力學(xué)作業(yè)解答第三章

1、第三章基本知識(shí)小結(jié)1牛頓運(yùn)動(dòng)定律適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)，牛頓第二定律是核心。矢量式：F=ma=dvd2rm=m-dtdt2分量式：F=ma,F=ma,xxyydvF=ma=m,FTTdtnF=ma（直角坐標(biāo)）zzv2=ma=m一（弧坐標(biāo)）np動(dòng)量定理適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系。導(dǎo)數(shù)形式：F=dpdt微分形式：Fdt=dp積分形式：I（=JFdt）=Ap（注意分量式的運(yùn)用）動(dòng)量守恒定律適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系。若作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和始終為零，則質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。即若工f=o,貝yp=恒矢量。外（注意分量式的運(yùn)用）在非慣性系中，考慮相應(yīng)的慣性力，也可應(yīng)用以上規(guī)律解題。在直線加速

2、參考系中：fo在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中：f*=m2r,f*=2mvxck質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理=工mvma=工maiicii(1)mr=工mrmvciic工F=mac（注意分量式的運(yùn)用）3.4.1質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為r二(6t2-l)i+2+3t+1)j(單位：米，秒)，求證質(zhì)點(diǎn)受恒力而運(yùn)動(dòng)，并求力的方向大小。解：a二d2r/dt2二12i+6j,F二ma二24i+12j為一與時(shí)間無(wú)關(guān)的恒矢量，質(zhì)點(diǎn)受恒力而運(yùn)動(dòng)。F=(242+122)i/2=12七5N,力與x軸之間夾角為：a二arctgF/F二arctg0.5二2634yx3.4.2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：r二a

3、coseti+bsinetj，a,b,3為正常數(shù)，證明作用于質(zhì)點(diǎn)的合力總指向原點(diǎn)。八八證明：a=d2r/dt2=-e2(acoseti+bsinetj)=-e2rF=ma=-me2r,作用于質(zhì)點(diǎn)的合力總指向原點(diǎn)。pmip1P2*3.4.4題圖3.4.4桌面上疊放著兩塊木板，質(zhì)量各為皿凹2,如圖所示，m2和桌面間的摩擦系數(shù)為p2,m1和m2間的摩擦系數(shù)為pb問(wèn)沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出來(lái)。解：以地為參考系，隔離m1m2,其受力與運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，N2Fm1g其中，N1=N1,f1=f1=p1N1,f2=p2N2，選圖示坐標(biāo)系o-xy，對(duì)m1?m2分別應(yīng)用牛頓二定律，有pN=ma11

4、11F-pN-pN=ma112222N-mg=011N-N-mg=0212解方程組，得a1=p1ga=(F-pmg-pmg-pmg)/m21121222要把木板從下面抽出來(lái)，必須滿足aa，即:.F(p+m)g121221Fmgmgmgm|Hg112122213.4.6在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為m,m2,物體之間及物體與桌面間的摩擦系數(shù)都為p，求在力F的作用下兩物體的加速度及繩內(nèi)張力，不計(jì)滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦，繩不可伸長(zhǎng)。解：以地為參考系，隔離m,m2，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示，其中：f1=p叫=m1g，f2=pN2=p(N1+m2g)=p(m1+m2)g.在水平方向?qū)蓚€(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛二定律：

5、T-pmg=ma11F-mg一卩(m+m)g-T=ma112ma2+可求得：F-2pmgma=-Pgm+m12m1J丿m2IN1ihb-cim,ga1m(F-2pmg)將a代入中，可求得：T=t+-m+m12iii12g3.4.7在圖示的裝置中，物體A,B,C的質(zhì)量各為m1,m2,m3，且兩兩不相等.若物體A,B與桌面間的摩擦系數(shù)為p，求三個(gè)物體的加速度及繩內(nèi)的張力，不計(jì)繩和滑輪質(zhì)量，不計(jì)軸承摩擦，繩不可伸長(zhǎng)。解：以地為參考系，隔離A,B,C,受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示，其中：f1=pN1=pm1g，f2=pN2=pm2g，T=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以(a1+a2)/2=a

