大學物理競賽專題輔導之力學

1、大學物理競賽專題輔導之力學力學基本定律加速度作用力萬有引力庫侖力運動軌道橢圓、拋物線、雙曲線洛倫茲力圓周運動彈性力電磁相互作用動靜摩擦力、安培力、核力.能夠由牛頓第二定律嚴格求解坐標的問題并不多8/10/20222山東大學劉希明輔導物理競賽力學動量、角動量、動能三大定理動量定理角動量定理動能定理沖量定理沖量矩定理力學的守恒定律動量、角動量、能量守恒8/10/20223山東大學劉希明輔導物理競賽力學的物理模型質點、質點組、剛體8/10/20224山東大學劉希明輔導物理競賽【例題】如圖在光滑水平面上有質量為M的均勻分布的、半徑R的圓環(huán)。質點質量m(m0的質點，初始時位于圓環(huán)最高點a處，以初速度v0

2、沿水平方向向左運動，如果在以后的運動中質點能夠沿圓環(huán)外側不脫落圓環(huán)，達到圓環(huán)最低點b。試計算(1)質點在a點不脫落圓環(huán)，初始速度滿足的條件(2)質點在b處不脫落圓環(huán)，初始速度應該滿足什么條件?(3)質點在0q0的限制，因此初始速度滿足的條件是(1)(2)設質點到達最低點b處的速度大小為v,則機械能守恒得到(2)8/10/202214山東大學劉希明輔導物理競賽同樣按照條件 。這里法向動力學方程得到整理為求根分解因式得得到不等式其中兩個根分別是 (3)8/10/202215山東大學劉希明輔導物理競賽可見兩個根都是大于零的。由此把(3)式兩邊平方把(2)式能量守恒代入得初始速度滿足的條件但其中(4)

3、8/10/202216山東大學劉希明輔導物理競賽因此質點到達最低點b處不脫落，初始速度滿足的條件是(5)(3)質點在左半圓環(huán)q處不脫離，設此處速度為v,仍然按照條件 討論.機械能守恒得到不脫離的條件是同樣的方法得到不等式(6)(7)8/10/202217山東大學劉希明輔導物理競賽其中兩個根分別是討論：如果 則上面的解 （8)式改為把(6)式機械能守恒代入，以及v00的要求，得到(9)討論：如果 則上面的解 ,（8)式改寫為(10)(8)8/10/202218山東大學劉希明輔導物理競賽把(10)式進一步利用機械能守恒(6)式得到把v1代入該式左端得到又因為 ，所以上式中8/10/202219山東

4、大學劉希明輔導物理競賽因而左端這樣得到兩種夾角范圍初始速度滿足的條件是( )代進v2的表示得到這個條件是這個條件對于兩種角度范圍都成立。為了滿足質點在左半圓環(huán)都不脫離，(12)式右端應該取最小值。易見q=0滿足最小值條件。得到初始速度滿足的條件是(12)8/10/202220山東大學劉希明輔導物理競賽(11)(4)質點返回到最高點不脫離的條件根據對稱性質，這個條件就是(11)式。8/10/202221山東大學劉希明輔導物理競賽 【例題】在天花板的O點懸掛一個光滑的輕質小環(huán)P,小環(huán)可繞固定點O自由轉動，長度為l的輕繩穿過小環(huán)P，其兩端分別連接質量為m1與m2的小球A1與A2，已知m1m2。設兩個

5、小球同時做圓錐擺運動，在任意時刻兩個小球均在同一個豎直平面內，旋轉的角速度是(1)計算兩個小球到p的距離l1與l2.Pl1l2m2m1f2f1O(2)計算兩個小球與細繩構成系統(tǒng)所受外力對P點的力矩之和。(3)計算系統(tǒng)對P點的角動量。以及守恒角動量的大小。8/10/202222山東大學劉希明輔導物理競賽 【解】如圖所示，兩個小球連線與豎直方向夾角分別是f1與f2，小球m1與m2的分別受到重力mg與繩子張力T的作用，兩球通過繩子連接受張力相等。滿足方程Pl1l2m2m1f2f1OTmgf由此得到因為角速度相同，進而得到(1)(2)(3)8/10/202223山東大學劉希明輔導物理競賽結果表明兩個小

6、球到P點的垂直距離相等。因為兩球通過細繩連接，受張力相等，得到關系改寫成為(4)聯立(3)(4)得到(5)但存在關系(6)利用(5)(6)求出(7)8/10/202224山東大學劉希明輔導物理競賽Pl1l2m2m1gf2f1O【解】(2)計算兩個小球與細繩構成系統(tǒng)所受外力對P點的力矩之和。兩個小球的重力對P點的力矩方向相反。設指向外面為正方向，則按定義利用(7)式擺線長度的結果得到利用(2)式可求出方向指向內,方向指向外。則8/10/202225山東大學劉希明輔導物理競賽已知m1m2,則 力矩的方向指向外為正，得到至于繩子張力因為力的作用線過P點，力矩為零。進而求出8/10/202226山東大

7、學劉希明輔導物理競賽 【解】(3) 系統(tǒng)對P點的角動量按照角動量的定義Pl1f1m1v1對于質點m1如圖可知圖示位置速度v1方向指向版面內，l1的方向由P指向質點，則角動量方向如圖所示J1同理可以求出m2相對P的角動量質點做圓錐運動時角動量的方向也隨之改變。8/10/202227山東大學劉希明輔導物理競賽Pl1f1m1v1J1角動量在豎直方向的分量是8/10/202228山東大學劉希明輔導物理競賽由以上分析知道兩個小球在同一個水平面內做半徑不同，角速度相同的圓周運動，角動量沿著豎直方向分量守恒。Pl1f1m1v1 兩個質點角動量的水平分量方向相反，總的水平分量是雖然這個分量的大小不變，但方向在

