2021-2022學(xué)年遼寧省五校聯(lián)考高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年遼寧省五校聯(lián)考高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)位于第（）象限.A一B二C三D四B【分析】利用角的范圍，得出三角函數(shù)值的正負(fù)，判斷出點(diǎn)所在的象限【詳解】，則點(diǎn)位于第二象限，故選：B2復(fù)數(shù)，則（）ABCDA【分析】化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的模長公式即可得出答案.【詳解】,所以.故選：A.3已知非零平面向量、，“”是“”的（）條件.A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要C【分析】對于平面向量垂直的數(shù)量積表示判斷可得出結(jié)論.【詳解】對于非零平面向量、，.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.4我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在大衍歷中建立了

2、晷影長l與太陽天頂距（）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次的天頂距分別為和，若第一次“晷影長”是“表高”的3倍，且，則第二次“晷影長”是“表高”的（）倍ABCDB【分析】由題意可得，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正切公式即可得解.【詳解】由題意可得，所以，即第二次的“晷影長”是“表高”的倍.故選：B5甲烷的分子結(jié)構(gòu)中，相鄰碳?xì)滏I的夾角都相等，設(shè)這個角為，則（）A0BCDC【分析】依題意構(gòu)造正四面體模型，將其補(bǔ)成正方體，設(shè)出棱長，利用余弦定理即可求得答案.【詳解】由題意甲烷的分子結(jié)構(gòu)中，

3、C原子和四個H原子構(gòu)成了一個正四面體，其中C原子位于正四面體的外接球球心O位置，四個H原子位于頂點(diǎn)，將該正四面體補(bǔ)成正方體，如圖示：正四面體的四個頂點(diǎn)為H原子位置，設(shè)正方體棱長為2，則正四面體棱長為 , ,故 ，即甲烷的分子結(jié)構(gòu)中，相鄰碳?xì)滏I的夾角都相等，設(shè)這個角為，則，故選：C6空間中，對于平面和直線abc，下列說法正確的是（）A，則a與b不可能平行B，則C，則a與b一定是異面直線D，則D【分析】根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理，對各選項逐一分析即可得答案.【詳解】解：對A：，若，則，故選項A錯誤；對B：，則或，故選項B錯誤；對C：，則a與b是異面直線或平行直線，故選項C錯誤；對D：，則由

4、線面平行的判定與性質(zhì)定理可得，故選項D正確.故選：D.7邊長為3的等邊三角形中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，DE將的面積分為相等的兩部分，若，此時（）ABC2DB【分析】由題意，進(jìn)而可得，從而在中，利用余弦定理即可求解的長.【詳解】解：因為等邊三角形的邊長為3，所以，因為DE將的面積分為相等的兩部分，所以，解得，在中，由余弦定理可得，所以，故選：B.8在直角中，D為AB的中點(diǎn)，E在邊AB上，且滿足：，則的最大值是（）ABCDA【分析】以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，由得，對化簡得，根據(jù)求解即可.【詳解】以D為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，則，設(shè)其中，所以，由題知，所以，所以，其中，所以當(dāng)時，取得最大值.故選：

5、A.二、多選題9函數(shù)定義域為，且在上是增函數(shù)，則（）Am不存在最小值Bm的最大值是C恒成立D恒成立AC【分析】將化為，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，求得m的范圍，可判斷A,B;由m的范圍確定，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可判斷C,D.【詳解】由題意，由于函數(shù)定義域為，且在上是增函數(shù)，故，則，故，故A正確，B錯誤；由題意可得，由可知，故恒成立，故C正確，D錯誤，故選：AC10如圖，正四棱柱，E為BC中點(diǎn)，則（）AEF和是異面直線B到平面AEF的距離小于到平面AEF的距離CAEF截正四棱柱的截面圖形是四邊形DAEF截正四棱柱的截面圖形是五邊形ABD【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷A;作輔助線，利用點(diǎn)到平面的距離的概

6、念判斷B;作出平面AEF截正四棱柱的截面圖形即可判斷C,D.【詳解】如圖，連接,設(shè)M為AD中點(diǎn)，N為上的點(diǎn)，且,連接ME,NF,則 故 ，則四邊形MEFN為平行四邊形，故,由于M為AD中點(diǎn)，故必相交不平行，即必不平行，而EF和分別在兩平行的平面和平面內(nèi)，EF和必?zé)o公共點(diǎn)，則EF和一定異面，故A正確；設(shè)K為的中點(diǎn)，連接,則 ,則到平面AEF的距離相等，如圖，顯然K到平面AEF的距離小于到平面AEF的距離，即到平面AEF的距離小于到平面AEF的距離，故B正確；連接AE并延長交DC的延長線與于T，延長到P，使得,則，由于M為AD中點(diǎn)，連接AP故，即,設(shè)AP交 于H，連接TP,交于G，F(xiàn)連接 ,即得平

