曲線擬合課件

1、1第四講 曲線擬合2第四講主要知識(shí)點(diǎn)1、曲線擬合的概念2、曲線擬和的方法3、解矛盾方程組3函數(shù)插值問(wèn)題回憶設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系 在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：插值問(wèn)題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造函數(shù) 的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式,以便于計(jì)算點(diǎn) 的函數(shù)值 ，或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。4曲線擬和的概念 在前面所討論的各種插值方法中，始假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是精確的，準(zhǔn)確的，不可修改的，所要求出的插值曲線必須通過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。但在實(shí)際工作中由于各隨機(jī)因素的干擾，所得到的數(shù)據(jù)往往不同程度存在著誤差。因此，插值方法只能適用那些誤差可以忽略不記的情況，當(dāng)誤差較大而不能忽略時(shí)，又如何通過(guò)這些觀測(cè)數(shù)據(jù)確定其內(nèi)在的變化規(guī)律呢？曲線擬合就

2、是解決這一問(wèn)題的主要方法之一。 5曲線擬合的概念如圖所示，常常需要從一組獲得的數(shù)據(jù)點(diǎn)中，尋找變量與變量之間的變化規(guī)律用幾何方法來(lái)解釋，就是用已知平面內(nèi)的一組點(diǎn)，來(lái)確定一條曲線，使該曲線能在整體上刻畫(huà)這組點(diǎn)的變化趨勢(shì)而不需通過(guò)每個(gè)點(diǎn)，我們稱這種方法為曲線擬合，所求出的曲線稱為擬合曲線。 xy6曲線擬合的方法將上述問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題為：設(shè)有一組數(shù)據(jù)對(duì) ， ，求連續(xù)變量的一個(gè)函數(shù)，它在 處誤差為 ，使總體誤差按某種算法達(dá)到最小常用的三種準(zhǔn)則是:7曲線擬合的方法（）使得誤差的最大的絕對(duì)值為最小，即（）使誤差的絕對(duì)值和最小，即（）使誤差的平方和為最小，即 由于準(zhǔn)測(cè)（）、（）含有絕對(duì)值不便于處理，通常采用

3、準(zhǔn)測(cè)（），并稱基于準(zhǔn)則（）來(lái)選取擬合曲線的方法，為曲線擬合的最小二乘法。太復(fù)雜不可導(dǎo)，求解困難8多項(xiàng)式擬合一般而言，所求得的擬合函數(shù)可以是不同的函數(shù)類，其中最簡(jiǎn)單的是多項(xiàng)式，此時(shí)稱為多項(xiàng)式擬合，具體定義如下： 9多項(xiàng)式擬合定義 設(shè)有給定的數(shù)據(jù) ，假設(shè)其擬合函數(shù)形式為 ， 求系數(shù) ，使得 取最小值稱 次多項(xiàng)式為 次最小二乘擬合多項(xiàng)式(或 次最小平方逼近多項(xiàng)式)。特別地，當(dāng) 時(shí)，稱 為線性最小二乘擬合。 10多項(xiàng)式擬合容易看出 是系數(shù) 的 元二次多項(xiàng)式(二次型)，所以可以用多元函數(shù)求極值的方法求其最小值點(diǎn)和最小值。將 對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)得到駐點(diǎn)方程組： ， 即 11直線擬合問(wèn)題 對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，求作一

4、次式，使總誤差為最小，即在二元函數(shù)式中 為最小。 這里Q是關(guān)于未知數(shù)a和b的二元函數(shù)，這一問(wèn)題就是要確定a和b取何值時(shí)，二元函數(shù)的值最小?12直線擬合 由微積分的知識(shí)可知，這一問(wèn)題的求解，可歸結(jié)為求二元函數(shù)的極值問(wèn)題，即和應(yīng)滿足：13直線擬合14擬合例題例1 已知觀測(cè)數(shù)據(jù)如下所示，求它的擬合曲線。解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)下畫(huà)出數(shù)據(jù)點(diǎn)，從圖中可以看出，各點(diǎn)在一條直線附近，故可取線性函數(shù)作為擬合曲線 1234544.5688.515擬合例題（續(xù)1）令 將數(shù)據(jù)帶入公式得，解得 。因此而得所求擬合曲線為 。16擬合例題例2 有一滑輪組，要舉起W公斤的重物需要用F公斤的力，實(shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)如下表。求適

5、合上述關(guān)系的近似公式。17擬合例題解 首先，將這些數(shù)據(jù)畫(huà)在直角坐標(biāo)系中，從圖形上 看，數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布大致呈一條直線，所以設(shè)所求 的擬合直線為 ， 得關(guān)于a和b的線性方程組18其他類擬合問(wèn)題 最小二乘法并不只限于多項(xiàng)式，也可用于任何具體給出的函數(shù)形式。特別重要的是有些非線性最小二乘擬合問(wèn)題通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q可以轉(zhuǎn)化為線性最小二乘問(wèn)題求解。19擬合例題例2 已知數(shù)據(jù)表12347111727求一形如解：所求擬合函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，對(duì)它兩邊取自然對(duì)數(shù)，得的經(jīng)驗(yàn)公式與已知數(shù)據(jù)擬合20擬合例題于是對(duì)應(yīng)于上述數(shù)據(jù)表得到一個(gè)以應(yīng)數(shù)據(jù)表：12341.952.402.833.30若記則從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為由新數(shù)據(jù)表所給出