8、改變，因此角動量的水平分量不守恒！重力在水平方向的力矩不為零！8/10/202229山東大學劉希明輔導物理競賽【例題】如圖兩根不可伸長的柔軟的細繩，長度分別是l1與l2，且l10.需要通過受力分析與討論，得到可能的平衡狀態(tài)，進一步求出AB的長度。8/10/202230山東大學劉希明輔導物理競賽【解(1)】 如圖AB=0時(A與B重合)，AC連線沿豎直線方向，此時細繩AC拉直，BC松弛。重力mg與繩子AC的張力T相等。這種平衡與摩擦系數的取值無關！A BCml1l2當小環(huán)B離開A到達橫桿右邊某位置時，如果滿足條件A BCml2l1由于細繩BC沒有質量，系統(tǒng)受到小球的重力mg與繩子AC的張力T相互

9、平衡外，沒有任何其他外力作用，系統(tǒng)仍然處于平衡狀態(tài)。這種平衡與小環(huán)的摩擦系數無關。(1)8/10/202231山東大學劉希明輔導物理競賽設小環(huán)B再向右移動一段小距離Dx,上面條件(1)不再滿足。AB長度表示為小環(huán)B受到沿細繩BC方向張力作用T2,張力T2在豎直方向分力、向左的水平分力以及靜摩擦力分別是AmC T2q2如果小環(huán)B在水平方向的力滿足關系BF2f2N2平衡被破壞，質點B返回向左運動。8/10/202232山東大學劉希明輔導物理競賽利用以上力的表示及幾何關系求出摩擦系數滿足關系時，小環(huán)B將返回左向運動，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)被破壞。ABmC T2q2同樣小環(huán)A受到沿著AC方向張力T1作用，其平

10、衡狀態(tài)同樣與張力T1以及摩擦力f1之間的關系決定。但T1近似沿著豎直方向，其水平分力小于靜摩擦力，因而不發(fā)生滑動。對于一種極端情況：m1=0,此時小環(huán)將沿著AB桿滑動。平衡狀態(tài)被破壞。8/10/202233山東大學劉希明輔導物理競賽總之在條件系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是：AC連線沿豎直方向,AB 之間距離范圍是或者【解(2)】問題成為，討論在以下條件時系統(tǒng)的平衡問題8/10/202234山東大學劉希明輔導物理競賽如圖所示系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。分別分析環(huán)A與B的受力情況。A D Bq1f1q2f2T1T2Cm環(huán)A受到張力、水平分力與摩擦力作用,分別是當AB距離繼續(xù)增大，達到條件可見當桿AB距離再變大(距離DC變

11、小時)時,使得tgf1的值滿足上面條件時環(huán)A將沿著桿向內滑動而不再靜止,系統(tǒng)不再平衡。F1f18/10/202235山東大學劉希明輔導物理競賽同理分析環(huán)B的受力情況.得到環(huán)B發(fā)生滑動的條件是進一步分析這兩個條件滿足時需要具備的條件。8/10/202236山東大學劉希明輔導物理競賽如圖夾角f1與f2在幾何條件下相互聯系，用h表示C到AB桿的距離，則A D Bq1f1q2f2T1T2Cmh由正弦定理得到當AB距離增大時，夾角q1與q2都減少，夾角f1與f2則隨著增大,其正切函數值也增大。而環(huán)和環(huán)首哪一個先滑動或同時滑動取決于那個條件首先滿足8/10/202237山東大學劉希明輔導物理競賽設環(huán)開始滑

12、動時,h用hA表示,則得到A D Bq1f1q2f2T1T2Cmh設B環(huán)開始滑動時,h用hB表示,同樣得到可以通過比較桿AB增長過程中，通過距離hA與hB來判斷哪個環(huán)首先滑動，進而求的AB的長度。8/10/202238山東大學劉希明輔導物理競賽A D Bq1f1q2f2T1T2Cmh(1)如果 ,首先達到A球滑動的條件。由以上各式得到關系以及關系8/10/202239山東大學劉希明輔導物理競賽進一步求出AB的長度是總之，在條件系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)，AB的長度限制為8/10/202240山東大學劉希明輔導物理競賽(2)如果 ,由以上各式得到關系小環(huán)B首先滑動，系統(tǒng)失去平衡狀態(tài)。此時有關系以及關系8/

13、10/202241山東大學劉希明輔導物理競賽進一步求出AB的長度是總之，在條件系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)，AB的長度限制為8/10/202242山東大學劉希明輔導物理競賽討論：如果滿足條件則給出關系 ，兩個小環(huán)將同時滑動, 此時AB的距離是保持系統(tǒng)力學平衡的條件是8/10/202243山東大學劉希明輔導物理競賽【例題】質量M的宇航站載有質量m的衛(wèi)星一起繞地球做半徑nR的圓周運動，R是地球的半徑，n=1.25。在園軌道某位置上，沿著運動方向衛(wèi)星被射出后做橢圓運動，其遠地點到地心的距離為8nR,衛(wèi)星繞地球一周后正好與宇航站相遇，問兩者的質量比值m/M多大？nRR8/10/202244山東大學劉希明輔導物理競

14、賽【解】衛(wèi)星被射出前，在地球引力下做圓周運動，速度為u(1)設在圓周軌道上C點，衛(wèi)星m被射出后，衛(wèi)星速度為v，宇航站M的速度為V，則動量守恒(2)此后衛(wèi)星與宇航站分別以速度v與V繞地球做橢圓運動。假設兩者速度方向相同。8/10/202245山東大學劉希明輔導物理競賽萬有引力作用下園軌道、橢圓軌道的討論半徑R0園運動的能量與運動方程分別是Mm求出園軌道的能量橢圓軌道的能量與長半徑有關是8/10/202246山東大學劉希明輔導物理競賽在軌道上某處質點m速度有所增加，但總能量小于零，園軌道變成橢圓軌道。必有關系Mm這個位置是新橢圓軌道的近地點。按照幾何關系得到如果質點的速度有所減少，總能量減少。園軌

15、道成為橢圓軌道。但是 ，這個位置是橢圓軌道的遠地點，且8/10/202247山東大學劉希明輔導物理競賽因為Mm,則Vb,所有當該式括號中第一項為零時，取極大值。所用時間最短。8/10/202264山東大學劉希明輔導物理競賽由此得到質點沿著任意直徑下落用時間最短的直徑是討論：由于 ,所以長短半徑應滿足條件(4)得到條件(5)而如果(6)則不存在極值。在條件(5)滿足時，把(4)式代入(3)式得到時間的極小值。這個條件對應著對稱的兩個極角所表征的直徑。8/10/202265山東大學劉希明輔導物理競賽討論當 滿足時，在 范圍內，時間t隨q單調變化，沒有極值。在 ，時間 ，在由上式求出時間的極小值是8

