系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)與快速性分析和性能指標(biāo)

1、系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)與快速性分析和性能指標(biāo)3.1 系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)3.2 時(shí)間響應(yīng)和典型輸入信號(hào)3.3 一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.4 二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.5 高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.1 系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)一、時(shí)間響應(yīng)及其組成1、時(shí)間響應(yīng) 定義：在輸入作用下，系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）在時(shí)域的表現(xiàn)形式，在數(shù)學(xué)上，就是系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程在一定初始條件下的解。時(shí)間響應(yīng)能完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)歷程。 2、時(shí)域分析的目的 在時(shí)間域，研究在一定的輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡便 二、時(shí)域性能指標(biāo)1、系統(tǒng)的性能： 系統(tǒng)的響應(yīng)過程分為動(dòng)態(tài)過程和穩(wěn)

2、態(tài)過程 ，系統(tǒng)的性能就針對上述二過程，為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。 實(shí)際物理系統(tǒng)都存在慣性，輸出量的改變與系統(tǒng)所存儲(chǔ)的能量有關(guān)，系統(tǒng)所儲(chǔ)有能量的改變需要有一個(gè)過程。 2、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)： 延遲時(shí)間、上升時(shí)間、峰值時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量、振蕩次數(shù)。3、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)在輸入量或擾動(dòng)的作用下，經(jīng)歷過渡過程（時(shí)間趨于無窮）進(jìn)入靜態(tài)后，靜態(tài)下輸出量的要求值和實(shí)際值之間的誤差，記為： ，可量度系統(tǒng)的控制精度或抗干擾能力。三、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 研究線性系統(tǒng)在零初始條件和單位階躍信號(hào)輸入下的響應(yīng)過程曲線（以二階系統(tǒng)為例）。一般認(rèn)為，階躍輸入對系統(tǒng)而言是比較嚴(yán)峻的，若系統(tǒng)輸出在此狀態(tài)下都能令動(dòng)態(tài)性

3、能滿足要求，那其他輸入時(shí)，其動(dòng)態(tài)性能更為理想。延遲時(shí)間td ：響應(yīng)曲線首次達(dá)到靜態(tài)值的一半所需的時(shí)間，記為td;上升時(shí)間tr ：響應(yīng)曲線首次從靜態(tài)值的0過渡到100 （有振蕩時(shí)這么取，無振蕩時(shí)，靜態(tài)值的10過渡到90）所需的時(shí)間，記為tr；峰值時(shí)間tp ：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到峰值點(diǎn)的時(shí)間，記為tp；調(diào)節(jié)時(shí)間ts ：響應(yīng)曲線最后進(jìn)入偏離靜態(tài)值的誤差為5(或2)的范圍并且不再越出這個(gè)范圍的時(shí)間，記為ts；超調(diào)量 %：響應(yīng)曲線第一次越過靜態(tài)值達(dá)到峰值點(diǎn)時(shí)，越過部分的幅度與靜態(tài)值之比，記為。時(shí)間tr上 升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量% =AB100%調(diào)節(jié)時(shí)間ts上升時(shí)間tr調(diào)節(jié)時(shí)間 tstrtpAB%= 10

4、0%BAts系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性可歸結(jié)為： 1、響應(yīng)的快速性，由上升時(shí)間和峰值時(shí)間表示； 2、系統(tǒng)的平穩(wěn)性，或?qū)λ谕憫?yīng)的逼近性，由超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間表示。 由于這些性能指標(biāo)常常彼此矛盾，因此必須加以折衷處理。以二階系統(tǒng)為例，可知：值越大，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好；值越小，響應(yīng)的快速性越好，但輸出響應(yīng)振蕩越強(qiáng)。y(t)3.2 時(shí)間響應(yīng)和典型輸入信號(hào)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程（瞬態(tài)響應(yīng)）系統(tǒng)的響應(yīng)過程（時(shí)間響應(yīng)）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)過程（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、靜態(tài)過程）描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能（靜態(tài)性能）描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能穩(wěn)？ 不穩(wěn)？ 一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動(dòng)，擾動(dòng)通常是隨機(jī)的，即使控制輸入，有時(shí)其函數(shù)形式也不可能事先獲得。在時(shí)間

