解答與完全平方數(shù)有關(guān)的競賽題方法

1、如下文章已經(jīng)刊登于2013年12月中學教研-數(shù)學雜志第39頁至40頁解答與“完全平方數(shù)”有關(guān)的競賽試題的一般方法518076廣東省深圳市南山區(qū)蛇口中學 王遠征在數(shù)學競賽試卷中，頻繁出現(xiàn)這樣的一類問題：“求自然數(shù)n，使得關(guān)于n的一個二次 多項式n2 + an + 8的值是完全平方數(shù)，（a,b為常數(shù)）”.在此，筆者給出解答這類問題的一 般方法，即設(shè)參數(shù)、配方，對多項式分解因式，同時對常數(shù)分解成整數(shù)乘積的形式，然后構(gòu) 造方程組，進而求出滿足題設(shè)條件的自然數(shù)n和所設(shè)參數(shù)的值.舉例介紹如下：例1.已知n是自然數(shù)，且n2 - 17n + 73是完全平方數(shù)，那么n的值是或.（第13屆希望杯初二年級（第一試）

2、試題）解析：依題意設(shè)n2 -17n + 73 = m2，（m是自然數(shù)）.配方得：（2n -17）2 + 3 = 4m2，移項，并對多項式分解因式，且把常數(shù)-3也分解成兩 個整數(shù)乘積的形式，于是得：（2n -17 - 2m）（2n -17 + 2m） = -3 = -1 x3 = -3 x 1，因為m, n都是自然數(shù)，所以2n -17 + 2m和2n -17 - 2m都是整數(shù)，且 2n -17 + 2m 2n -17 - 2m。于是有：| n = 9 I n = 8,分別解得：m = 1或m = 12n -17 + 2m = 3f2n -17 + 2m = 1或S2n -17 - 2m = -1

3、2n -17 - 2m =-3故n的值是8或9.該方法通俗易懂，有普遍的實用性，且解題過程簡潔明了，易于被掌握和應(yīng)用。例題2.關(guān)于m,n的方程+1 - = 3的整數(shù)解（m,n）=。m n mn24（2013年上海數(shù)學競賽新知杯第6題）解析：視為“ m ”為常數(shù)，由原方程整理成關(guān)于n的一元二次方程得：（4 一 3m）n 2 + 4mn 一 4 = 0此方程有整數(shù)解的必要條件是：A = 16m2 - 48m + 64是完全平方數(shù)。因為16m2 - 48m + 64 = 22(2m - 3+ 7是完全平方數(shù)，可設(shè)k2 =(2m - 3+ 7，則(k - 2m + 3)(k + 2m - 3) = 7

4、 = 1 x 7 = -1 x (-7)。因為 k - 2m + 3 k + 2m - 3。所以Ik 一 2m + 3 = 1 Ik 一 2m + 3 = -7 Im = 3 Im = 3I k + 2m - 3 = 7 或 | k + 2m - 3 =-1，解得 | k = 4 或 | k =-4于是：n = 2（m 3m） = 2或5 （舍去）故整數(shù)解 n）=（3,2）。例題2通過對分式方程去分母整理成關(guān)于n的一元二次方程，根據(jù)方程有整數(shù)解的必要 條件是判別式為完全平方數(shù)，將例題2轉(zhuǎn)化為例1相似的問題來處理。例題3.求能使2n + 256是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值。（2011年全國初中數(shù)學

5、聯(lián)賽）解析：依題意設(shè)2 n + 256 = m 2 , m是正整數(shù)。則（m - 16）（m +16） = 2 ,可設(shè)n = x + y,其中工，J都是正整數(shù)。且工 J .于是m -16 = 2 x（1）m +16 = 2 y （2）由（2）（1）得：2x 墳y-x -1）= 25 x 1,則02x = 25 且 2y-x -1 = 1,解得：x = 5, y = 6 ,則 n = x + y =11.此題將2n表示成2x x 2y的形式，以便為使用例題1提供解題方法創(chuàng)造條件。例題4.已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為60，求它的外接圓的面積。（2012年 全國初中數(shù)學競賽第二試（B）試題）解

6、析:設(shè)直角三角形的三邊長依次為a、b、c , （ a、b、c均為正整數(shù)，且為a b c ）, 外接圓的面積為n。則r(1)(2)(3)(4)a + b + c = 60 0,所以60 一 c 一 m 0,則c + m v 60。2而 3c a + b + c = 60 且 2c v a + b + c = 60 ,即 20 v c v 30。則ij 80 v c + 60 v 90 ,而 0 v c + 60 一 m v 60 + c + m。故在27種不同的寫成兩個正整數(shù)乘積的表現(xiàn)形式中，只有如下兩種分解方式符合題意：60 + c - m = 72160 + c - m = 80或60 + c + m = 100|60 + c + m = 90|c = 26|c = 25625兀 .“分別解得1 m = 14或|m = 5。于是或拈。參考文獻：吳其明 駱華希望杯數(shù)學能力培訓教程（初二）【M】 氣象出版社2008年