16、/10/202266山東大學劉希明輔導物理競賽時間t隨極角q變化的示意圖8/10/202267山東大學劉希明輔導物理競賽【例題】水塘里有一只青蛙停在一片荷葉的中央，青蛙質量為m,荷葉質量為M，看成半徑為R的園。 (1)若青蛙能夠一次跳離荷葉，那么青蛙應做多少功？ (2)如果青蛙由所在荷葉中央起跳，剛好落在緊挨著的另一片完全相同的荷葉中央，隨之一起向前滑動，試求機械能損失與青蛙所做功的比值。 設青蛙跳離或者跳落荷葉時，荷葉均不產生豎直方向的運動，只能夠在水面上無阻力的滑動。8/10/202268山東大學劉希明輔導物理競賽【解1】設青蛙起跳后瞬間相對地面的水平速度與豎直速度分別是vx與vy,荷葉后

17、退的速度為v,則起跳過程中青蛙所做的功是(1)系統(tǒng)在水平方向動量守恒(2)在荷葉參考系中，青蛙起跳后相對荷葉的水平速度是(3)按照題目要求，青蛙要離開荷葉，即青蛙相對荷葉中央的位移必須滿足條件8/10/202269山東大學劉希明輔導物理競賽容易求出進而利用 整理給出關系求出青蛙豎直速度滿足的條件(4)把(2)(4)代入(1)式，得到青蛙做功的限制(5)進一步利用公式 ，改寫(5)式 8/10/202270山東大學劉希明輔導物理競賽(6)因此青蛙能夠跳出荷葉，所做的功至少應是(2)如果青蛙由所在荷葉中央起跳，剛好落在緊挨著的另一片完全相同的荷葉中央，隨之一起向前滑動，試求機械能損失與青蛙所做功的

18、比值。8/10/202271山東大學劉希明輔導物理競賽【解2】設青蛙起跳后瞬間相對水面的速度v,豎直分量與水平分量之夾角為q.則可以利用拋體公式處理射程問題。到達另一片完全相同荷葉的中央，水平射程是由此求出起跳時速率的表示(1)青蛙起跳時與荷葉系統(tǒng)在水平方向動量守恒(2)8/10/202272山東大學劉希明輔導物理競賽設青蛙跳到另一片荷葉中心后，兩者具有共同的水平速度V，再次利用水平方向動量守恒得到(3)青蛙起跳時做的功是(4)青蛙的機械能損失是分別代入(2)(3)(4),得到8/10/202273山東大學劉希明輔導物理競賽進一步求出比值是因為所以這個比值的范圍是8/10/202274山東大學

19、劉希明輔導物理競賽【例題】如圖一輛以速度v0運動的車子A撞上一輛靜止的車子B，碰撞后兩車一起運動直至停止，歷時10秒。在這個過程中原來放在車子B車尾的1米長的物塊剛好移動到車A的車頂。已知兩車質量相等，物塊的質量是一個車子質量的1/140，物塊與車頂的摩擦系數是車與地面摩擦系數的69倍，求車A初始速度v0多大？ABv0CABCv8/10/202275山東大學劉希明輔導物理競賽【分析與解答】車子A與發(fā)生完全非彈碰撞，可以忽略一切常規(guī)力；利用動量守恒解決。AB碰撞瞬間作為一個整體運動，而物塊C相對車子發(fā)生相對滑動，在時間t1內相對滑動停止，物塊恰好移動到車子A的前端。利用相對運動解決。A、B、C三

20、者作為整體向前繼續(xù)運動，在摩擦阻力作用下，逐漸減速直到停止，這段時間為t2.且總的時間是t=t1+t2=10s.8/10/202276山東大學劉希明輔導物理競賽A與發(fā)生完全非彈碰撞，設共同速度為v.動量守恒給出兩者向前運動的速度(1)設物塊質量為m,車的質量M=140m,車子與地面之間的摩擦系數為m,物塊與車之間的摩擦系數為m1,則m1=69m.兩車在地面及物塊向后的摩擦力作用下的減加速度是(2)8/10/202277山東大學劉希明輔導物理競賽按牛頓三定律物塊受到車子向前的摩擦力，相對地面的加速度是(3)而物塊相對車子的加速度則是(4)物塊在這個相對加速度下做勻變速運動，在t1時間內速度變?yōu)榱?/p>

21、，通過的距離為l=1m.可以利用運動學關系求解。首先給出箱子相對車子的初、末速度。初速度就是車子相對地面速度，但方向相反，末速度為零停止。ff1f1v8/10/202278山東大學劉希明輔導物理競賽l=1m利用運動學公式(5)以及運動學公式 ,求出(6)相對車的物理量經過t1時間后，箱子相對車子靜止，此時兩車(以及物塊)相對地面的速度v1，在這個時間內由運動學給出由(1)式得到物塊的初速度8/10/202279山東大學劉希明輔導物理競賽由t1時刻起，三者以初速度v1在地面摩擦力作用下做減速運動，直到經過t2時間停止。加速度是(8)(9)利用關系 代入數據求出利用運動學公式求出(10)(7)8/

22、10/202280山東大學劉希明輔導物理競賽【解2】據前分析，得到AB碰撞后共同速度為(1)由此開始，車AB一起向前運動，箱子C則向左相對滑動運動。經過10秒時間三者都停止。在這個過程中，箱子與車之間摩擦力做功損耗能量，這個摩擦力做功的數值為m1mgl,另一方面系統(tǒng)受到地面摩擦力作用同樣損耗能量，這個地面摩擦力作用時間是t=10s.可以看成系統(tǒng)受到一個沖量作用：m(2M+m)gt 設箱子與車之間摩擦力做功使得三者的速度減少為v1，得到關系(2)8/10/202281山東大學劉希明輔導物理競賽系統(tǒng)此時具有的動量是 在地面摩擦力沖量作用下最后變?yōu)榱?，按沖量定理得到(3)利用以上3式可以求出與m有關

