計算材料學(xué)課件：計算材料學(xué)1

1、計算材料學(xué)II 1 尚 家 香新主樓 D431房間82316500 (O)2. 教學(xué)內(nèi)容 量子力學(xué)基礎(chǔ)電子結(jié)構(gòu)計算方法及應(yīng)用分子動力學(xué)方法及應(yīng)用3. 教學(xué)安排及方式 4. 考核方式 考試：成績按100分計。其中期末考試占80，平時成績占20。第一原理：First-principles, ab initio calculation分子動力學(xué)Monte Carlo 方法相場相圖計算有限元方法 尺寸基本單元：宏觀(Macroscopic)介觀(Mesoscopic)微觀(Microscopic)時間尺度：ps (10-12s) 年分子動力學(xué)腐蝕、疲勞、蠕變晶體結(jié)構(gòu)層內(nèi)晶粒層狀結(jié)構(gòu)試樣電子結(jié)構(gòu)2.3

2、經(jīng)典物理學(xué)的困難和量子力學(xué)產(chǎn)生19世紀(jì)末，物理學(xué)普遍存在一種樂觀情緒，認(rèn)為對復(fù)雜紛紜的物理現(xiàn)象的本質(zhì)的認(rèn)識已經(jīng)完成。牛頓力學(xué)熱力學(xué)和統(tǒng)計物理麥克斯韋方程：電、磁、光兩朵烏云經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域遇到困難： （1）不能解釋黑體輻射的能譜、比熱容隨溫度變化 （2）光的波動說無法解釋光電效應(yīng) （3）不能給出原子的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，不能說明原子光譜 的規(guī)律。為什么天體能夠無摩擦穿行于“以太”？為什么無法測量“以太”速度？黑體輻射的紫外災(zāi)難？1. 黑體輻射問題問題的提出：研究黑體輻射與周圍物體處于平衡狀態(tài) 時的能量密度隨波長的分布曲線與經(jīng)典理論不符合黑體：一個物體能夠全部吸收投射到它上面的輻射而沒有反射。圓圈代表

3、實驗數(shù)據(jù). 基于熱力學(xué)基于經(jīng)典電動力學(xué)統(tǒng)計物理學(xué)理論物理學(xué)家試圖用經(jīng)典物理來說明能量分布規(guī)律，都沒有成功！維恩1893年用熱力學(xué)并加上一些假設(shè)，得到維恩公式：瑞金公式：只在高頻段與實驗符合，低頻不符合Rayleigh and Jeans利用電動力學(xué)導(dǎo)出了另一式子：在低頻段與實驗符合，而在高頻段不符合。在極高頻率時能量趨于無窮大。紫外災(zāi)難普朗克(理論物理學(xué)家)，1900年研究，從實驗著手，密切關(guān)注實驗進展。從魯本斯得到信息。普朗克公式頻率低頻率高維恩公式: 瑞金公式普朗克并不滿足找到一個經(jīng)驗公式，探求理論基礎(chǔ)？經(jīng)過三個月的緊張工作，試圖從熱力學(xué)普遍理論的基礎(chǔ)上推出這個與實驗完全一致的公式。但是失

4、敗了最后只好“孤注一擲”，采用玻爾茲曼統(tǒng)計分布來試一試，即能量分成一份一份地分給有限個諧振子。普朗克量子假說： 對于一定頻率的輻射，物體只能以 h 為能量單位吸收或發(fā)射它，h是一個普適常數(shù)。 即物體吸收或發(fā)射電磁輻射時，只能以量子的方式進行，每個量子的能量為 在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出：普朗克根據(jù)黑體輻射的數(shù)據(jù)常數(shù)，計算出普朗克常數(shù)1900年12月14日，普朗克在德國物理年會上報告了他的結(jié)果，完成了從經(jīng)典物理學(xué)到量子理論的第一個飛越，開創(chuàng)了量子理論的先河。1918年獲獎普朗克常數(shù)相對論力學(xué)退化為牛頓力學(xué)h的作用可以忽略，量子力學(xué)退化為經(jīng)典力學(xué)2. 光電效應(yīng) 1902年Lenard發(fā)現(xiàn)了光電效應(yīng)： 19

