功能原理和機(jī)械能守恒定律課件

1、第三章 功能原理和機(jī)械能守恒定律安徽大學(xué)出版社ANHUI UNIVERSITY大學(xué)物理學(xué) 31 變力的功 功能定理 32 保守力與非保守力 勢(shì)能 33 功能原理及機(jī)械能守恒定律第三章 功能原理和機(jī)械能守恒定律 31 變力的功 功能定理一、變力的功abO 功(work) 度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量， 描寫(xiě)力對(duì)空間積累作用. 定義：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為力在質(zhì)點(diǎn) 位移方向的分量與位移大小的乘積。元功(elementary work)*功的計(jì)算與具體過(guò)程相聯(lián)系, 功是一個(gè)過(guò)程量. 變力的總功：*合力的功等于各分力的功的代數(shù)和合力的元功從a到b合力之功單位(SI): 焦耳 (J)說(shuō)明 (1) 功的計(jì)算與具體

2、過(guò)程相聯(lián)系, 功是過(guò)程量, 不是狀態(tài)量, 表征力對(duì)空間的累積效應(yīng). (2) 前式中涉及的位移是受力物體的位移, 只有按此定義,才能得到后面的動(dòng)能定理. (3) 變力做功在直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表達(dá)式.功率(power)定義 單位時(shí)間內(nèi)力所作的功稱為功率.(1) 平均功率(2) 瞬時(shí)功率功率的單位(SI)： 例1 在一個(gè)深h=18m的坑里, 垂直懸掛著一根長(zhǎng)繩, 從地面垂至坑底. 已知繩的質(zhì)量線密度 =0.88kg/m, 試問(wèn): 若將此繩提到地面, 至少要做多少功?yyh解: 取如圖坐標(biāo)系,繩運(yùn)動(dòng)到圖示任意位置y 時(shí),所受重力(h - y)g . 要使做功最少, 作用于繩子的力剛好等于重力, 通過(guò)d

3、y距離時(shí), 元功為: 全部拉上繩子拉力所做的功至少為 例2 質(zhì)量為2t 的卡車, 啟動(dòng)時(shí)在牽引力 的作用下, 自原點(diǎn)從靜止開(kāi)始沿 x 軸做直線運(yùn)動(dòng), 求在前10s 內(nèi)牽引力所做的功. 解: 由 得 積分得 所以牽引力前10s做功為:二、動(dòng)能定理 (theorem of kinetic energy)在自然坐標(biāo)系中, F 是作用在物體上的合力, 則從 a 到b 積分, 有動(dòng)能 (kinetic energy)單位：焦耳(J)動(dòng)能定理 合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量. 研究質(zhì)點(diǎn)系, 對(duì)第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理,內(nèi)力功外力功求和, 有動(dòng)能增量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 作用于質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的外力和內(nèi)

4、力所做的功的代數(shù)和,等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量.注意功是過(guò)程量, 是能量變化的量度; 動(dòng)能是狀態(tài)量, 是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的單值函數(shù). 它們的單位和量綱相同.動(dòng)能定理由牛頓第二定律導(dǎo)出, 只適用于慣性參考系, 動(dòng)能也與參考系有關(guān). 例1 一質(zhì)量為1.0kg 的小球系在長(zhǎng)為1.0m 細(xì)繩下端 , 繩的上端固定在天花板上. 起初把繩子放在與豎直線成60度角處, 然后放手使小球沿圓弧下落. 試求 繩與豎直線成 10度角時(shí)小球的速率 .解: 取如圖所示中間時(shí)刻, 小球受拉力和重力作用, 則:由動(dòng)能定理得代入得三、“一對(duì)力” 的功 把作用力與反作用力, 更一般地, 把兩個(gè)大小相等, 方向相反, 在一條直線上的力稱為“一

5、對(duì)力”.研究如圖的兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng), 相互作用力的元功為:其代數(shù)和對(duì)于整個(gè)過(guò)程物理意義 一對(duì)力的功等于以其中任一質(zhì)點(diǎn)為參考系, 計(jì)算它對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的作用力所做的功. 這說(shuō)明一對(duì)力做功與參考系無(wú)關(guān), 因此可選取最方便的參考系來(lái)計(jì)算一對(duì)力的功.常見(jiàn)的“一對(duì)力”的功一對(duì)正壓力的功恒為零. (更普遍的, 無(wú)相對(duì)位移或相對(duì)位移與一對(duì)力垂直的情況)一對(duì)靜摩擦力的功恒為零.一對(duì)滑動(dòng)摩擦力的功恒為負(fù). 32 保守力與非保守力 勢(shì)能一、重力(gravity)所做的功ba以地球?yàn)閰⒖枷刀?、萬(wàn)有引力(gravitation)所做的功以質(zhì)點(diǎn)M為參考系, 如圖萬(wàn)有引力的元功可寫(xiě)為:OMm三、彈性力(elastic work)