23、的初速度事實上，以上3個方程包括4個量:v、v0、v1與m，顯然需要進一步列出有關方程。利用相對運動關系得到則問題全部解決。8/10/202282山東大學劉希明輔導物理競賽【例題】如圖所示，固定的半徑R豎直放置的圓環(huán)，有一個質量m的珠子套在圓環(huán)上，兩者之間摩擦系數為m.初始時珠子位于圓環(huán)的最低點P，在一個附加的切向力作用下，以不變的速度v從P點到達最高點Q。求該過程中摩擦力做的功。PQm【分析與求解】質點在運動過程中始終保持恒定速率v，做圓周運動的向心力是重力mg與支持力N兩者合力提供，因此N的大小與方向與圓周運動的速度有關。8/10/202283山東大學劉希明輔導物理競賽mgN ANPQxB

24、OqBq設如圖，珠子在任意q處，受到重力mg以及正壓力N作用，則有方程(1)上式中余弦函數cosq會取負值，如果珠子的速率v足夠大，環(huán)對珠子的支持力N的方向始終指向圓心。如果珠子的速率v不是足夠大，可能出現N=0的位置qB,繼續(xù)向上運動時，N會改變方向，方向背離圓心。這個速率的臨界值可由在最高點Q處的N=0來確定。8/10/202284山東大學劉希明輔導物理競賽mgN ANPQxBOqBq在最高點Q處正壓力N=0，則有(2)設珠子的速率滿足條件利用(1)式求出N=0的位置qB如圖所示(3)當珠子由p到B的運動過程中，利用(1)式的N表示式得到摩擦力通過任意小位移DS摩擦力做的功是8/10/20

25、2285山東大學劉希明輔導物理競賽qDqDsDx利用基本幾何關系得到珠子由q=0到q=qB摩擦力做的功利用了基本關系進一步計算珠子由qB到Q時摩擦力做的功，此時N改變符號，但摩擦力仍然與運動方向相反。(4)8/10/202286山東大學劉希明輔導物理競賽(5)利用以上(4)(5)以及(3)得到摩擦力做的總功為(6)對于另外一種情況，中間不存在N=0的點，則摩擦力做的總功是8/10/202287山東大學劉希明輔導物理競賽【例題】質量很大的車廂相對地面以速度v0勻速運動，車廂內一半徑為R的固定光滑的半圓柱面，頂部有一個質量為m的物塊，開始時靜止，因為受到一個擾動，物塊在圖示平面內下滑，直到離開柱體

26、，試求在此過程中圓柱面支持力N對物塊所做的功。Rqvm8/10/202288山東大學劉希明輔導物理競賽【分析與解】在車廂慣性參考系，支持力始終與物塊位移垂直，因此支持力也不做功。應該在地面參考系考慮做功問題。首先在車廂慣性參考系求解物塊離開圓柱時的位置與速度。此位置支持力為零。機械能守恒與圓周運動方程為(1)解出物塊脫離圓柱時的夾角與相對車廂的速度是(2)8/10/202289山東大學劉希明輔導物理競賽qv0設物塊向右滑動脫離圓柱。物塊相對地面的速度為V，則有關系(4)利用功能原理得到物塊能量的改變，即支持力做的功(5)聯立以上5式，得到(6)V如果物塊向左滑動離開圓柱體，則8/10/2022

27、90山東大學劉希明輔導物理競賽x0 xAyzEOq 【例題】如圖所示，xy平面是絕緣、剛性平面，坐標軸Oz軸豎直向上.在A(x0,0,0)處一帶負電的質點,電荷量為-q.外加均勻電場強度為E的電場,E與x軸垂直,與z軸夾角為q。質點用一穿過坐標原點O的細線牽引，質點與剛性平面的動摩擦系數與靜摩擦系數都為mtgq,不計質點的質量。質點在剛性平面上緩慢的移動，任何時刻都可以認為處在力平衡狀態(tài)。質點的軌道是一條二次曲線,求出這條二次曲線的方程。8/10/202291山東大學劉希明輔導物理競賽x0 xAyzEOq【分析力】質點在電場力F、細繩拉力T、摩擦力f以及剛性面支持力N共同作用下在剛性平面上作力

28、平衡下緩慢運動。其中被動力摩擦力的方向與速度方向相反（即軌道的切線方向),由此可以得到質點的軌道方程。把均勻電場投影到y(tǒng)、z方向，如圖得到關系(1)8/10/202292山東大學劉希明輔導物理競賽x0 xAzEOqy 質點受到的摩擦力與N有關，正好與電場力相等，表成為 摩擦力的方向決定于質點運動的方向。 質點受到電場力分解到y(tǒng)、z方向(2)在z方向還受到桌面向上的支持力N作用，與電場力相平衡，得到關系(3)8/10/202293山東大學劉希明輔導物理競賽 質點在電場分力Fy,摩擦力f以及細繩拉力T作用下在Oxy平面緩慢運動。任意時刻三個力相互平衡，如圖所示受力平衡方程為 (4) 整理(4)式得

29、到關系(5)注意到摩擦力f的大小與電場力Fy的大小相等,(5)式化成為該方程的解是(6)舍去T=0的無意義解。xyfFyTf8/10/202294山東大學劉希明輔導物理競賽考慮到夾角范圍 則(6)式的 把這個結果代入(4)中，得到摩擦力的表示因為摩擦力始終沿著軌道的切線方向，因此(8)式給出了軌道切線方向的斜率。由此可以得到軌道方程。下面做出討論，給出質點軌道方程是園。(7)進一步求出(8)8/10/202295山東大學劉希明輔導物理競賽 當f=p/2時，與Oy軸對應。k=,一般情況是質點運動到y(tǒng)軸上后，沿著y軸運動到坐標原點O,這不是二次曲線軌道，與題意不符。因此必定是軌道在坐標原點的切線與