5、域進(jìn)行分析時(shí)，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號(hào)建立分析比較的基礎(chǔ)，通常規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)。這些信號(hào)稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)。這些都與輸入信號(hào)有關(guān) 盡管在時(shí)間系統(tǒng)中，輸入信號(hào)很少是典型信號(hào)，但由于系統(tǒng)對典型輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)和系統(tǒng)對任意輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)之間存在一定的關(guān)系，所以只有知道系統(tǒng)對典型輸入信號(hào)的響應(yīng)，再利用下式，即可求得系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)。Xi2(s)XO2(s)=G(s) =Xi1(s)XO1(s) 系統(tǒng)的輸入信號(hào)可分為確定性信號(hào)和非確定性信號(hào)。確定性信號(hào)是能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)的信號(hào)；非確定性信號(hào)又稱隨機(jī)信號(hào)，是無法用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式

6、表達(dá)的信號(hào)。 對于同一系統(tǒng)，無論采用哪種輸入信號(hào)，由時(shí)域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會(huì)改變。 對典型輸入信號(hào)的要求： 1、能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下；2、形式簡單，便于解析分析；3、實(shí)際中可以實(shí)現(xiàn)或近似實(shí)現(xiàn)。 典型輸入信號(hào)的選擇原則： 能反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實(shí)際情況。如：若實(shí)際系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)，則可選階躍信號(hào)；若實(shí)際系統(tǒng)的輸入隨時(shí)間逐漸變化，則可選速度信號(hào)；若輸入信號(hào)為沖擊輸入量，選用脈沖函數(shù)；若輸入信號(hào)為往復(fù)運(yùn)動(dòng)，則選用正弦函數(shù)。 輸入信號(hào)常用兩類：其一是系統(tǒng)正常工作時(shí)的輸入信號(hào)，然而使用這些信號(hào)未必能全面了解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；其二是外加測試信號(hào)，經(jīng)常采用的有脈沖函數(shù)、階躍

7、函數(shù)等。1、單位階躍函數(shù)1(t)tf(t)0其拉氏變換為：s1dte1)s(F)t(fL0st=-=0t00t1)t(1)t(f其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：t 2、單位斜坡函數(shù)0t0t0t)t(1t)t(f=.=其拉氏變換為：20sts1dtet)s(F)t(fL=-f(t)0 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 曲線如圖所示。當(dāng)A=1時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)。3、拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）4、單位脈沖函數(shù)000)()(=ttttfd 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其拉氏變換為：1)()(=sFtfL+-=1)(dttd定義： 圖中1代表了脈沖強(qiáng)度。單位脈沖作用在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，它是某些物理現(xiàn)象經(jīng)數(shù)學(xué)抽象化的結(jié)果。5、正

8、弦函數(shù)其拉氏變換為：220sin)()(sdte tsFtfLst+=-000sin)(=ttttf 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：f(t)常用的典型輸入信號(hào)Asint 正弦信號(hào) 1(t)，t=0 單位脈沖信號(hào) 單位加速度信號(hào) t， t0 單位速度(斜坡)信號(hào) 1(t)，t0 單位階躍信號(hào) 復(fù)數(shù)域表達(dá)式 時(shí)域表達(dá)式 名 稱 一、數(shù)學(xué)模型 可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，慣性環(huán)節(jié)（一階慣性環(huán)節(jié)）、積分環(huán)節(jié)都是一階系統(tǒng)，慣性環(huán)節(jié)是其典型。3.3 一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)慣性環(huán)節(jié)的慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：二、在不同輸入函數(shù)下的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)1、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t6

