《幾何與代數(shù)》 科學(xué)出版社 第二章 矩陣3

1、 幾何與代數(shù) 主講: 關(guān)秀翠 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 東 南 大 學(xué) 線 性 代 數(shù) 課 程教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配 第二章 矩 陣教 學(xué) 內(nèi) 容學(xué)時(shí)數(shù)2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算 22.2 可逆矩陣22.3 分塊矩陣12.4 矩陣的秩12.5 初等矩陣22.6 用Matlab解題 1思考題：（學(xué)會(huì)歸納總結(jié)）矩陣上的哪些運(yùn)算是只定義在方陣上的？矩陣乘積的交換律一般情況下不成立，但有一些特殊情況是成立的，此時(shí)稱A,B是可交換的。請(qǐng)列舉出矩陣乘積可交換的情況。1. 方陣的正整數(shù)冪 只定義在n階方陣上的運(yùn)算A可逆 |A| 04. 伴隨矩陣 5. 可逆矩陣 A2=AA,Ak+1=AkA3. 行列式 2. 對(duì)稱矩陣AT =

2、 A 數(shù)量矩陣 En單位矩陣En |A|: Rnn R對(duì)角矩陣(iij)1. 方陣的正整數(shù)冪 乘積可交換的運(yùn)算4. 伴隨矩陣 5. 可逆矩陣 AkAl=AlAk3. 行列式 數(shù)量矩陣 En單位矩陣En (a Em) Amn = Amn (a En) 2. 對(duì)角矩陣(iij) = 第二章 矩陣二. 逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)一. 可逆矩陣1. 定義 2.2 逆矩陣 定義在n階方陣上A可逆，若 方陣B使得AB=BA=E.A可逆 |A| 0|A1| = |A|1. (AT)1 = (A1)T. (AB)1 = B1A1. 2. 伴隨矩陣 推論. 設(shè)A,B為方陣, 若AB = E(或BA = E), 則B=A1

3、.穿脫原理例 9. 求下列方陣的逆矩陣.(1) A =1 23 4 ,1 2 32 2 13 4 3(2) B =.解: (1)A1 =|A|1A*= 21.(2) |B| = 2 0, B1 =|B|1B*B11 = (1)1+12 14 3= 2,B21 =6, B22 = 6, B23 = 2, B31 = 4, B32 = 5, B33 = 2. 2 3 2 =21. B12 = 3,B13 = 2, 42314 526 6 2A1 =|A|1A*.當(dāng)n2, |A| 0時(shí), 有 主換位, 副變號(hào) 線性方程組 Ax=b, 能否在一定條件下引進(jìn) A-1 的概念,使得解為 x = A-1b

4、?問題的提出:例10 設(shè)方陣A可逆，則注7: 矩陣乘法的消去率一般不成立.補(bǔ)充: 但是，消去率在A可逆時(shí)成立.1.4 線性方程組的求解Cramer法則 在D=|A|0有唯一解 x1 =D1D,x2 =D2D, , xn =DnD. 第一章 行列式和線性方程組的求解 按第一列展開記D =a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann, D1 =b1 a12 a1n b2 a22 a2n bn an2 ann,= a11A11= b1A11+ an1An1+bnAn1 Di = b1A1i +bnAni , i = 1,2,n即Ax=b (Cramer法則). 若D=|A|

5、0, x1 =D1D, , xn =DnD. 則Ax = b有唯一的解 由Ax = b可得 x =A1b 證明:因?yàn)镈=|A|0,所以A可逆.該法則的適用范圍：解n元線性方程組|A|0第二章 矩陣 2.2 可逆矩陣 求矩陣X使AXB = C.1 2 32 2 13 4 3B =,例11. 設(shè)A =1 23 4 ,1 2 33 0 1C =,解: 由例9可知A, B都可逆. 故AXB = C A1AXB = A1C XB = A1C XBB1 = A1CB1 X = A1CB1 .因此X = 21 4 23 11 2 33 0 121 2 6 43 6 5 2 2 2 4 20 141 10 7

6、=.12第二章 矩陣 2.2 可逆矩陣 解：例12. 設(shè)三階方陣A,B滿足第二章 矩陣 2.2 可逆矩陣 所以 A1 E 可逆.| A1 E | 0.(右乘 A1)(提公因子B, 注意乘法順序)左乘第二章 矩陣 2.2 可逆矩陣 例12. 設(shè)三階方陣A,B滿足第二章 矩陣 2.2 可逆矩陣 定理2.2. 方陣A可逆的充分必要條件是|A| 0. 當(dāng)n2, |A| 0時(shí), 有 A1 =|A|1A*.推論. 設(shè)A,B為方陣, 若AB = E(或BA = E), 則B=A1.1. 定義: 設(shè)A為方陣, 若存在方陣B, 使得 AB = BA = E. 則稱A可逆, 并稱B為A的逆矩陣. A為方陣, 若|