30、x軸垂直。討論：當f=0時，對應圖中OA線，即開始的起點。k=,即在起點A時，軌道的切線與x軸垂直。xyAO8/10/202296山東大學劉希明輔導物理競賽二次曲線中，曲線上兩點切線相互平行(與x軸垂直)，只能是園或橢圓。而A、O兩點的切線與連線AO垂直，因此連線ox坐標軸就是軌道曲線的軸線，另一軸線在OA的垂直平分線上且與oy軸平行，二次曲線與這個軸線交點的切線斜率為0。由(8)式得夾角(9)因此軌道曲線是園。其方程是xyAO8/10/202297山東大學劉希明輔導物理競賽 【例題】如圖所示,帶正電小球質量為0.10kg,電荷量為810-4C.從水平地面上A點以與x軸正方向成300夾角的初速

31、度v0拋出(v0位于Oxy豎直平面內),小球到達最高點B時(最高點位于Oy軸上),在全空間立刻產生一個勻強電場E,強度為2.50103N/C,方向平行與Oxy平面,且與x軸負方向成q夾角,當帶電小球再次通過y軸時,勻強電場立刻消失,試分析討論當夾角q改變時(0q1800 ),帶電小球的運動情況,并畫出帶電小球在各種情況下的運動軌跡略圖。 A30 xyqB8/10/202298山東大學劉希明輔導物理競賽 【分析】帶正電小球到達最高點加入勻強電場后，受到兩個力作用，重力mg與電場力qE,由于電場力在x與y方向的分量與q角有關系。按照提供的數據得到小球自B點進入電場，初始速度是小球在電場區(qū)受到的力分

32、別是8/10/202299山東大學劉希明輔導物理競賽【1】當電場力y分量與重力相等： ，按照題設具體數據，要求q=300,帶電小球僅受到在x軸負方向的電場力作用 ，而小球在最高點B處具有x軸正方向的速度v0cosa,因此小球先沿著x軸正向勻減速運動，到速度為零時，再反向作初速度為零的勻加速運動。到達最高點B時，電場消失，僅受重力作用，帶電小球作初速度-v0cosa的平拋運動，軌跡與開始時相同，但運動方向相反。afxX方向加速度與最大位移分別是8/10/2022100山東大學劉希明輔導物理競賽【2】設夾角 ,小球通過最高點B后 電場力與重力滿足 ,小球在y方向受力與初速度是小球水平方向的初速度與

33、電場力是Bv0cosa可見在負y方向作加速運動，在x方向作減加速運動。按照兩個方向上能否同時到達坐標原點的不同情況，可以分成三種情況。8/10/2022101山東大學劉希明輔導物理競賽在x方向往返一次回到坐標原點的時間是 滿足該條件時，質點在兩個方向能夠同時到達O點.豎直方向作自由落體運動，到達y=0所需要的時間(1)（2）(1)令此兩式相等，得到夾角滿足的條件進一步解出(3)(4)8/10/2022102山東大學劉希明輔導物理競賽（2）當 時， ,質點先在y方向到達y=0,而x方向沒有到達x=0,因此質點在O點右側到達x軸.（3)當 時， ，如上述情況剛好相反，質點已經在x方向到達坐標原點，

34、在y方向繼續(xù)運動，因此質點在O點左側到達x軸。三種情況的圖像如下圖所示。(1)同時到達原點(2)先y后x到達原點(2)先x后y到達原點8/10/2022103山東大學劉希明輔導物理競賽【3】當夾角在 范圍時，電場力y分量與重力滿足關系 。在y方向受力與初速度是在x方向受力與初速度是8/10/2022104山東大學劉希明輔導物理競賽小球到達最高點B以后，在水平方向作減加速運動，直到速度為零后，在負x方向作加速運動。而沿著y軸正向一直作加速運動。當小球到達y軸時，小球具有正y方向的速度以及負x方向的速度。小球開始作斜拋運動。Bx8/10/2022105山東大學劉希明輔導物理競賽【4】當夾角在 范圍

35、時，帶電小球受到y(tǒng)軸正方向的電場力 作用，在x方向則受到正方向的作用力 作用。小球到達最高點B以后，在水平方向作加速運動,在y軸正向作加速運動。8/10/2022106山東大學劉希明輔導物理競賽【5】當時，受力與初速度分別是小球到達最高點B以后，在水平方向作勻加速運動。y方向不運動。8/10/2022107山東大學劉希明輔導物理競賽【6】當夾角在范圍時，存在關系小球y與x方向受力與初始速度小球到達最高點B以后，在水平方向作加速運動，在y軸負向作加速運動。8/10/2022108山東大學劉希明輔導物理競賽m1m2兩個小球都受到重力作用，它們之間又有彈性力作用，可以直接求解，也可以利用兩體方法求解

36、，為了相互比較，下面采取不同的辦法求解。 8/10/2022109山東大學劉希明輔導物理競賽m1kxOlCm2建立實驗室坐標系Ox，取豎直向下正，坐標原點O與此時質點m1的位置重合。首先求出質心的初始位置.【解1】直接由牛頓第二定律求解求出兩個質點到質心的距離分別是質心在重力作用下做一維加速運動(1)（2）8/10/2022110山東大學劉希明輔導物理競賽令(1)式中的 ，得到兩段彈簧的自然長度分別是以質心C為分界點，把連接質點m1與m2的彈簧分成兩個等效的彈簧。設與小球m1與質心之間的彈簧為k1,l10,m2與質心之間的為k2，l20.設彈簧的原長l0.系統(tǒng)平衡時滿足條件(3)系統(tǒng)處于靜止時

37、，已知彈簧的長度為l,彈性力是8/10/2022111山東大學劉希明輔導物理競賽另一方面在質心系中,兩個質點受到的彈性力分別是顯然它們是相等的，即由此得等效彈簧的勁度系數(4)首先計算質點m2相對質心的坐標。建立質心坐標系，坐標原點為C，正方向向下為正。m2相對固定坐標系的坐標為x2,相對質心的坐標為8/10/2022112山東大學劉希明輔導物理競賽已知質心的加速度為重力加速度g，質點m2受到重力m2g與彈性力m1CxCx2顯然滿足關系質點m2在實驗室坐標系中的加速度a等于質心的加速度aC與相對質心角速度的和按照牛頓第二定律整理后得到(5)利用了基本關系8/10/2022113山東大學劉希明輔

