《數(shù)理統(tǒng)計》(浙大四版)-第6章 - 樣本及抽樣分布

1、高等學校數(shù)學專業(yè)課程數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學教研室主講：黃新仁課程簡介 概率論的特點是什么？假定隨機變量的概率分布已知，以此來討論其各種特性。一、數(shù)理統(tǒng)計學的任務如：概率、期望、方差、協(xié)方差、相關系數(shù)等。 實際中，如何確定隨機變量的概率分布未知或數(shù)字特征？【例】確定某燈泡廠年產(chǎn)燈泡的次品率。燈泡的質(zhì)量通常用其壽命來衡量，若規(guī)定壽命不足3000小時為次品，那么確定該廠年產(chǎn)燈泡的次品率可歸結為求燈泡壽命X這個隨機變量的概率分布函數(shù)F(x)，因為當F(x)已知時，P(x3000)=F(3000)即為所求。 F(x)如何求？測量所有燈泡，確定次品率。不可行！破壞性不經(jīng)濟課程簡介 F(x)如何求？抽測一部分燈泡如何

2、由部分來推斷整體？數(shù)理統(tǒng)計的主要任務：上一頁下一頁返回研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，對所考察的問題作出推斷和預測，為決策和行動提供依據(jù)和建議.課程簡介二、課程內(nèi)容及學時分配第六章：樣本及抽樣分布理論第七章：參數(shù)估計第八章：假設檢驗第九章：方差分析與回歸分析（9學時）（9學時）（12學時）（12學時）三、預備知識概率論、數(shù)學分析、線性代數(shù)課程簡介四、數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史上一頁下一頁返回英國是數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)源地和研究中心，從第二次世界大戰(zhàn)開始，美國也發(fā)展得很快，并且在生物、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學、社會、經(jīng)濟、工業(yè)和科技等方面得到愈來愈廣泛的應用，如教學評價、調(diào)查統(tǒng)計、經(jīng)濟評估、銷售預測、質(zhì)量

3、控制、天氣預報、地震預報、疾病分析、產(chǎn)量估計等。課程簡介 發(fā)展歷史短； 應用性很強； 涉及領域廣。（一）古典時期（19世紀前） 高斯等：誤差理論，正態(tài)分布，最小二乘法與國家實施的統(tǒng)治有關， 描述性統(tǒng)計學數(shù)理統(tǒng)計學的萌芽期 收集數(shù)據(jù)、簡單計算、作圖表等；Status（國家）Statista（政治家）Statistics（統(tǒng)計學）課程簡介課程簡介這一時期的主要理論與成就：伯努利（瑞士，1654-1705）系統(tǒng)論證了大數(shù)定律；貝葉斯（英國，1702-1763）提出了歸納推理理論，后被發(fā)展為一種統(tǒng)計推斷方法；棣莫佛（法國，1667-1754）發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的密度函數(shù)，為大樣本理論奠定基礎；高斯（法國,

4、1667-1754）、勒讓德（法國,1752-1883）在誤差理論中引進正態(tài)分布，并用最小二乘法進行計算；（二）近代時期（19世紀末至二戰(zhàn)結束）概率論的發(fā)展，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)迫切需要，促使數(shù)理統(tǒng)計的主要分支建立，是數(shù)理統(tǒng)計的形成時期. 皮爾遜（英國，1857-1936）1889年，提出了矩估計理論；戈塞特（英國，1876-1937）1908年，發(fā)現(xiàn)了t分布和t檢驗法；費希爾（英國，1890-1962）1912年，推廣了t檢驗法，發(fā)展了顯著性檢驗及方差分析；假設檢驗、回歸分析、方差分析等有決定其面貌的內(nèi)容和理論，數(shù)理統(tǒng)計成為應用廣泛、方法獨特的一門數(shù)學學科. 課程簡介（三）現(xiàn)代時期（二戰(zhàn)以后）瓦你德（