7、A| = 0, 則稱之為奇異(或退化)矩陣. 若|A| 0, 則稱之為非奇異(或非退化)矩陣. 可見, A可逆 |A| 0 A非奇異(非退化).singular第二章 矩陣二. 逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)一. 可逆矩陣三. 克拉默法則1. 定義 2.2 逆矩陣 定義在n階方陣上A可逆，若 方陣B使得AB=BA=E.A可逆 |A| 0 A非奇異(非退化).|A1| = |A|1. (AT)1 = (A1)T. (AB)1 = B1A1. 2. 伴隨矩陣 若|A|0,則Ax = b有唯一的解 xj =DjD, j=1,2,n.若|A|0,則Ax = 0 只有零解. 解n元線性方程組|A|0第二章 矩 陣2.

8、3 分塊矩陣 一. 矩陣的分塊 二. 分塊矩陣的運(yùn)算線性運(yùn)算轉(zhuǎn)置乘法三. 分塊矩陣的應(yīng)用2.3 分塊矩陣一.矩陣的分塊 在矩陣的某些行之間插一些橫線，在某些列之間插一些豎線，將矩陣分成一些子塊。 A21B112.3 分塊矩陣一.矩陣的分塊 在矩陣的某些行之間插一些橫線，在某些列之間插一些豎線，將矩陣分成一些子塊。 A1A2122 處理有特點(diǎn)的大矩陣時(shí)需要進(jìn)行分塊 分法: 將矩陣用縱線和橫線分成若干小 矩陣,每個(gè)小矩陣稱為原矩陣的子塊. 定義 以子塊為元素的矩陣稱為分塊陣. 矩陣分塊的三個(gè)原則: 體現(xiàn)原矩陣特點(diǎn). 根據(jù)問題需要. 能夠把子塊看作元素進(jìn)行運(yùn)算. 2.3 分塊矩陣一.矩陣的分塊 第二

9、章 矩陣 2.3 分塊矩陣 三種特殊的分塊方法 設(shè)A為mn矩陣, 記Aj為A的第j列, i為A的第i行(j = 1, , n, i = 1, , m), 則有如下兩種重要的分塊方法A = (A1, A2, , An), 1 2mA =A =A1 O OO A2 O O O As,其中A1, A2, As都是方陣, 則稱A為分塊對(duì)角陣(或準(zhǔn)對(duì)角矩陣).二. 分塊矩陣的運(yùn)算分塊加法 A =A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr,B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bs1 Bs2 Bsr,設(shè)矩陣A與B是同型的, 采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下A11

10、+B11 A12+B12 A1r +B1r A21+B21 A22+B22 A2r +B2r As1+Bs1 As2+Bs2 Asr +Bsr .A + B =第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 二. 分塊矩陣的運(yùn)算分塊加法 設(shè)矩陣A與B是同型的, 采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 設(shè)矩陣A =A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr, 為常數(shù).A11 A12 A1r A21 A22 A2r As1 As2 Asr.則A =2. 分塊數(shù)乘第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 3. 分塊乘法 設(shè)A為ml 矩陣, B為l n 矩陣, 將它們分塊如

11、下A =A11 A12 A1tA21 A22 A2t As1 As2 Ast,B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bt1 Bt2 Btr,Ai1, Ai2, , Ait的列數(shù)分別與B1j, B2j, , Btj的行數(shù)相等. (i = 1,2,s; j = 1,2,r.)C11 C12 C1r C21 C22 C2r Cs1 Cs2 Csr, 其中Cij = AikBkj ,則AB =k=1t第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 例1 求AB:解1：60 將矩陣分塊作乘法其分法不是唯一的 . 只要前一矩陣列的分法與后一矩陣行的分法 一致在例1中例1 求AB:解2：其中Ai , Bi 都

12、是同階方陣，i = 1,2, , s. 分塊對(duì)角矩陣的乘法 設(shè)A =A1 0 0 0 A2 0 0 0 As,B =B1 0 0 0 B2 0 0 0 Bs,則 AB =A1 B1 0 0 0 A2 B2 0 0 0 As Bs.第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 設(shè)矩陣A =A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr,A11T A21T As1T A12T A22T As2T A1rT A2rT AsrT.則 AT =4. 分塊轉(zhuǎn)置 分外層內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置 AT = A1, A2, , AnT= 1T, 2T, , mT . 1 2mAT= A1T A2TAnT =T注意!