6、3對(duì)A,B,C分別在其加速度方向上應(yīng)用牛頓第二定律：T-pmg二maT-pmg二maiii222mg-2T二m(a+a)/233i2，,聯(lián)立，可求得：2mm(1+p)23p(m+m)m+4mm123122mm(1+p)13p(m+m)m+4mm12312(m+m)m(1+p)123p(m+m)m+4mm12312Ta1mgm3gf2amg*3.4.9跳傘運(yùn)動(dòng)員初張傘時(shí)的速度為v，0阻力大小與速度平方成正比：av2，人傘總質(zhì)量為m。求v二v(t)的函數(shù)。提示：積分時(shí)可利用式1-v22(1+v)2(1-v)dv解，mg-av2=mp,dtdvmgdt-av2mdtdvmg(1-av2/mg)mgm

7、常量，-,Pamg上式寫成dv1-P2V2=gdt,dvdv2(1+Pv)2(1-Pv)=gdt.d(1+卩v)2卩(1+卩v)-鳥(niǎo)-Pv)=gdt，積分ln(rr|v)=2卩gt+C，代入，In/+嚴(yán))二2pgt+lnj+,01-Pv1-Pv0，(1+Pv)(1-Pv)，lno-(1-pv)(1+pv)0二2pgt,ve1+Pv(e2pgto1)_11-pv=p0/1+pv1、(e2pgto+1)1-Pv03.5.14北京設(shè)有供實(shí)驗(yàn)用的高速列車環(huán)形鐵路，回轉(zhuǎn)半徑為9km，將要建設(shè)的京滬列車時(shí)速250km/h,若在環(huán)路上作此項(xiàng)列車實(shí)驗(yàn)且欲使鐵軌不受側(cè)壓力，外軌應(yīng)比內(nèi)軌高多少？設(shè)軌距1.435m

8、.h解：以地為參考系，把車廂視為質(zhì)點(diǎn)，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示：車廂速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v2R；設(shè)軌矩為Z，外軌比內(nèi)軌高h(yuǎn),有cosa_；12-h2/1,sina_h/1選圖示坐標(biāo)o-xy,對(duì)車箱應(yīng)用牛頓第二定律：Ncosa_N、l2-h2/1_mg，Nsina_Nh/1_mv2/R/得：12-h2/h_gR/v2，兩邊平方并整理，可求得h：h_v21/嚴(yán)+g2R2_69.42x1.435/69.44+9.82x90002_0.0782m_7.8cm3.4.15汽車質(zhì)量為1.2X10kN，在半徑為100m的水平圓形彎道上行駛，公路內(nèi)外側(cè)傾斜15，沿公路取自然坐標(biāo)，汽車

9、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為s=0.5t3+20t(m),自t=5s開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)公路面作用于汽車與前進(jìn)方向垂直的摩擦力是由公路內(nèi)側(cè)指向外側(cè)還是由外側(cè)直向內(nèi)側(cè)？解：以地為參考系，把汽車視為質(zhì)點(diǎn)，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示：v=ds/dt=1.5t2+20，v|=1.5X52+20=57.5m/s，a=v2/R=57.52/100=33t=5n設(shè)摩擦力f方向指向外側(cè)，取圖示坐標(biāo)o-xy,應(yīng)用牛頓第二定律：Ncosa+fsina二mgNcosa二mgfsinaNsinafcosa二maNsina二ma+fcosan/得：tga=(ma+fcosa)/(mgfsina)m(gtgaa)ncosa+sinatganmgt

10、gafsinatga=ma+fcosa,ngtgaa=9.8tgl5。-33=-30.430,/.fm2相對(duì)升降機(jī)的加速度.以向下為正方向，由牛頓二定律，有mg-T-ma=11mg2-ma-=1解得-T-ma=ma22(m-m)a+(m-m)ga=i221-m+m12T=2mm(g-a)/(m+m)1212設(shè)m1、m2的加速度分別為a、a2,根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的加速度公式,a=a+a1a=a+a寫成標(biāo)量式：a=-a+a,a=a+a，將a代入，求得:2212a1a22ma-(m-m)g221m+m122ma+(m-m)g12+m+m)123.6.1就下面兩種受力情況：F二2ti+2j(N,s),、八八

11、F=2ti+(1-t)j(N,s)分別求出t=0,1/4,1/2j3/4,1時(shí)的力并用圖表示；再求t=0至t=1時(shí)間內(nèi)的沖量,也用圖表示。解：(1)F=2tj+2j,代入t值得:F(0)=2j,F(+)=+i+2j,F(士)=i+2j422F(3)=孑j+2j,F=2j+2j42111I=JFdt=2iJtdt+2jJdt=i+2j000I=12+22=、：5Ns，與x軸夾角a=arctgl/I=arctg2=63.5yx(2)F=2ti+(1t)j,代入t值得:F(0)=j,F(4)=/X/X/X/Xi+3j,F(1)=i+ij422012FG)=3i+1j,F(1)=2i424.1111I