5、美籍羅馬尼亞，1902-1950）致力于用數(shù)學方法使統(tǒng)計學精確化、嚴密化. 計算機及其軟件的應用，如EXCEL、MATLAB、SAS、SPSS推動了數(shù)理統(tǒng)計在理論研究和應用方面不斷地向縱深發(fā)展，并產(chǎn)生一些新的分支和邊緣性的新學科，如最優(yōu)設計和非參數(shù)統(tǒng)計推斷等。課程簡介課程簡介五、統(tǒng)計學的兩大學派社會統(tǒng)計學&數(shù)理統(tǒng)計學 社會統(tǒng)計學派始于19世紀末，首創(chuàng)人物是德國的克尼斯。德國統(tǒng)計學家恩格爾提出的“恩格爾系數(shù)” ，英國經(jīng)濟學家斯通等人研究的國民收入和國內(nèi)生產(chǎn)總值的核算方法等，都是偉大的貢獻高等學校數(shù)學專業(yè)課程數(shù)理統(tǒng)計樣本及抽樣分布第六章數(shù)學教研室本章目錄6.1 隨機樣本6.2 箱線圖和直方圖6.3

6、 抽樣分布上一頁下一頁返回6.1 隨機樣本6.2 箱線圖和直方圖6.3 抽樣分布【定義1】研究的問題所涉及的對象的全體稱為總體, 總體中的每個成員稱為個體.一、總體與個體例如：燈泡廠年產(chǎn)的所有燈泡是總體，每一個燈泡是個體?！締枴咳藗冴P心的是燈泡（即總體或個體）本身嗎？關心的是燈泡的某個數(shù)量指標壽命！【定義2】研究對象的某項指標的全體稱為總體,而把每個成員的指標稱為個體.上一頁下一頁返回6.1 隨機樣本1、總體與個體的概念又如：研究2000名學生的年齡, 學生年齡的全體就構成一個總體, 每個學生的年齡就是個體. 有限總體總體所包含的個體數(shù)量是有限。 無限總體總體所包含的個體數(shù)量是無限的。對一個總

7、體,如果我們用X 表示它的數(shù)量指標,那么對不同的個體X 取不同的值。因此,如果隨機地抽取個體,則X的值也就隨著抽取的個體的不同而不同.X 的分布稱為總體的分布X 是一個隨機變量，總體的特性是由總體的分布來刻畫。因此, 常把總體和總體分布視為同義語，即以后常將X 稱為總體X。有概率分布上一頁下一頁返回6.1 隨機樣本【例】考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以0記合格品，以1記不合格品，則總體=由0或1組成的一堆數(shù)，若以 p 表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體對應于一個具有參數(shù)p的（0-1）分布：該總體叫（0-1）分布總體類似還有：正態(tài)（分布）總體、指數(shù)分布總體等。2. 總體分布【定義3】從總體中抽取

8、的一部分樣品稱為樣本，樣本中個體的個數(shù)稱為樣本容量，樣本的觀察值稱為樣本值。二、樣本例如，從一批燈泡中抽取了n個燈泡，測其壽命分別記為X1,X2,Xn， 其觀察值分別為x1,x2,xn，則（X1,X2,Xn）是樣本，n是樣本容量，（x1,x2,xn）是樣本值。上一頁下一頁返回6.1 隨機樣本【定義4】若樣本X1,X2,Xn間相互獨立，且與總體X具有相同的分布，則成其為簡單隨機樣本，簡稱樣本。 對于有限總體，采取有放回抽樣。但是使用不方便。當個體總數(shù)比樣本容量大得多時，在實際中可采用不放回抽樣 對于無限總體，總是采用無放回抽樣。三、樣本的分布假設總體X具有概率密度f(x), X1,X2 ,Xn

9、為來自總體X的樣本,于是它們的聯(lián)合概率密度為 設總體X具有分布函數(shù)F(x), 則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為上一頁下一頁返回6.1 隨機樣本本章目錄6.1 隨機樣本6.2 箱線圖和直方圖6.3 抽樣分布上一頁下一頁返回6.1 隨機樣本6.2 箱線圖和直方圖6.3 抽樣分布6.2 直方圖與箱線圖一、直方圖（histogram）橫坐標表示數(shù)據(jù)，縱坐標有三種表示方法：頻數(shù)、頻率、頻率/組距。三種直方圖的差別僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖形狀本身并無變化。直方圖又稱柱狀圖，它是表示數(shù)據(jù)變化情況的一種主要工具。用直方圖可以解析出數(shù)據(jù)的規(guī)則性，比較直觀地看出數(shù)據(jù)特性的分布狀態(tài)，便于判斷其總體質(zhì)量分布情況?！纠?】6.