13、 第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 例2第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 4. 分塊轉(zhuǎn)置 分外層內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置 設(shè)A, B為s 階t 階可逆矩陣,Cst,Ots ,求解: 設(shè)X1 X2X3 X4A CO BEs OO Et=, 則AX1 + CX3= EsAX2 + CX4= OBX3 = OBX4 = Et|解得X4 = B-1, X3 =O, X1 = A-1, X2 = A-1CB-1. 所以A-1 A-1CB-1 O B-1X1 X2X3 X4=.A CO B -15. 分塊求逆 A CO B -1第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 則A可逆的充分必要條件是A1, A2, , As都可逆. 且當(dāng)

14、A1, , As都可逆時(shí),有6.分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣 ,設(shè)分塊對(duì)角矩陣A =A1 0 0 0 A2 0 0 0 AsA1 =A11 0 0 0 A21 0 0 0 As1.其中,A1, A2, As都是方陣, 第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 則A可逆的充分必要條件是A1, A2, , As都可逆. 且當(dāng)A1, , As都可逆時(shí),有6.分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣 設(shè)分塊對(duì)角矩陣A = 0 0 A1 0 A2 0 As 0 0,A1 = 0 0 As1 0 As-11 0 A11 0 0.其中,A1, A2, As都是方陣, 第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 例3 設(shè)矩陣 求 A 的逆 . 解設(shè)D = a

15、11 a1m am1 amm D1 =,證明: D = D1D2.,D2 =b11 b1n bn1 bnna11 a1m 0 0 ,am1 amm 0 0 c11 c1m b11 b1n cn1 cnm bn1 bnn 7. 分塊矩陣的行列式 A 0 C B0 AB C= |A| |B|= (1)mn |A| |B|A,B為m,n階矩陣 |A| |B| |C| |D| A D C BA C 0 B=C AB 0第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 = |A1|A2|As|. 8.分塊對(duì)角矩陣的行列式 |A| =A1 0 0 0 A2 0 0 0 As其中,A1, A2, As都是方陣, 第二章 矩陣

16、 2.3 分塊矩陣 2.3 分塊矩陣 一. 矩陣的分塊 三. 分塊矩陣的應(yīng)用矩陣方程的求解分塊對(duì)角陣按行按結(jié)構(gòu)按列分外層內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置乘法二. 分塊矩陣的運(yùn)算線性運(yùn)算線性組合三. 分塊矩陣的應(yīng)用線性方程組的表示形式三. 分塊矩陣的應(yīng)用線性方程組的表示形式之一如何解多個(gè)系數(shù)矩陣都為A的方程組？AX1 = B1AX2 = B2 AXs = Bs( AX1, AXs ) = ( B1, Bs )A( X1, Xs ) = ( B1, Bs )矩陣方程 AX = BA Rmn, Bj Rm , Xj Rn , j= 1,2, ,s. 用初等行變換求解矩陣方程：(A B)初等行變換 行階梯陣r(A)

17、 = r(A B)?行最簡(jiǎn)形無(wú)解N初等行變換 Y矩陣方程的求解如何解多個(gè)系數(shù)矩陣都為A的方程組？XB例4. 求解BY = A, AX = B. 解： 第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 尤其要注意AB = 0時(shí)的特殊情況:說明B 的每一列都是齊次線性方程組Ax = 0的一個(gè)解. *例5第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 AB的列向量 線性方程組的表示形式之二即稱b是向量組 A1, A2, , An 的線性組合。x1, x2, , xn 稱為線性組合的組合系數(shù)。第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 (AB)的列向量是A的列向量組 A1, A2, , An 的線性組合設(shè)若把A, C按列分塊，則AB的列向量2.

18、矩陣AB的列向量若把矩陣B, C按行分塊，則 設(shè)矩陣于是有即C的行向量是B的行向量組1, 2, n的線性組合.第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 3. 矩陣AB的行向量例6. 設(shè)A是二階方陣，x是二維非零列向量，若 ，求一矩陣C，使得AB = BC.解：第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 4.若則第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 若則第二章 矩陣 2.3 分塊矩陣 2.3 分塊矩陣 一. 矩陣的分塊 三. 分塊矩陣的應(yīng)用矩陣方程的求解分塊對(duì)角陣按行按結(jié)構(gòu)按列分外層內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置乘法二. 分塊矩陣的運(yùn)算線性運(yùn)算2. 矩陣AB的列向量2. 矩陣AB的行向量(A) 填空題選擇題：作為課下練習(xí)(A) 1(1,2),2(1) (B) 3(1-6,10),4(1),9(B) 留作業(yè)每周三交作業(yè)(C) 課下提高題：有時(shí)間的話盡量做二. (A) 1(3,4,5,6,7,),2(2,3,4) (B) 5,6(3),7,8,10(1,3,4),11,12*,13*, 15,16三. (A) 2(5) (B