5、05年獲獎 (1) 要從一個給定的金屬表面獲得電子，只有大于 一定頻率的入射光才是有效的；(2) 發(fā)射出來的電子最大速度不依賴于光的強度，只與光的波長有關(guān)，波長減小時電子動能增加。1905年Einstein在普朗克量子假說的啟發(fā)下，大膽地提出了光量子的假說。光是由光量子組成，每個光量子的能量與頻率的關(guān)系為：根據(jù)能量守恒定律，得出Einstein 光電方程還沒有得到承認(rèn)；但同時實驗工作者開展了全面工作。密立根(1905)1914從實驗上證實了Einstein 光電方程。1919年康普頓散射實驗進一步證明光有粒子性，（1927年獲獎） 高頻率的X 射線被輕元素中的電子散射后,波長隨入射角的增大而增

6、大.按照經(jīng)典電動力學(xué),電磁波被散射后波長不應(yīng)改變.如果把這個過程看作是光子與電子碰撞的過程,就可以解釋這個過程.以上三個實驗說明： 光 既有波動性又有粒子性 即波粒二象性Einstein1921年獲獎密立根1923年獲獎3. 原子結(jié)構(gòu)的困難（1）Rutherford 提出了原子的有核模型，1908化學(xué)獎 1910發(fā)現(xiàn)原子的有核模型原子的穩(wěn)定性問題：原子就不穩(wěn)定，最后落入原子核中，致使整個原子塌陷而實際上并非如此。電子繞原子核做高速旋轉(zhuǎn)（2）原子光譜原子光譜是由一條條斷續(xù)的光譜線構(gòu)成的。對于確定的原子，在各種激發(fā)條件下得到的光譜線是一樣的。1885年Balmer 給出了計算氫原子光譜的公式為：根

7、據(jù)經(jīng)典物理，如果電子繞原子核做高速旋轉(zhuǎn)，輻射頻率應(yīng)該是連續(xù)的。而且原子也不穩(wěn)定。無法解釋實驗現(xiàn)象？（3）玻爾的原子結(jié)構(gòu)理論玻爾量子論（假設(shè)）原子中電子只能處于一系列特定軌道電子在這些軌道上可以穩(wěn)定運動，不輻射電磁波，但可以突然從一個軌道躍遷到另一個軌道，同時吸收或放出能量（電磁波），頻率為量子化條件：廣義動量廣義坐標(biāo)周期運動積分電子落入核中 光譜連續(xù)復(fù)雜光譜 光譜強度 有核模型經(jīng)典模型 量子化條件 玻爾理論導(dǎo)致困難導(dǎo)致玻爾理論的局限：將微觀粒子看成經(jīng)典力學(xué)中的 質(zhì)點，不能解釋稍復(fù)雜原子(氦)的譜線。也 不能給出處理譜線強度的方法。2.4 微粒的波粒二象性1924年，法國青年德布羅意逆向思維：光

8、：波 =粒子 ； 反之： 粒子波？大膽提出：實物粒子具有波動性. 波矢運動方向單位矢量其中德布羅意關(guān)系德布羅意在他的博士論文提出：在一定的情形下，任一運動質(zhì)點能夠被衍射。穿過一個相當(dāng)小的開孔的電子群會表現(xiàn)為衍射現(xiàn)象。正是這一方面，有可能尋得我們觀點的實驗證據(jù)。問：有沒有辦法驗證這一新的觀點？答：通過電子在晶體上的衍射實驗，應(yīng)當(dāng)有可能觀察到這種波動的效應(yīng)。被1927年戴維革末的電子衍射實驗證實德布羅意1929年獲得Nobel獎電子被有序合金Cu3Au衍射照片電子具有波動性，驗證德布羅意的預(yù)言。根據(jù)德布羅意關(guān)系：可以計算任何實物粒子的波長（物質(zhì)波）對于自由粒子，動能和動量都是常量，所以與自由粒子對

9、應(yīng)的德布羅意波長不變，因此可以用平面波來描述：用復(fù)數(shù)表示波函數(shù)自由粒子的波函數(shù)用復(fù)數(shù)表示：為什么？求自由粒子的德布羅意波長設(shè)自由粒子的動能為E，粒子的速度遠(yuǎn)小于光速，有則德布羅意波長為：如果電子用v伏電壓加速，則代如上式得:如v=150伏，則如v=10000伏，則所以要觀察電子衍射，用普通光柵不行，必須采用晶體作光柵。例1. 設(shè)有一個重為m=50kg的短跑運動員，以v=10ms-1 的速度運動，求其相應(yīng)的德布羅意波長。解 : 該運動員的動量為P=mv=500kg. m. s-1相應(yīng)的德布羅意波長為:答:運動員相應(yīng)的德布羅意波長為1.521036m。討論：他的德布羅意波長與自身的尺寸相比太小。例