10、2 直方圖與箱線圖(1)對樣本分組：組數(shù)通常在520個；(2)確定組距：組距 = (最大觀測值 最小觀測值)/組數(shù);(3)確定組限：各組區(qū)間端點為a0, a1=a0+, a2=a0+2, , ak=a0+k, 形成如下的分組區(qū)間(a0, a1 , (a1, a2, , (ak-1, ak，對這84個數(shù)據(jù)(樣本)進行整理,具體步驟如下:其中a0 略小于最小觀測值, ak 略大于最大觀測值.(4)統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的個數(shù)頻數(shù)fi，并計算出頻率fi / n.6.2 直方圖與箱線圖【解】取區(qū)間a0,ak=124.5,159.5，組距d=(159.5-124.5)/7=5,確定組限，數(shù)出落在各區(qū)間

11、內(nèi)的數(shù)據(jù)的頻數(shù)，計算出相應頻率，得到下表：于是得到頻率直方圖如下：6.2 直方圖與箱線圖于是得到頻率直方圖如下：當n 很大時，頻率直方圖的外輪廓曲線接近于總體X的概率密度曲線。正態(tài)總體0.01190.04760.11910.39290.28570.10710.0357估計：51.2%的人最大頭顱寬度落在區(qū)間134.5,144.5之間等。6.2 直方圖與箱線圖6.2 直方圖與箱線圖二、箱線圖（Box-plot ） 箱線圖也叫“盒式圖”或“箱形圖”，是一種用作顯示一組數(shù)據(jù)分散情況資料的統(tǒng)計圖，因其形狀類似箱子而得名，它被應用于各種領域，常見于品質(zhì)管理。 最適宜提供有關數(shù)據(jù)的位置和分散的參考，尤其在

12、不同的母體數(shù)據(jù)時更可表現(xiàn)其差異。 6.2 直方圖與箱線圖1、樣本分位數(shù)【定義】于是有6.2 直方圖與箱線圖【例2】【解】6.2 直方圖與箱線圖2、箱線圖的做法數(shù)據(jù)集的性質(zhì)：6.2 直方圖與箱線圖【例3】【解】6.2 直方圖與箱線圖【例4】6.2 直方圖與箱線圖【解】箱線圖如下圖：本章目錄6.1 隨機樣本6.2 箱線圖和直方圖6.3 抽樣分布上一頁下一頁返回6.1 隨機樣本6.2 箱線圖和直方圖6.3 抽樣分布6.3 抽樣分布一、基本概念1、統(tǒng)計量的定義【定義1】 設 X1, X2, , Xn 為取自某總體的樣本，若樣本的函數(shù)g = g(X1, X2, , Xn)中不含有任何未知參數(shù),則稱g是一

13、個統(tǒng)計量，g(x1, x2, , xn)稱為統(tǒng)計值。 、經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)如：是統(tǒng)計量（值）不是統(tǒng)計量（值） 當, 2 未知時，x1, x1/2.幾個常用統(tǒng)計量的定義(1)樣本均值(2)樣本方差其觀察值設 X1, X2, , Xn 為取自某總體的樣本，x1, x2, , xn是其觀察值其觀察值6.3 抽樣分布(3)樣本標準差(4)樣本k 階原點矩其觀察值(5)樣本k階中心矩樣本均值樣本方差一階原點矩二階中心矩其觀察值6.3 抽樣分布由以上定義得下述結論:由第五章關于依概率收斂的序列的性質(zhì)知矩估計法的理論6.3 抽樣分布3.經(jīng)驗分布函數(shù)6.3 抽樣分布【例1】一般地，6.3 抽樣分布格里汶科

14、定理6.3 抽樣分布有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設的，以標準正態(tài)變量為基石而構造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應用，它們被稱為統(tǒng)計中的“三大分布” 。統(tǒng)計量的分布叫做“抽樣分布” 。6.3 抽樣分布二、常見的分布1、2 分布(卡方分布)【定義2】 設 X1, X2, Xn, 是來自總體N(0,1)的樣本 ，則稱統(tǒng)計量 2 = X12+ X22 + +Xn2 （1）服從自由度為n 的2分布，記為 2 2(n) 。指(1)中右端包含的獨立變量的個數(shù)。2(n) 分布的概率密度為：6.3 抽樣分布2 分布的性質(zhì)性質(zhì)1：設 來自正態(tài)總體則性質(zhì)2：設則有分布的可加性.性質(zhì)3：若 ，則有6.3 抽樣分