6、所做的功 建立如圖所示坐標(biāo)系, 彈性力的元功可寫(xiě)為:四、摩擦力所做的功以地面為參考系, 元功:是曲線路徑的長(zhǎng)度顯然,從a到b, 沿不同的路徑,摩擦力做功不同.五、保守力與非保守力 做功的多少僅由始末兩點(diǎn)的位置決定, 而與中間所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān), 這樣的力稱為保守力(conservative force).而做功多少和物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)的力稱為非保守力(nonconservative force ).對(duì)于任意閉合路徑:即做功為零, 為保守力, 如: 重力, 彈性力.為非保守力(耗散力). 如:摩擦力為非保守力(非耗散力). 如:爆炸力六、勢(shì)能(potential energy) 可以將保守力的功表

7、示為與相互作用物體相對(duì)位置有關(guān)的某函數(shù)在起點(diǎn)和終點(diǎn)的取值之差. 將該函數(shù)定義為此物體系的勢(shì)能, 勢(shì)能只與質(zhì)點(diǎn)位置有關(guān), 是狀態(tài)函數(shù).勢(shì)能定理 勢(shì)能增量的負(fù)值等于保守力所做的功. 保守力和勢(shì)能的微分關(guān)系:2) 勢(shì)能是相對(duì)的. 零勢(shì)能位置的選取不同, 勢(shì)能也不同, 故勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的單值函數(shù).注意1) 勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的, 保守力做功應(yīng)理解為一對(duì)力做功.3) 勢(shì)能計(jì)算. 令 即得任一點(diǎn)的勢(shì)能為: 4) 常見(jiàn)勢(shì)能.彈性勢(shì)能引力勢(shì)能重力勢(shì)能勢(shì)能 表達(dá)式 零勢(shì)能位置地面附近彈簧自由狀態(tài)時(shí)自由端位置兩物體相距無(wú)限遠(yuǎn) 33 功能原理及機(jī)械能守恒定律一、系統(tǒng)的功能原理對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理非保守內(nèi)力做功保守

8、內(nèi)力做功由前述勢(shì)能定理定義系統(tǒng)的機(jī)械能 , 則系統(tǒng)的功能原理 外力和非保守內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量.二、機(jī)械能守恒定律由功能原理, 當(dāng) 時(shí), 機(jī)械能守恒定律 外力和非保守內(nèi)力做功的總和為零, 或者說(shuō)只有保守內(nèi)力作功的情況下，系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變 .注意1) , 并不要求 和 為零. 2) 要求在任意一微小路程上 都是成立的, 因此常用功率來(lái)描述機(jī)械能守恒的條件.恒量, 或 恒量例：一粗細(xì)均勻的柔軟繩子, 一部分置于光滑水平桌面上,另一部分自桌邊下垂, 繩全長(zhǎng)為 .開(kāi)始時(shí),下垂部分長(zhǎng)為d，初速為零, 求整個(gè)繩全部離開(kāi)桌面時(shí)瞬間的速度大小(設(shè)繩不可伸長(zhǎng)). 本題將分別用牛頓定律,動(dòng)能定理

9、,機(jī)械能守恒定律求解.解一:用牛頓定律求解； 用隔離體法：繩分成兩部分, 桌上: AB, 下垂: BC, t時(shí)刻：牛頓第二定律,列方程：AB:繩不可伸長(zhǎng)：牛頓第三定律：繩質(zhì)量均勻分布：聯(lián)立求解：所以,繩全部離開(kāi)桌面的速度方向向下,大小BC:解二:用動(dòng)能定理求解； 系統(tǒng): 整個(gè)繩子,繩分成兩部分,桌上：AB, 下垂：BC, 受力如圖.作功：其中: 因?yàn)槭恰耙粚?duì)力”作功因?yàn)榱εc位移方向垂直, 有系統(tǒng)動(dòng)能：初態(tài)由動(dòng)能定理，有：即系統(tǒng): 整個(gè)繩子和地球.并由于繩不可伸長(zhǎng)，有：系統(tǒng)機(jī)械能守恒. 所以,繩全部離開(kāi)桌面的速度方向向下,大小為:解三:用機(jī)械能守恒定律求解；設(shè)水平桌面處重力勢(shì)能 .比較三種方法：牛頓定律方程兩端：均為瞬時(shí)值，需對(duì)方程兩端積分；動(dòng)能定理方程兩端：功的一側(cè)為過(guò)程量，動(dòng)能一側(cè)為狀態(tài)量，僅需對(duì)過(guò)程量積分；功能原理方程兩端：功的一側(cè)由勢(shì)能改變?nèi)〈?，不需再求積分，所以，最簡(jiǎn)單。三、勢(shì)能曲線重力勢(shì)能彈性勢(shì)能萬(wàn)有引力勢(shì)能勢(shì)能曲線的作用1) 由勢(shì)能曲線求保守力.2) 確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍.由于 , 質(zhì)點(diǎn)不可能在 的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng).3) 確定平衡位置, 判斷平衡的穩(wěn)定性.一維情況下:穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡 亥姆霍茲（18211894），德國(guó)物理學(xué)家和生理學(xué)家.于1874年發(fā)表了論力（現(xiàn)稱能量）