 第二十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2；一般地，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即XB（n,p），則E(X)=np結(jié)論：1；一般地，如果隨機(jī)變量X服從 兩點(diǎn)分布（1，p)，則E(X)p第二十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3， 一個(gè)袋子里裝有大小相同的3 個(gè)紅球和2

10、個(gè)黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 .3即時(shí)訓(xùn)練：4，隨機(jī)變量XB（8，p），已知X的均值E(X)=2，則P（x=3)= . 第二十六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例2.一個(gè)袋子里裝有大小相同的3 個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中摸出3個(gè)球.（1）求得到黃球個(gè)數(shù)的分布列；（2）求的期望。小結(jié)：一般地,如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則超幾何分布的數(shù)學(xué)期望第二十七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 假如你 是一位商場經(jīng)理，在五一那天想舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料顯示，若在商場內(nèi)舉行促銷活動(dòng)，可獲利2萬元；若在商場外舉行促銷活動(dòng)，則要看天氣情況:不

11、下雨可獲利10萬元，下雨則要損失4萬元。氣象臺(tái)預(yù)報(bào)五一那天有雨的概率是40%，你應(yīng)選擇哪種促銷方式？解：設(shè)商場在商場外的促銷活動(dòng)中獲得經(jīng)濟(jì)效益為X萬元，則X的分布列為0.40.6410PXE X = 100.6(4) 0.4 = 4.4萬元2萬元,故應(yīng)選擇在商場外搞促銷活動(dòng)。第二十八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例4：一次單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng).其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，每題選對得5分.不選或選錯(cuò)不得分，滿分100分.學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè).分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗(yàn)中的成績的均值.思路分析：設(shè)甲、

12、乙選對題數(shù)分別為X1、X2，則甲、乙兩人的成績分別為Y1= 5X1、Y2= 5X2， 問題轉(zhuǎn)化為求:E(Y1)= E(5X1)= E(Y2) =E(5X2)=思考：X1、X2服從什么分布？5E(X1)5E(X2)第二十九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次單元測驗(yàn)中選對的題數(shù)分別是X1和X2，則 X1B(20，0.9)， X2B(20，0.25)，EX1200.918，EX2200.255由于答對每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗(yàn)中的成績分別是5X1和5X2。所以，他們在測驗(yàn)中的成績的期望分別是E(5X1)5EX151890，E(5X2)5EX25525第三

13、十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月布置作業(yè)謝謝！第三十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 (2010衡陽模擬)一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有n件次品，用戶先對產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查(取出的產(chǎn)品不放回箱子)，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品(1)若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是 ，求n的值；(2)在(1)的條件下，記抽檢的產(chǎn)品次品件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望作業(yè)：第三十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【解】(1)設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事

14、件A，n2.(2)X的可能取值為1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=第三十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月X的概率分布列為：X123P第三十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1(2010河南六市聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試公司規(guī)定面試合格者可簽約甲、乙面試合格 就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽約設(shè)每人面試合格的概率都是 ，且面試是否合格互不影響求： (1)至少有三人面試合格的概率； (2)恰有兩人簽約的概率； (3)簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望第三十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解：(1)設(shè)“至少有3人面試合格”為事件A，則P(A)(