12、=JFdt=2iJtdt+jJdtjJtdt=i+j20000I=J2+0.52=f5/2Ns，與x軸夾角a=arctgIy/Ix=arctg0.5=26.5y012y3.6.2一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為:TOC o 1-5 h z八八r=acosti+bsinj，求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。解：質(zhì)點(diǎn)速度：v=dr/dt=-wasineti+wbcosj八八質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量：p=mv=-mwasinwti+mwbcoswj大?。篜=P2+p2=mw2sin2wt+b2cos2Wtxy方向：與x軸夾角為e,tgO=p/p=-ctgwtb/ayx3.6.5質(zhì)量為M的滑塊與水平臺(tái)面間的靜摩擦系數(shù)為

13、p0,質(zhì)量為m的滑塊與M均處于靜止，繩不可伸長(zhǎng)，繩與滑輪質(zhì)量可不計(jì)，不計(jì)滑輪軸摩擦。問(wèn)將m托起多高，松手后可利用繩對(duì)M沖力的平均力拖動(dòng)M?設(shè)當(dāng)m下落h后經(jīng)過(guò)極短的時(shí)間At后與繩的鉛直部分相對(duì)靜止。解：以地為參考系，選圖示坐標(biāo)，先以m為研究對(duì)象，它被托起h,再落回原來(lái)位置時(shí)，速度大小為v=：頑,在At極短時(shí)間內(nèi)與繩相互作用，速度又變?yōu)榱?，設(shè)作用在m上的平均沖力為F，相對(duì)沖力，重力作用可忽略，則由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有:FAt=0一(一mv)=mv-m.J2ghF=m*；2gh/At再以M為研究對(duì)象，由于繩、輪質(zhì)量不計(jì)，軸處摩擦不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，所以M受到的沖力大小也是F，M受到的最大靜摩擦力為于=pMg

14、，因此，能利用繩對(duì)M的平均沖力托動(dòng)M的條件是：maxoF刁，即mj2gh/At、卩Mg/.h、卩2M2(At)2g/2m2maxoo3.7.1質(zhì)量為1500kg的汽車在靜止的駁船上在5s內(nèi)自靜止加速至5m/s,問(wèn)纜繩作用與駁船的平均力有多大？(分別用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、牛頓定律求解)解：(1)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理解：以岸為參考系，把車、船當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)系，該系在水平方向只受纜繩的拉力F的作用，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，有FAt=mvF=mv/At=15005/5=1500N用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解：F=(m1+m2)ac，據(jù)質(zhì)心定義式，有：(m1+mac=mip，1+m2，a1為車對(duì)岸的加速度，a1=(v-

15、0)/At=v/At,a2為船對(duì)地的加速度，據(jù)題意a，Aa=a1m/(m1+m2)，代入a1，a=m1v/(m1+mAt，*.F=m1v/At=1500N用牛頓定律解：a2=0a1分別分析車、船兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的Fmff“m受力與運(yùn)動(dòng)情況：其中f為21靜摩擦力，a=v/At,對(duì)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別應(yīng)用牛頓二定律：f=吒=嚀/At=1500NF-f=0F=f=1500N3.7.570kg重的人和210kg重的小船最初處于靜止，后來(lái)人從船尾向船頭勻速走了3.2m停下來(lái)，問(wèn)人向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)了幾米？不計(jì)船所受的阻力。v1，相對(duì)船的速度為m1解：以地為參考系，選圖示坐標(biāo)o-x,設(shè)人的質(zhì)量為叫=70kg，人相對(duì)地的

16、速度為v，它們的方向顯然與x軸同向；設(shè)船的質(zhì)量為m2=210kg，船相對(duì)地的速度為v2,（方向顯然與x軸相反）；據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度變換公式，人對(duì)地的速度v1=v1+v2.由于不計(jì)水的阻力，所以在水平方向上，人與船構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒，有m1+m2v2=0,即m1+v2）+m2v2=0，可求得v2=-v1m（m1+m2），將上式兩邊同時(shí)乘上相互作用時(shí)間At，v尹t=s2為船相對(duì)地的位移，v嚴(yán)t=s；=32m,即s2=-s1m/m+m/=-3.2X70/(70+210)=-0.8m解：設(shè)兩車撞后的共同速度為V，由動(dòng)量守恒:向x軸投影：m甘（化+m2）VxmV+mV11223.7.7載人的切諾基和桑塔納汽車質(zhì)量各為