第三、四節(jié) n維向量組的極大線性無(wú)關(guān)組

1、3.4 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組問:其中線性無(wú)關(guān)的部分組最多可以包含多少個(gè)向量?1定義1 若向量組 中的每一個(gè)向量都可以由向量組 線性表示,則稱向量組 可由向量組線性表示，若向量組 和 可以互相線性表示，則稱兩個(gè)向量組等價(jià)一、等價(jià)的向量組2向量組 可由 線性表示，即3向量組 可由 線性表示等價(jià)于存在 的矩陣 使若向量組 和 等價(jià)4等價(jià)向量組的性質(zhì)：1. 自反性：一個(gè)向量組與其自身等價(jià)2. 對(duì)稱性：若向量組 和 等價(jià)，則向量組和 等價(jià)。3. 傳遞性：若向量組 和 等價(jià)，向量組和 等價(jià)，則向量組 和 等價(jià)。5定理1 設(shè) 中的兩個(gè)向量組 和 若向量組 可由 線性表示，且 ，則向量組 線性相關(guān)少的表示多

2、的，多的一定線性相關(guān)注：1. ,不能相等; 2. 時(shí)，結(jié)論不一定成立.（證明略）6推論1 若向量組 可由向量組 線性表示，又已知 線性無(wú)關(guān)，則必有推論2：兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組互相等價(jià)，則它 們所含的向量個(gè)數(shù)相等注：若只是等價(jià)的向量組，它們所含的向量個(gè)數(shù)未必相等定理1的逆否命題：7極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)定義二極大線性無(wú)關(guān)組定義如果一個(gè)向量組A的一個(gè)部分組滿足下述條件：81.一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組可能不唯一2.向量組和其極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)(一個(gè)向量組的任何兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都等價(jià))3.一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)唯一確定。注:9三 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定理2 矩陣A的行初等變換不

3、改變A的列向量組的線性相關(guān)性和線性組合關(guān)系定義 一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩. 線性無(wú)關(guān)的向量組的秩等于向量組的向量的個(gè)數(shù).10例211等于它的行向量組的秩. 定理 3 矩陣的秩等于它的列向量組的秩, 也求向量組的最大無(wú)關(guān)組的步驟:12例3：設(shè)有向量組(1)求向量組的秩，并討論它的線性相關(guān)性。(2)求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。(3)把其余向量表示成為該極大線性無(wú)關(guān)組的 線性組合13解：取(1)向量組即為A的列向量R(A)=2, 所以向量組的秩為2。(2) 為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組(3)14推論：設(shè)A 為 矩陣，秩 ，則有:(1)當(dāng)r=m 時(shí)，A 的行向量組線性無(wú)

4、關(guān);當(dāng)rm時(shí)， A的行向量組線性相關(guān)(2)當(dāng)r=n 時(shí)，A 的列向量組線性無(wú)關(guān);當(dāng)rn時(shí)，A的列向量組線性相關(guān)。 當(dāng)A為n階方陣時(shí)，即當(dāng)m=n時(shí)，A的列(行)向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是由矩陣的秩和它的向量組的秩的關(guān)系，我們立刻會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：153.5 向 量 空 間一、向量空間的定義定義 1 設(shè) V 為 n 維向量的集合,如果集合 V非空, 且那么就稱集合 V 為向量空間.則 a + b V; 若 a V, R, 則 a V. 若 a V, b V,16例1 判別下列集合是否為向量空間.解17例2 判別下列集合是否為向量空間.解18一般地，L = x = a + b | , R x1

5、=1a +1b, x2 =2a +2b則有x1 + x2 = (1+1)a + ( 1 + 2 )b L,kx1 = (k1)a + (k1)b L .這個(gè)向量空間稱為由向量 a , b 所生成的向量空間.是一個(gè)向量空間.因?yàn)槿?9由向量組 a1 , a2 , . , am 所生成的向量空間一般形式為 L=x=1a1 + 2a2 + . + mam | 1, 2 ,., m R . 20二、向量空間的基 向量空間的維數(shù) 定義 2 設(shè)有向量空間 V1 及V2 , 若 V1 V2, 總有 V Rn , 所以這樣的向量空間總是 Rn 的子空間. 例如：任何由 n 維向量所組成的向量空間 V, 就稱 V1 是 V2 的子空間.21向量空間.定義 3 設(shè)V 為向量空間, 如果r 個(gè)向量a1 , a2 , . , ar V , 且滿足(i) a1 , a2 , . , ar 線性無(wú)關(guān);(ii) V中任一向量都可由a1 , a2 , . , ar 線性表示.那么,向量組 a1 , a2 , . , ar 就稱為向量空間 V 的一個(gè)基, r 稱為向量空間 V 的維數(shù),并稱 V為 r 維22 （1）只含有零向量的向量空間稱