38、導物理競賽這是諧振動方程。諧振動角頻率是方程的一般解是利用這兩個條件，定出 初始條件是重新寫出動力學方程8/10/2022114山東大學劉希明輔導物理競賽得到m2相對質心的坐標與時間的關系是(6)m2相對實驗室坐標系的坐標與時間的關系是（7）8/10/2022115山東大學劉希明輔導物理競賽至于質點m1相對質心的運動方程按照基本關系求出以及m1相對實驗室的坐標是8/10/2022116山東大學劉希明輔導物理競賽 折合質量與諧振角頻率分別是是【解2】用兩體方法求解 取m1平動坐標系，取豎直向下為正方向的坐標軸Ox，坐標原點O與此時質點m1的位置重合。有方程(1)（2）方程的一般解是 （3）8/1

39、0/2022117山東大學劉希明輔導物理競賽運動的初始條件是 得到利用以上條件，求出最后得到滿足初始條件的特解(4)利用初始平衡條件8/10/2022118山東大學劉希明輔導物理競賽(5)由此得到m1與m2相對質心的運動方程。進一步得到它們在實驗室坐標系中的運動方程。注意這里取的是m1平動坐標系，相對質心的運動方程成為而質心運動方程在解法(1)中已經求出。8/10/2022119山東大學劉希明輔導物理競賽如圖,在均強磁場B區(qū)域有兩根足夠長的固定的平行導線，在它們上面放著兩根平行導體棒，形成矩形回路。導體棒的質量均為m,電阻都是 R 長度均為 l,導體棒與平行導線之間的摩擦力忽略不計。開始時左棒

40、靜止，右棒以初速度 v0 向右運動，計算右棒向右的速度隨時間的變化規(guī)律。v0mRlbBa8/10/2022120山東大學劉希明輔導物理競賽分析：右棒向右運動產生感應電動勢，產生逆時針方向的回路電流 I. 電流沿著 由下至上的方向流經右棒，右棒產生方向向左安培力F1= IBl ，則右棒減速運動，進而減少感應電動勢；電流經左棒也產生安培力F2，其方向向右，左棒向右加速運動，由此產生與右棒相反的電動勢，回路中總的電動勢減少，電流隨之減少，又使得兩棒安培力減少；右棒減速趨緩，左棒加速也趨緩最后兩梆速度趨于一致，回路中感應電動勢降為零，電流也為零。8/10/2022121山東大學劉希明輔導物理競賽 【解

41、】設某時刻右棒速度為v1,左棒的速度為 v2,方向皆向右；左棒受安培力 F2 方向向右，右棒受安培力 F1 方向向左兩者大小相等。v2v1F2 F1回路中感應電動勢為(1)感應電流強度是（2）右棒受安培力方向向左，大小是(3)8/10/2022122山東大學劉希明輔導物理競賽在此力作用下，右棒做減速運動,減加速度是左棒受安培力與右棒相同，但方向相反。左棒向右做加速運動，加速度是可見，兩棒加速度大小相同，但右棒速度減慢，左棒速度增大。隨著時間的推延，右棒速度v1不斷減少，左棒速度v2不斷增加。同時感應電動勢以及兩個棒受的力都隨著減少。當兩棒速度相同時v1= v2，感應電動勢為零，安培力為零，兩棒

42、速度不再變化。(4)（5）8/10/2022123山東大學劉希明輔導物理競賽把動量守恒用于左、右棒任意速度時因為左、右棒受力等大反向，因此動量守恒。設兩棒速度相同時為v,則有關系 (7)(6)求出共同速度是 (9)(8)求出關系把(9)代入(4)中，得到方程(4)8/10/2022124山東大學劉希明輔導物理競賽積分求出右棒速度隨時間的變化關系 (11)(10)8/10/2022125山東大學劉希明輔導物理競賽按照兩體問題求解，折合質量是m=m/2,作用內力就是安培力 (1)相對速度是，在此力作用下，兩體運動方程是 (2)按照關系，得到初始時相對速度（3）積分(2)求出相對速度與時間的關系 (

43、4)8/10/2022126山東大學劉希明輔導物理競賽進而求出右棒相對質心的速度右棒相對實驗室的速度由質心速度與相對質心速度得到 這是完全相同的結果。（4）(5)8/10/2022127山東大學劉希明輔導物理競賽【例題】在一根較長的絕緣輕質彈簧的兩端各系一個帶正電的小球，彈簧的原長為l0,彈性系數為k,兩個小球的質量與荷電分別是m1、q1與m2、q2.整個空間外加均勻電場，電場強度為E。開始彈簧保持原長，方向沿著電場強度方向，兩個小球靜止。試求加入電場后彈簧的最大長度(忽略兩個小球之間的相互作用)。m1q1m2q2kloE質心將做加速運動，兩個小球相對質心靜止或做簡諧運動?？汕蟪鏊鼈冎g的距離

44、。8/10/2022128山東大學劉希明輔導物理競賽 【解】系統(tǒng)受到外力是電場力，兩個小球受到內力是彈性力，解決這個問題可以用不同的方法。首先分析質心的運動，系統(tǒng)受力是(1)質心的加速度是(2)靜止平衡時質心到兩個質點的距離分別是（3）在質心坐標系中，兩根等效彈簧的彈性系數分別是(4)8/10/2022129山東大學劉希明輔導物理競賽 設兩球在質心坐標系中處于平衡位置時，其坐標分別是x1與x2,其平衡方程分別是(5)Cx2x1由以上各式求出(6)對這個結果做出討論.(1)如果 ，兩個小球在質心坐標系中的坐標就是原長，因此兩個小球的最大距離就是l0,彈簧保持自然長度。(2)如果 ，則8/10/2

45、022130山東大學劉希明輔導物理競賽表明處于平衡位置的兩個小球，彈簧處于拉伸狀態(tài)。亦即兩個小球平衡位置處于原長的外側。每個小球將在平衡位置附近作簡諧振動，小球m1的振幅是x1-l10,能夠達到的最遠點c到質心的距離是2x1-l10.Cl10 x1aoc同樣分析m2的情況，得到最遠點到質心的距離是2x2-l20.求出兩個小球的最大距離及彈簧的最大伸長是（7）8/10/2022131山東大學劉希明輔導物理競賽(3)如果 ，則表明小球處于平衡位置時，彈簧處于壓縮狀態(tài)。平衡位置在初始位置的內側。小球在此平衡位置附近作簡諧振動，能夠到達的離質心C的最遠距離就是初始位置到質心的距離l10與l20,因此彈