9、3.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T看書上不同時(shí)刻系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)： 響應(yīng)分為兩部分： 瞬態(tài)響應(yīng)：表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程（動(dòng)態(tài)過程、過渡過程） 。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1表示t時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。 xo(0) = 0，隨時(shí)間的推移， xo(t) 增大，且無振蕩。當(dāng)xo() = 1時(shí)，ess=0，即無穩(wěn)態(tài)誤差； xo(T) = 1 - e-1 ，即經(jīng)過時(shí)間T，系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到其穩(wěn)態(tài)輸出值的63.2%，從而可以通過實(shí)驗(yàn)測量慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T。 時(shí)間常數(shù)T 反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢，由一階系統(tǒng)的固有特性決定，與輸入輸出無關(guān)。通常工程中當(dāng)響應(yīng)曲線達(dá)到并保持在穩(wěn)

10、態(tài)值的95%98%時(shí)，可認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)過程基本結(jié)束，從而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時(shí)間為3T4T。T值越小，系統(tǒng)的慣性就越小，系統(tǒng)的響應(yīng)就越快，越容易改變系統(tǒng)的狀態(tài)。1. 平穩(wěn)性：2. 快速性ts：3. 準(zhǔn)確性 ess：非周期、無振蕩， 0 控制系統(tǒng)在穩(wěn)定前提下，要求：穩(wěn)、快、準(zhǔn)。問：已知系統(tǒng)是一個(gè)一階系統(tǒng)，怎么用實(shí)驗(yàn)法求系統(tǒng)的G(s)？ 2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)xo(t)1/T0t0.368 1T斜率xo(t)T一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)： 瞬態(tài)響應(yīng)：(1/T )e t /T ； 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0； xo(0)=1/T，隨時(shí)間的推移，xo(t)指數(shù)衰減； 對于實(shí)際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬度（脈沖寬度

11、小于T）和有限幅值的脈沖代替理想脈沖信號(hào)。 看書上不同時(shí)刻系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)3、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=T一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點(diǎn): 瞬態(tài)響應(yīng)： T e t /T ；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：t T。 經(jīng)過足夠長的時(shí)間（穩(wěn)態(tài)時(shí)，如t 4T），輸出增長速率近似與輸入相同，此時(shí)輸出為： t T，即輸出相對于輸入滯后時(shí)間T。 系統(tǒng)響應(yīng)誤差為： 注意到，對一階系統(tǒng)： 即：系統(tǒng)對輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。同樣可知，系統(tǒng)對輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。 這種輸入輸出間的積分微分性

12、質(zhì)對任何線性定常系統(tǒng)均成立。例：某溫度計(jì)插入溫度恒定的熱水后，其顯示溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律為 ，實(shí)驗(yàn)測得當(dāng)t=60s時(shí)溫度計(jì)讀數(shù)達(dá)到實(shí)際水溫的95%, 試確定該溫度計(jì)的傳遞函數(shù)。溫度計(jì)插入溫度恒定的熱水后，溫度計(jì)顯示溫度為階躍響應(yīng)過程。方法1：響應(yīng)為典型一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。解：將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)帶入計(jì)算得 方法2：例：原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ，現(xiàn)采用如題所示的負(fù)反饋方式，欲將反饋系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間減小為原來的倍，并且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)K0 ， KH的值。解：原系統(tǒng)傳遞函數(shù)新系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 據(jù)題意，列方程組：6、不同時(shí)間常數(shù)下的響應(yīng)情況 由上圖可知，T越大，慣性越大。一階系統(tǒng)的性能指標(biāo)：ts,它是一階

13、系統(tǒng)在階躍輸入作用下，達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的(1-)所需的時(shí)間(為容許誤差)。 =2%,ts=4T, =5%,ts=3T，調(diào)整時(shí)間ts反映系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，T越大，系統(tǒng)的慣性越大，調(diào)整時(shí)間越長，響應(yīng)越慢。3.4 二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng) 一般控制系統(tǒng)均系高階系統(tǒng)，但在一定準(zhǔn)確條件下，可忽略某些次要因素，近似地用一個(gè)二階系統(tǒng)來表示。一、二階系統(tǒng)函數(shù) 式中，T為時(shí)間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩周期； 為阻尼比；n1/T為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。二階系統(tǒng)的特征方程：極點(diǎn)（特征根）：特征根完全取決于 ，n兩個(gè)參數(shù)。 欠阻尼二階系統(tǒng)：0 1具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)： 無阻尼二階系統(tǒng)： 0具有一對共軛虛極點(diǎn)： 負(fù)阻尼二階系