7、面AEF截正四棱柱的截面圖形是五邊形AEFGH故C錯誤，D正確，故選：ABD11下列關(guān)于平面向量的說法錯誤的是（）A，且，則與一定共線B，且，則C，且，則D，且，則BC【分析】利用共線向量的定義可判斷AD選項；利用向量垂直關(guān)系的數(shù)量積表示可判斷BC選項.【詳解】對于A選項，若、中至少有一個零向量時，若、均為非零向量，當(dāng)時，則，則，可得，此時，若與不垂直，設(shè)，則，可設(shè)，由可得，可得，此時，綜上所述，A對；對于B選項，因為，則，則或當(dāng)時，B錯；對于C選項，由已知、均為非零向量，不妨取，則，此時，C錯；對于D選項，因為，且，則，D對.故選：BC.12下列等式正確的是（）ABCDACD【分析】利用二倍

8、角的正弦公式判斷A；特殊角判斷B；利用二倍角的余弦公式判斷C；利用兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式可判斷D.【詳解】對于A，所以A正確；對于B，所以B不正確；對于C，所以C正確；對于D，所以D正確.故選：ACD.三、填空題13的最小正周期為_.【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期為.故答案為.14，則實數(shù)abc的大小關(guān)系是_（用“”表示）【分析】令，求導(dǎo)得出單調(diào)性可知，所以，又因為，即可得出答案.【詳解】令，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，所以，所以，又因為，即.故15復(fù)數(shù)z滿足：，則的最小值為_.【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，在以為圓

9、心，1為半徑的圓上，從而即可求解.【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)z滿足，可得，即在以為圓心，1為半徑的圓上，所以到原點(diǎn)的距離的最小值為，即的最小值為，故答案為.16正三棱臺，DEF為棱中點(diǎn)，平面ABD平面BCE平面ACF交于點(diǎn)O，則_.（注：V代表幾何體體積）【分析】設(shè)，易得，再根據(jù)立體幾何中的比例關(guān)系，結(jié)合向量的方法求得到平面的距離與正三棱臺高的比值，進(jìn)而由體積公式確定比例即可【詳解】設(shè)，易得，連接，由等腰梯形的中位線性質(zhì)可得，又，故，同理. 取中點(diǎn)，連接，易得為等腰三角形，且共線.故，根據(jù)三點(diǎn)共線滿足的性質(zhì)有，又，設(shè)，則，解得.設(shè)正三棱臺的高為，則到平面的距離為，則到平面的距離為.設(shè)，則，故故

10、四、解答題17已知，回答下列問題：(1)求；(2)求.(1)(2)【分析】(1)利用倍角公式展開，再轉(zhuǎn)化為齊次式，把弦化切.(2)通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出 ，再利用兩角和公式.【詳解】(1)(2)又 18如圖，已知正四棱錐，E為側(cè)棱MD中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCD的中心.(1)求證：平面MBC；(2)計算四面體的體積.(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接BD，證明，根據(jù)線面平行的判定定理可證明結(jié)論；（2）求出棱錐的高，利用等體積法即可求得答案.【詳解】(1)連接BD，因為F為底面ABCD的中心，則F為BD中點(diǎn)，因為E為側(cè)棱MD中點(diǎn)，故 , 平面MBC, 平面MBC,故平面MBC；(2)連接M

11、F，則MF為四棱錐的高，由題意知,則,由于E為側(cè)棱MD中點(diǎn)，所以M,D到平面AEC的距離相等，則,由E為側(cè)棱MD中點(diǎn)，則E到平面ADC的距離為M到平面ADC的距離的一半，故,而，故，即四面體的體積為.19如圖，在已知圓周上有四點(diǎn)、，.(1)求的長以及四邊形的面積；(2)設(shè)，求的值.(1)，(2)【分析】（1）利用余弦定理求出、的長，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角形的面積公式可求得四邊形的面積；（2）利用余弦定理求出、的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式以及兩角和的正弦公式化簡可得結(jié)果.【詳解】(1)解：由余弦定理可得，整理可得，因為，解得.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，所以，由余弦定

12、理可得，整理可得，解得，因為，所以，.(2)解：由余弦定理可得，則為銳角，為鈍角，所以，則，因此，.20在中，.(1)求；(2)D在邊BC上，求面積的最大值.(1)；(2).【分析】（1）將已知條件兩邊平方得到，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求得，進(jìn)而可求.（2）由，根據(jù)已知模長及向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合基本不等式求得，進(jìn)而求面積最大值，注意等號(最大值)成立條件.【詳解】(1)由題設(shè)，所以，又，故，所以，故.(2)，所以，則，故，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故面積的最大值為.21如圖所示，已知斜三棱柱，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，.(1)求證：平面；(2)求四面體外接球的表

13、面積.(1)證明見解析；(2).【分析】（1）證明和，原題即得證；（2）如圖所示，設(shè)是中點(diǎn)，連接,設(shè)四面體外接球的球心為,連接,過作連接.求出四面體外接球的半徑即得解.【詳解】(1)證明：由于側(cè)面為菱形，所以.因為點(diǎn)在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，所以平面，而BC在平面ABC內(nèi)，所以.因為.又因為平面，所以平面，而AC1在平面ACC1A1中，所以.又因為平面，所以平面.(2)解：如圖所示，設(shè)是中點(diǎn)，連接,設(shè)四面體外接球的球心為,連接,過作連接.因為因為所以四面體是一個正三棱錐，所以在底面上的射影是的重心，所以.由題得四邊形是矩形，所以,所以.所以四面體外接球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.22函數(shù)（1