46、簧的最大伸長是原長l0.Cl10 x1oca8/10/2022132山東大學劉希明輔導物理競賽 【例題】兩個完全相同的球面擺，一個栓在另一個的下面。兩個擺球各自在一個水平面內做角速度相同的勻速圓周運動。設兩根擺線與豎直方向的夾角都很小，而且在運動過程中兩根擺線始終保持在同一個豎直平面內。在小角度近似下求此雙擺系統(tǒng)做圓周運動的角速度以及半徑的比例?！窘狻咳鐖D設擺長為l,質量為m,圓周運動的角速度為w,擺線與豎直方向的夾角分別為a與b,上下擺線的張力分別為T1與T2。小球還受到重力作用。則滿足方程8/10/2022133山東大學劉希明輔導物理競賽abT1mgT2mg第一種情況 (1)上面的質點力平

47、衡方程與圓周運動方程下面質點力平衡方程及圓周運動方程是(2)上、下小球圓周運動半徑是8/10/2022134山東大學劉希明輔導物理競賽由方程(2)消去張力T2，得到關系(3)聯立方程(1)(2)消去張力T1與T2，得到關系(4)考慮到小角度近似因為要求角度a、b都不為零，由(5)兩式分別解出由此(3)(4)寫成(5)8/10/2022135山東大學劉希明輔導物理競賽 上式右邊兩項相等，進一步化成由此解出角速度是把其中的 代入(5)式，得到夾角之間的關系 (6)這是圖1所示的兩個夾角都大于零的情況。(7)8/10/2022136山東大學劉希明輔導物理競賽利用這個角度關系(7)，可以進一步求出上下

48、兩個小球圓周運動半徑之間的關系。(8)對于(6)式的另一個解 同樣代入(5)式求出夾角是按照相同的辦法求出兩個圓周運動半徑之間的比值是(9)(10)8/10/2022137山東大學劉希明輔導物理競賽ab這個結果b20表明如圖所示的物理圖像。需要進一步從動力學角度分析。按照同樣的分析寫出圖示的動力學方程。 可見只有取b0就得到第一種情況的方程。因此這種情況也是動力學允許的可能情況。8/10/2022138山東大學劉希明輔導物理競賽事實上，直接由(5)式出發(fā)(5)可以直接求出夾角之間的關系進而求出圓周運動半徑之間的比值。8/10/2022139山東大學劉希明輔導物理競賽 【例題】單擺擺長為L，擺球

49、質量為m,從左側與豎直方向夾角a處靜止下擺，在右側與懸點相距r、與豎直方向夾角b(b0，代入上式，求出初始角度a滿足的條件是(4)【解】(2)討論小球能夠擊中釘子Q的條件。 設小球初始繞釘子Q做半徑L-r的圓周運動。在夾角為q0時張力為零，速度為v0。v0由下式給出(5)8/10/2022142山東大學劉希明輔導物理競賽小球由此位置開始做斜拋運動，其初始速度分量分別為(6)v0Qq0L-r釘子Q在圖示坐標系中的坐標是設在t時刻質點與釘子相碰，則兩者的坐標重合(7)8/10/2022143山東大學劉希明輔導物理競賽由此兩式消去時間t,解出（8）聯立(5)與(8)得到取為進一步討論初始夾角a滿足什

50、么條件，恰使小球與釘子相碰。把(9)式代入張力表示式(3)中，并令張力為零。(9)8/10/2022144山東大學劉希明輔導物理競賽化整為求出兩者能夠相碰時初始角度為(10)8/10/2022145山東大學劉希明輔導物理競賽 【例題】如圖所示，固定的圓柱體半徑R，一足夠長的細繩長度L由圓柱體頂端A與質量m的小球P聯結（L2pR)。小球P與圓柱體頂端A處在同一水平面上，細繩張緊。小球由此開始自由下落。下落過程中細繩與圓柱體相切于Q點。(1)求小球在軌跡最低點時的速度；(2)求繩子張力為零時小球的位置以及其他位置時張力的符號；(3)進一步計算張力為零后運動過程中小球達到最高位置時的速度。為了便于計

51、算，各量滿足關系ARpA8/10/2022146山東大學劉希明輔導物理競賽 PARqyQR(1-cosq)ssinq 【解】設某時刻小球連線與圓柱面切點為Q，半徑OQ與PQ垂直，設與OQ與y軸夾角q,弧QA長度為Rq,設PQ的長度為s，則滿足關系(1) 運動過程中,Q點做以O為圓心的圓周運動，設其速度為Rw,由(1)知細繩縮短的速度大小也就是Rw。設小球的速度為v,其方向與QP垂直。取A點為勢能零點，小球由靜止開始自由下落，則圖示位置的勢能為Ov8/10/2022147山東大學劉希明輔導物理競賽機械能守恒得到方程(2)當qp/2時,小球達最低位置。由(2)、(1)求出此時的速度為(3)(2)計

52、算小球在運動中受到繩子的張力T.由(2)式求出小球一般位置時的速度是此時小球做以Q為圓心，半徑為s的圓周運動。小球受到繩子的張力T以及重力mg的作用，滿足方程(4)8/10/2022148山東大學劉希明輔導物理競賽Tmgq把速度表達式(4)式代入上式，得到張力的表達式利用了基本公式再利用基本關系(1)式,上式張力又改寫為Q8/10/2022149山東大學劉希明輔導物理競賽(5)利用題設基本量滿足的條件令(5)式的張力T=0，求出此時的臨界角利用附加條件求出臨界角(6)8/10/2022150山東大學劉希明輔導物理競賽為了計算一般位置q 時T的大小，引入張力(5)式表示成 這是一個超越方程，可以

53、利用曲線相交方法求解T=0的解。Qp張力T=0vs8/10/2022151山東大學劉希明輔導物理競賽y1y2qs0p/2p3p/22p角度范圍y1-y2sinqT符號+-+0-0+-曲線y1與y2的交點給出T0的角度qs=9p/8,在其它角度q時張力的符號還與sinq有關，右表給出相應的結果。 由表可以看出，在范圍qsqR,如果此后擺球m運動過程中細繩始終保持伸直，給出比值a=D/L的極小值。不計滑動摩擦力作用。MmLAhR8/10/2022157山東大學劉希明輔導物理競賽mPQAOMhDq如圖所示。設OA與OQ之夾角為q,PQ長度為s,初始時重物離切點高度為h,而細繩長度不變，有關系s(1)