14、統(tǒng)： 0極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 欠阻尼（01 c(t)t0nn (s2+2 s+n2)s1Xo(s)=2=nn (s+)2 1s2 過阻尼（1）狀態(tài) 特點(diǎn)：單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時(shí)間長；xo () = 1，無穩(wěn)態(tài)誤差。 負(fù)阻尼（0）狀態(tài) 0txo(t)-10t0 xo(t)-1 -10：輸出表達(dá)式與欠阻尼狀態(tài)相同。 -1：輸出表達(dá)式與過阻尼狀態(tài)相同。 特點(diǎn)：振蕩發(fā)散 特點(diǎn)：單調(diào)發(fā)散 幾點(diǎn)結(jié)論： 二階系統(tǒng)的阻尼比 決定了其振蕩特性： 0 時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 1 時(shí)，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；01時(shí)，有振蕩， 愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快

15、； = 0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩。 工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，其他儀器通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時(shí)又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。 一定時(shí)，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，即系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。 若給定系統(tǒng)設(shè)計(jì)性能，比較一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)，通常選二階系統(tǒng)，因其更易得到較短的過渡時(shí)間，且二階系統(tǒng)的振蕩性能也通常能滿足要求。 C(s)s2+s+44R(s)=例：已知二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：得：2 = 4n 2n =1sin(1.9t+75o)將參數(shù)代入公式:c(t)=1-t+)ent-21-

16、dsin(=75o-1=tg 21- =1.9d = n2 1- =2n 三、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 欠阻尼0 1：四、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)為單位斜坡信號(hào)時(shí) 臨界阻尼 欠阻尼 過阻尼例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)解：1）單位階躍輸入時(shí) 從而： 2）單位脈沖輸入時(shí)，由于因此：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。五、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo) 控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo) 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)的定量指標(biāo)，是定量分析的基礎(chǔ)。 系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行定義。常見的性能指標(biāo)有：上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)整時(shí)間ts、最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)N。 由單位階躍響應(yīng)求二階系統(tǒng)的性

17、能指標(biāo)的原因：1、階躍輸入較容易產(chǎn)生，從單位階躍響應(yīng)求其它種類的響應(yīng)比較容易；2、單位階躍輸入使系統(tǒng)工作在最不利狀態(tài)下；3、在實(shí)際中，許多輸入類似于階躍輸入。 評(píng)價(jià)系統(tǒng)快速性的性能指標(biāo) 上升時(shí)間tr響應(yīng)曲線從零時(shí)刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間。對無超調(diào)系統(tǒng)，上升時(shí)間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。 峰值時(shí)間tp響應(yīng)曲線從零上升到第一個(gè)峰值所需時(shí)間。 調(diào)整時(shí)間ts響應(yīng)曲線由零時(shí)刻到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時(shí)間。 最大超調(diào)量Mp響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差再除以穩(wěn)態(tài)值。通常用百分?jǐn)?shù)表示： 若xo(tp) xo()，則響應(yīng)無超調(diào)。 振蕩次數(shù)N在調(diào)

18、整時(shí)間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。實(shí)測時(shí)，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計(jì)數(shù)。 評(píng)價(jià)系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標(biāo) 欠阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo) 上升時(shí)間tr根據(jù)上升時(shí)間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：從而：即：顯然， 一定時(shí)，n越大，tr越??；n一定時(shí)， 越大，tr 越大。 峰值時(shí)間tp，并將t = tp代入可得： 令即： 根據(jù)tp的定義解上方程可得： 可見，峰值時(shí)間等于阻尼振蕩周期Td2/d的一半。且一定，n越大，tp越??；n一定， 越大，tp 越大。 最大超調(diào)量 Mp 顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng) 時(shí)，可以求得相應(yīng)的 Mp = 25.4%1.5%。0