15、布2 分布分位數(shù)（點）分位數(shù) 2(n) 可以從附表4 中查到?！径x3】 對給定的正數(shù) (01)，稱滿足條件 的2(n) 是自由度為n卡方分布的上 分位數(shù)（點）.如：請同學們求解：28.84531.4106.3 抽樣分布附表2-1根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知附表2-2【例2】6.3 抽樣分布附表2-3附表4只詳列到 n=45 為止.附表2-4附表2-5【例3】6.3 抽樣分布例如利用上面公式,而查詳表可得費舍爾(R.A.Fisher)證明:6.3 抽樣分布【定義4】 對給定的正數(shù) (01)，稱滿足條件 的1-2(n) 是自由度為卡方分布的下1- 分位數(shù)（點）.思考？6.3 抽樣分布2、t 分布 【定

16、義5】 設隨機變量X 與Y 獨立，且X N(0,1), Y 2(n), 則稱的分布為自由度為n 的t 分布，記為t t(n) 。 t 分布的密度函數(shù)為： t分布是英國統(tǒng)計學家戈塞特(Gosset)于1908年在一篇以“學生”（student）為筆名的論文中首先提到的，因此又稱為學生分布。它在小樣本實驗分析中有重要應用。 6.3 抽樣分布2.當n充分大時,其圖形類似于標準正態(tài)變量概率密度的圖形.6.3 抽樣分布t 分布分位數(shù)（點）【定義6】對給定的正數(shù) (01)，若滿足條件 則稱 為t分布的上 分位數(shù)（點）.附表2-6附表2-7【例3】6.3 抽樣分布請同學們求解：1.7531若：問？求滿足的6

17、.3 抽樣分布3、F 分布【定義7】設X 2(m), Y 2(n), X1與X2獨立，則稱 是自由度為m與n的 F分布，記為F F(m, n) 。yf(y)on1=10,n2=25n1=10,n2=56.3 抽樣分布【定義8】 對給定 (01) ，稱滿足條件P(F F(m,n) = 的F(m,n) 是自由度為m 與 n 的F 分布的上 分位數(shù)。F分布分位數(shù)（點）【例4】6.3 抽樣分布定理1 設 x1, x2, xn 是來自N(, 2) 的樣本，則有（上講中已證明）（利用正交變換證明，請參看其他教材）（利用正交變換證明，請參看其他教材）推論6.3 抽樣分布定理2 設 x1, x2, xn 是來

18、自N(, 2) 的樣本，則有證明：由定理1及其推論知與 相互獨立.從而由t分布的生成定義 知6.3 抽樣分布定理3 設 x1, x2, xm 和y1, y2, yn分別來自兩個相互獨立的正態(tài)總體N(a1, 12) 和N(a2, 22) ，則有證明：由定理1知由于兩個總體相互獨立，所以 獨立于是故有結論成立（一般正態(tài)變量的標準化）.6.3 抽樣分布定理4 設 x1, x2, xm 和y1, y2, yn分別來自兩個相互獨立的正態(tài)總體N(a1, 2) 和N(a2, 2) ，則有證明：由定理3知又由定理1知且 相互獨立，于是6.3 抽樣分布定理4 設 x1, x2, xm 和y1, y2, yn分別

19、來自兩個相互獨立的正態(tài)總體N(a1, 2) 和N(a2, 2) ，則有證明：（續(xù)）于是由t分布的生成定義 知結論成立.相互獨立6.3 抽樣分布定理5 設 x1, x2, xn 是來自N(1, 12) 的樣本，y1, y2, yn 是來自N(2, 22) 的樣本，且此兩樣本相互獨立，則有特別，若12 =22 ，則因為證明：于是由F 分布的生成定義 知結論成立.6.3 抽樣分布Karl.Pearson(1857-1936) 卡方分布是海爾墨特(Hermert)和皮爾遜(K.Person)分別于1875和1900年導出的。皮爾遜是英國著名統(tǒng)計學家，1879年畢業(yè)于劍 橋大學，1901年，他與高爾頓、

20、韋爾登創(chuàng)辦的生物統(tǒng)計學雜志, 使數(shù)理統(tǒng)計有了自己的陣地。皮爾遜的最大貢獻是在1900年發(fā)表的一篇文章中引進的擬合優(yōu)度的卡方檢驗。不少人把這視為近代統(tǒng)計學的開端。關于卡方分布附錄：附表2-11.645附表2-2標準正態(tài)分布表z01234567891.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640

21、.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690

22、.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250

23、.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-3分布表17.535=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.845

24、15.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.845

25、6.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654

26、.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655

27、.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.9123.247附表2-4分布表=0.250.100.050.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428

28、.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240

29、.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.32834.382附表2-5分布表附表2-6 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.364