6、的線性擬合問(wèn)題易知其求解方程組為：21擬合例題解之得于是故所求經(jīng)驗(yàn)公式為22擬合例題分析通過(guò)上述兩例可知，用多項(xiàng)式作曲線擬合的計(jì)算步驟可分為如下幾步：（）根據(jù)已給的數(shù)據(jù)作草圖，由草圖估計(jì)出多項(xiàng)式的次數(shù)(m次)并令，其中（）求解由最小二乘原理得到的方程組；（）將所得的解作為擬合多項(xiàng)式的相關(guān)項(xiàng)的系數(shù)，則此多項(xiàng)式即為所求。 為待定系數(shù)；23矛盾方程組試求下列矛盾方程組的解：很顯然，直接求解是不行的，因?yàn)闈M足方程組的精確解是不存在的！只能求出盡量滿足方程組的近似解。24矛盾方程組運(yùn)用最小二乘法，要求滿足方程組的解，即求使下列值 最小的解 ，就是方程組的近似解：25矛盾方程組得解：Matlab 實(shí)例xd

7、ata = 0 5 10 15 25;ydata = 0.001 0.881 2.1637 3.1827 4.961;degree = 1; % Linear relationshipcoef = polyfit(xdata, ydata, degree);xx = -5 : 0.5 : 30; % Range for plotting yy = polyval(coef, xx); plot(xdata, ydata, o, xx, yy);26加權(quán)最小二乘法27定義權(quán)函數(shù)： 離散型 /*discrete type */根據(jù)一系列離散點(diǎn) 擬合時(shí)，在每一誤差前乘一正數(shù)wi ，即 誤差函數(shù) ，這

8、個(gè)wi 就稱作權(quán)/* weight*/，反映該點(diǎn)的重要程度。=-=niiiiyxPw12)( 連續(xù)型 /*continuous type */在a, b上用廣義多項(xiàng)式 P(x) 擬合連續(xù)函數(shù) f(x) 時(shí)，定義權(quán)函數(shù) (x) Ca, b，即誤差函數(shù) = 。權(quán)函數(shù)(x)必須滿足：非負(fù)、可積，且在a, b的任何子區(qū)間上(x) 0。the LSCOV function can perform weighted-least-square regression各點(diǎn)的重要性可能是不一樣的重度:即權(quán)重或者密度，統(tǒng)稱為權(quán)系數(shù) 定義加權(quán)平方誤差為29使得30由多元函數(shù)取極值的必要條件得即31引入記號(hào)定義加權(quán)內(nèi)積

9、32矩陣形式(法方程組)為方程組式化為33平方誤差為作為特殊情形,用多項(xiàng)式作擬合函數(shù)的法方程組為34Subject:What Weighted-Least-Squares Fitting capabilities are available in MATLAB 6.1 (R12.1) and the Toolboxes?Problem Description:Currently, the presence of data outliers can create an undesirable fit. Because the outlier lies far away from the true

10、 pattern of data, it induces error to the true fit. A workaround to this problem would be to minimize the weight(s) of such outlier(s). Solution:In MATLAB, the LSCOV function can perform weighted-least-square regression. x = lscov(A,b,w)where w is a vector length m of real positive weights, returns

11、the weighted least squares solution to the linear system A*x = b, that is, x minimizes (b - A*x)*diag(w)*(b - A*x). w typically contains either counts or inverse variances. In addition, there are three toolboxes you can use to implement weights for your fits:=1. Statistics Toolbox:=Weighted linear r

12、egression in the Statistics Toolbox is part of the ROBUSTFIT function,B = ROBUSTFIT(X,Y,WFUN,TUNE,CONST) uses the weighting function WFUN and tuning constant TUNE. WFUN can be any of andrews bisquare, cauchy, fair, huber,logistic, talwar, welsch.As an alternative to specifying one of the named weigh

13、t functions shown above, you can also write your own weight function (wfun) that takes a vector of scaled residuals as input and produces a vector of weights as output. For documentation on ROBUSTFIT, you can type doc robustfit (without quotes) at the MATLAB command prompt or view the online documen

14、tation found at the URL below:/help/toolbox/stats/robustfit.htmlFor MATLAB versions prior to 7.1 (R14SP3), we do not support a non-linear weighted least-square fit in the Statistics Toolbox.In MATLAB 7.1 (R14SP3), the demo Weighted Nonlinear Regression, addresses this and is also available on the we

15、b at the following link/products/statistics/demos.html?file=/products/demos/shipping/stats/wnlsdemo.html35=2. Curve Fitting Toolbox=We have a more general weighted least square regression capability in the Curve Fitting Toolbox that supports any fit, linear and non-linear.The weight is part of the o

16、ptions to the Fit, and is supplied using the function FITOPTIONS. Go to the following URL for documentation on FITOPTIONS:/help/toolbox/curvefit/fitoptions.htmlIn the Curve Fitting Toolbox, the weight can actually be any vector of weights associated with the response data.Follow this link for more information about this Toolbox:/products/curvefitting/=3. Optimization Toolbox.=LSQNONLIN and LSQCURVEFIT are least-squares solvers in the Optimization Toolbox that can be used to fi