10、2. 求能量為100eV的自由電子的德布羅意波長。解：由計算德布羅意波長公式可知討論：電子的德布羅意波長遠(yuǎn)大于它本身的 尺寸，它的波動性不能忽略。答:略（利用德布羅意關(guān)系式，討論波動性與粒子性的關(guān)系.）2.5 波函數(shù) 薛定鍔方程 (1) 薛定鍔方程 其中E為能量本征值， 為描述體系狀態(tài)的波函數(shù)，H為體系的哈密頓量， 定態(tài)問題，即 不隨時間改變，可得到定態(tài)薛定鍔方程 (2) 定態(tài)薛定鍔方程 定態(tài)薛定諤方程推導(dǎo)有一種特殊情況，勢場不隨時間而變:用分離變量法解方程設(shè)VVVV左、右兩邊變量獨立，兩邊必為常數(shù)，記為E同除上式兩端得VV其中E的物理意義是粒子的總能量由（2）V方程定態(tài)薛定諤方程對給一個具體

11、問題，就給定一個 ，由(3)解出 滿足方程能量本征函數(shù)(4)(6)(5)(7)VVV能量算符哈密頓算符能量本征方程能量本征函數(shù)， 本征值(7)V 若能量本征方程 的本征值為：本征函數(shù)為：則體系的第n個定態(tài)波函數(shù)為通解應(yīng)為其中Cn由初始條件定波函數(shù)絕對值的平方為粒子在空間一點出現(xiàn)的幾率，由波函數(shù)可以得出體系的各種性質(zhì) ，因此說波函數(shù)描寫體系的量子狀態(tài)表示在r點處 的體積元xyz中找到粒子的幾率.歸一化條件(3) 波函數(shù)統(tǒng)計解釋波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件: 有限性, 連續(xù)性和單值性邊界條件和歸一化條件. (4) 態(tài)疊加原理 也是可能的態(tài)。如果是體系的可能狀態(tài)，則他們的線性疊加態(tài)迭加原理推廣到更一般的情況：如

12、果 是粒子可能的態(tài)，則意義: 當(dāng)體系處于線性疊加態(tài)時, 粒子既可處在1態(tài),也可處于2態(tài). 測量時將會發(fā)現(xiàn), 粒子分別以一定的幾率存在2.6 算符和力學(xué)量 3 1.算符：作用在一個函數(shù)上變成另一個函數(shù)的符號。 通常使用 表示算符，則其定義可表示為：2. 本征值方程如果算符 作用于一個函數(shù) ，結(jié)果等于 乘以一個常數(shù)的本征值本征函數(shù)本征值方程動量算符：坐標(biāo)算符：能量與哈密頓算符相對應(yīng)怎樣得到的？如果量子力學(xué)中的物理量F在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個力學(xué)量的算符 由經(jīng)典表示式 將P換成算符 即得算符與它表示的力學(xué)量之間的關(guān)系？體系處于哈密頓算符本征態(tài)，能量有確定值，這個值就是H在本征態(tài)時本征值

13、。只有量子力學(xué)中才有, 而經(jīng)典力學(xué)中沒有的力學(xué)量(自旋)算符的引進到后面再講.3. 厄米算符定義：如果 滿足下式，叫厄米算符其中， 和 都是任意函數(shù)， x 代表所有的變量，積分范圍是所有變量變化的整個區(qū)域?；炯僭O(shè)：如果算符力學(xué)量 表示力學(xué)量F，那么 當(dāng)體系處于 的本征態(tài)時，力學(xué)量有確定值， 這個值就是 在這個態(tài)中的本征值。力學(xué)量的數(shù)值都是實數(shù)。厄米算符的性質(zhì)：（1) 厄米算符的本征值是實數(shù)（2）厄米算符屬于不同本征值的本證函數(shù)相互正交屬于動量算符不同本征值的兩個本征函數(shù)相互正交一般地，如果兩函數(shù) 滿足關(guān)系式：式中積分是對變量變化的全部區(qū)域進行的，則稱相互正交?？梢宰C明:厄米算符的屬于不同本征值的兩個本征函數(shù)相互正交。（3）厄米算符本征函數(shù)組成完全系 如果一套本征函數(shù) 能將任一函數(shù) 線性組合而成則這套本征函數(shù)就是一個完全系。厄米算符本征函數(shù)組成正交歸一完全系4. 力學(xué)量與算符的關(guān)系（基本假定）量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄米算符，他們的本征函數(shù)組成完全系。當(dāng)體系處于波函數(shù) 所描寫的