高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)教學(xué)提綱

1、14.導(dǎo)數(shù)知識(shí)要點(diǎn)1.導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義：設(shè)1.導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義：設(shè)X0是函數(shù)y f(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變量X在X0處 有增量 x ,則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量 y f(x0 x) f(x0);比值y f(x0 x) f(x0)稱為函數(shù) y f (x)在點(diǎn)x0到x0 x之間的平均變化率；如果極限 TOC o 1-5 h z xxlim lim Bx) f(x0)存在,則稱函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做 x 0 x x 0 xy f (x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f (x0)或y |x比，即f (x0)= lim lim f0 x)-f (x0).x 0 x

2、 x 0 x注： x是增量，我們也稱為 改變量”，因?yàn)閤可正，可負(fù)，但不為零.以知函數(shù)y f(x)定義域?yàn)锳 , y f(x)的定義域?yàn)锽 ,則A與B關(guān)系為A B.函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù)與點(diǎn)x0處可導(dǎo)的關(guān)系:函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是y f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的必要不充分條件可以證明，如果 y f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么y f(x)點(diǎn)x0處連續(xù).事實(shí)上，令x x0 x,則xx0相當(dāng)于 x 0.于是 lim f (x) lim f(x0 x) lim f (x x0) f(x0) f (x0)x %x 0 x 0f(x0 x) f(x0)lim Jf(x0 x) f(x0)l

3、im J x f(x。)x 0 x如果y f(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么ylxm0f(x0 x)f(x。)lim lim f(x0)xx 0 x 0f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是不成立的f (x0) 0 f(x。)f(x0).例:f (x) |x|在點(diǎn)x0 0處連續(xù)，但在點(diǎn)x0 0處不可導(dǎo)，因?yàn)?y Jx-| ,當(dāng)x0時(shí),x x例:1 ;當(dāng) x 0,則y f(x)為增函數(shù)；如果f(x) 0,則y f(x)為減函數(shù).常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f (x)=0,則y f(x)為常數(shù).注：f (x) 0是f (x)遞增的充分條件，但不是必要條件，如 y 2x3在(，)上并不是都有f

4、(x) 0 ,有一個(gè)點(diǎn)例外即 x=0時(shí)f (x) = 0,同樣f (x) 0是f (x)遞減的充分非必 要條件.一般地，如果f (x)在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正(或負(fù))，那么 f (x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的 .極值的判別方法：(極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f (x) 0,右側(cè)f(x) 0,那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f(x) 0,那么f(x0)是極小值.也就是說X0是極值點(diǎn)的充分條件是X0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是f(x)=0.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值

5、小(函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同)注： 若點(diǎn)X0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f (x) =0.但反過來不一定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)X0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零例如：函數(shù)y f (x) x3 , X 0使f (x)=0,但X 0不是極值點(diǎn).例如：函數(shù)y f (x) |x|,在點(diǎn)x 0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x 0是函數(shù)的極小值點(diǎn).極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn) 行比較.注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I.C(c為常數(shù))(sin x)cosx,.、,1(arcsin x) ,1 x2(xn)n 1 /nx ( I.C(

6、c為常數(shù))(sin x)cosx,.、,1(arcsin x) ,1 x2(xn)n 1 /nx ( nR)(cos x)sin x11(arccos x) ,1 x2II. (ln x)(10g a X)1一 loga e X,、1(arctan x) xX(e )(ax) ax ln a(arc cot x)1X2 1III.求導(dǎo)的常見方法:常用結(jié)論：(ln|x|)形如y (x a1 )(xa2)(x形如y (x a1 )(xa2)(xan)或 y(x a1)(x a2)(xan)(x b1)(x b2)(x bn)兩邊同取自然對(duì)數(shù)，可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.無理函數(shù)或形如Xx這類函數(shù)，如Xx無

7、理函數(shù)或形如Xx這類函數(shù)，如Xx取自然對(duì)數(shù)之后可變形為ln y xlnx,對(duì)兩邊求導(dǎo)可得ln xyy yln XXy y x ln x x .導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)復(fù)習(xí)經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一：求導(dǎo)公式。例 1. 例 1. f (X)是 f (X)2x 1的導(dǎo)函數(shù)，則f ( 1)的值是考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。1 一例2.已知函數(shù)y f (x)的圖象在點(diǎn)M (1, f(1)處的切線萬程是y x 2,則 f(1) f (1) 。例3.曲線y x3 2x2 4x 2在點(diǎn)(1, 3)處的切線方程是。點(diǎn)評(píng)：以上兩小題均是對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查?？键c(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。例4.已知曲線 C： y x3 3x2 2x

8、 ,直線l : y kx ,且直線l與曲線 C相切于點(diǎn) x0, y0 x00 ,求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)。點(diǎn)評(píng)：本小題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用。解決此類問題時(shí)應(yīng)注意 切點(diǎn)既在曲線上又在切線上”這個(gè)條件的應(yīng)用。函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是相應(yīng)曲線上過該點(diǎn)存在切線的充分條件，而不是必要條件。考點(diǎn)四：函數(shù)的單調(diào)性。例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是減函數(shù)，求 a的取值范點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用。對(duì)于高次函數(shù)單調(diào)性問題，要有求導(dǎo)意識(shí)。考點(diǎn)五：函數(shù)的極值。例6.設(shè)函數(shù)f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2時(shí)取得極值。(1)求a、b的值；(2)若對(duì)于任意的x 0,3,都有f

9、(x) c2成立，求c的取值范圍。點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。求可導(dǎo)函數(shù)f x的極值步驟：求導(dǎo)數(shù)f x ；求f x 0的根；將f x 0的根在數(shù)軸上標(biāo)出，得出單調(diào)區(qū)間，由 f x在各區(qū)間上取值的正負(fù)可確定并求出函數(shù)f x的極值?？键c(diǎn)六：函數(shù)的最值。例 7. 已知 a 為實(shí)數(shù)，f xx2 4 x a 。 求導(dǎo)數(shù) f x ； ( 2) 若 f 10 ， 求 f x在區(qū)間2,2 上的最大值和最小值。點(diǎn)評(píng)： 本題考查可導(dǎo)函數(shù)最值的求法。求可導(dǎo)函數(shù)f x 在區(qū)間 a, b 上的最值，要先求出函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上的極值，然后與 f a 和 f b 進(jìn)行比較，從而得出函數(shù)的最大最小值。考點(diǎn)七：導(dǎo)數(shù)的綜合性問題。例8.設(shè)函數(shù)f(x) ax3 bx c (a 0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1, f