54、 利用關系DaL,為方便，令l=L-D,則有(2) 重物M下降距離D后停止運動，系統(tǒng)機械能守恒。取最高點為勢能零點，用E表示擺錘獲得的機械能，則8/10/2022158山東大學劉希明輔導物理競賽顯然擺錘的機械能是(3)這個能量包括擺錘的動能與勢能(4)求出擺錘的速度是(5)而擺錘做以Q為圓心，做半徑s的圓周運動，滿足方程是 (6)8/10/2022159山東大學劉希明輔導物理競賽把(5)式代入(6)求出張力的表示(7)按照細繩始終伸直的要求，在任何位置張力都大于零。由此討論滿足的條件，為此引入函數(8)利用已知條件： ，上式成為(9)其中8/10/2022160山東大學劉希明輔導物理競賽 由(

55、9)式可以看出f(q)的極小值是(10)把(10)代入張力表示式(7)中，得到張力恒大于零的條件是(11)移項后化成為8/10/2022161山東大學劉希明輔導物理競賽進一步利用條件： ，上式的(12)得到張力恒大于零的關系把l=L-D=L(1-a)代入上式右邊，得到由此不等式得到比值a滿足的條件是(13)8/10/2022162山東大學劉希明輔導物理競賽可見比值a=D/L的極小值是(14)8/10/2022163山東大學劉希明輔導物理競賽【例】圓錐擺。擺長l,擺球質量m,繞豎直轉軸旋轉角速度為w，求繩子與鉛直方向之夾角a與角速度之間的關系。malwmgTa分析力重力mg，張力T8/10/20

56、22164山東大學劉希明輔導物理競賽列出方程可以求出討論：當轉動角速度w很小時，使得g/lw21，導致cosa而無意義！但無論w多么小，一定存在確定的a！問題的原因是(1)式兩邊除了可能為零的sina!(1)(2)8/10/2022165山東大學劉希明輔導物理競賽方程(1)應該寫成方程的解還包括結合(2)式得到三個平衡位置8/10/2022166山東大學劉希明輔導物理競賽進一步討論三個平衡位置的穩(wěn)定性.研究擺球受力：繩子的張力T、重力mg以及慣性離心力把以上各力在切向投影,表成mgTaaa利用該式判斷出在三個平衡點附近上式的符號?？梢缘玫綌[球夾角a稍微偏離平衡位置時受到的力是否加大偏離(不穩(wěn)定

57、）或減少偏離（穩(wěn)定平衡位置）8/10/2022167山東大學劉希明輔導物理競賽 a0-0+p-p+_+_+_+可以看出：對于第一種情況在a=0附近，夾角減少時力為負的，促進進一步減少，夾角增加時力為正的，同樣促進進一步加大，因此不是穩(wěn)定平衡位置！8/10/2022168山東大學劉希明輔導物理競賽mgTaaa總之得到穩(wěn)定平衡位置是當當8/10/2022169山東大學劉希明輔導物理競賽方程 中夾角與角速度的關系畫出cosa關于w的曲線,可以得到 cosaw當 時,唯一的穩(wěn)定解是a=0.當 時,存在兩個可能的解.但a=p是不穩(wěn)定的，另一個解是穩(wěn)定的。108/10/2022170山東大學劉希明輔導物理

58、競賽【例題】如圖，質量為m的物塊置于傾角q的固定斜面上，物塊與斜面之間的摩擦系數m，mL0時，靜摩擦力f0方向向下；L0方向向上。amgNL0(3)8/10/2022178山東大學劉希明輔導物理競賽（2) LL0:如果L偏離L0開始減少，由(4)式得N也隨著減少，導致Ncosamg,小環(huán)有下滑趨勢，產生沿著桿向上的靜摩擦力f，且f隨著L的減少而增大，保證N與f的豎直分力與重力mg平衡(2)式成立。隨N變少引起f增大，必然使得(1)中的向心力 減少，但圓周運動半徑 也減少，能夠因此能夠維持穩(wěn)定圓周運動。隨著L的繼續(xù)減少到L1時，靜摩擦力取得極大值，小環(huán)開始滑動，此時摩擦力為mN。L減少,N減少,

59、靜摩擦力f方向向上且隨著增大。8/10/2022179山東大學劉希明輔導物理競賽把 代入(3)(4)中求出這個極限位置L1是wamgNfL0 (5)(3)當L繼續(xù)減少到LL0情況，當L偏離L0增大時，由(4)式得N也隨著增大，導致Ncosamg,小環(huán)有向上滑動的趨勢，產生沿著桿向下的摩擦力，此時N與f的豎直分力一起與重力mg平衡, N與f的水平分力提供圓周運動向心力。當到達極限位置L2時，靜摩擦力變?yōu)榛瑒幽Σ亮=-mN。8/10/2022181山東大學劉希明輔導物理競賽把 代入(3)(4)中求出這個極端位置L2是(6)(5) 當L繼續(xù)增大到LL2時， N也繼續(xù)增大，最大靜摩擦力f=-mN也增

60、大，但方向向下。此時N與f的豎直分力小環(huán)將繼續(xù)上滑，運動不穩(wěn)定 由此得到穩(wěn)定運動的范圍是 (7)8/10/2022182山東大學劉希明輔導物理競賽fLL0LL2后小環(huán)上滑L1L28/10/2022183山東大學劉希明輔導物理競賽【分析】(1)如果小球沒有自轉運動，由高h處落地時速度 經過極短的時間 在地面沖擊力N的作用下，速度改變方向,速度大小為 依次反復，最后速度為零?！纠}】實心剛性小球質量m,半徑R，置于高h處初始速度為零，但以角速度w0自轉，在重力作用下自由下落，與地面碰撞的恢復系數為e,摩擦系數為m。(1) 計算小球與地面碰撞后質心的速度及自轉角速度。(2)小球第一、二次落地點之間的