大一課程課件幾何與代數(shù)-1

1、1.4 線性方程組的求解 本節(jié)先將二階、三階線性方程組的Cramer法則推廣到n階線性方程組；然后介紹求解一般線性方程組的Gauss消元法及相應(yīng)的初等行變換。 非齊次與齊次線性方程組設(shè)含n個(gè)變量、由n個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組則稱此方程組為非 齊次線性方程組;此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組. 注：齊次線性方程組，主要關(guān)注它是否有非零解，如何求出全部非零解；非齊次線性方程組，則是它何時(shí)有解，如何求解。一、 Cramer法則1. 定理1.2：如果由含n個(gè)變量、n個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即則線性方程組(1)有唯一解其中Dj是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的

2、n階行列式，即證明: 先證明(2)是(1)的解；再證明解唯一。 將行列式Dj按第j列展開： 將 代入(1)的第i個(gè)方程左邊，得 將 代入(1)的第i個(gè)方程左邊，得代入Dj提出bj展開定理所以(2)滿足(1)的每個(gè)方程，是(1)的解。 對(duì)(1)的任意一組解 用D中第j列元素的代數(shù)余子式 ，依次乘方程組(1)的n個(gè)方程，得 是解將n個(gè)方程依次相加，并提出 ，得根據(jù)展開定理及其推論，得即方程組(1)的任意一組解均可唯一表示為： 解唯一例1. 用Cramer法則解線性方程組解:2. 推論1.4：如果齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式為零。 說明(1). Cramer法則要求線性方程組滿足2個(gè)條件，

3、一是方程個(gè)數(shù)等于變量個(gè)數(shù)；二是系數(shù)行列式非零。 說明(2). Cramer法則可以應(yīng)用求解齊次線性方程組。（用反證法證明） 說明(3). 推論1.4的等價(jià)命題：如果齊次線性方程組(3)的系數(shù)行列式非零，則方程組只有唯一零解。 說明(4). 可以證明，推論1.4的逆命題也成立，即如果系數(shù)行列式為零，則方程組(3)有非零解。例2. 參數(shù)取何值時(shí)，齊次方程組有非零解？解：首先計(jì)算方程組的系數(shù)行列式根據(jù)說明(4)， D = 0時(shí)，齊次方程組有非零解。所以 或 時(shí)齊次方程組有非零解. 注1：Cramer法則建立了線性方程組的解和它的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。對(duì)于階數(shù)較大的線性方程組，它需要很大的計(jì)算量，故

4、Cramer法則主要用于理論推導(dǎo)。 注2：Cramer法則用于求解滿足 (1) 方程數(shù) = 變量數(shù) (2) 系數(shù)行列式非零的線性方程組。如果上面有一個(gè)條件不能滿足，就無法使用，對(duì)于一般的線性方程組問題，需要尋找新的求解方法。二、Gauss消元法由n個(gè)變量、m個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組 線性方程組(4)如果有解，稱為是相容的；如果沒有解，稱為是不相容的。 線性方程組所有解構(gòu)成的集合稱為方程組的解集合；具有相同解集合的方程組稱為是同解的。 消元法引例例3. 求解線性方程組解：消元過程得到階梯形方程組，再回代求解，得方法小結(jié)： 1. 上述解方程組的方法稱為Gauss消元法，該方法理論上可以求任意線性方程

5、組的解； 2. 對(duì)線性方程組進(jìn)行的消元過程，用到如下三種變換：（1）交換方程次序；（2）以非零數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上。（與相互替換）（以替換）（以替換）3. 上述三種變換都是可逆的。 對(duì)線性方程組進(jìn)行的這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。 由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的，故這三種變換是同解變換。 在用Gauss消元法求解線性方程組的過程中，參與運(yùn)算的只是方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。 為了更好地描述線性方程組的求解過程，需要引入新的工具。三、矩陣及其初等行變換1. 矩陣定義 由 個(gè)數(shù)排成的 行 列的數(shù)表稱為mn 階矩陣，其中aij 稱為

6、矩陣的元素。矩陣用大寫字母表示：實(shí)矩陣與復(fù)矩陣 行數(shù)與列數(shù)都等于n 的矩陣，稱為n 階方陣或n 階矩陣；2. 特殊矩陣 只有一行的矩陣稱為行矩陣或行向量；只有一列的矩陣稱為列矩陣或列向量；例如是一個(gè)3 階方陣。n維行矩陣n維列矩陣11階矩陣 具有相同行數(shù)、列數(shù)的矩陣稱為同型矩陣；如果兩個(gè)矩陣是同型的，并且對(duì)應(yīng)位置的元素也相同，則稱它們是相等的。3. 矩陣相等4. 線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣由n個(gè)變量、m個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組 系數(shù)矩陣增廣（系數(shù)）矩陣 說明：Gauss消元法實(shí)際上只需要方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)參與運(yùn)算，即通過對(duì)增廣矩陣的操作就可以求解。類似方程組的初等變換，定義矩陣的初等行變換

7、。 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:5. 矩陣的初等行變換（1）交換矩陣兩行（交換i, j兩行，記為rirj）；（2）用非零數(shù)乘矩陣某行（k乘i行，記為kri）；（3）矩陣某行乘以常數(shù)，再加到另一行（k乘j行后加到i行，記為ri + krj）。 注：利用矩陣的初等行變換，Gauss消元法的求解過程，可以通過對(duì)增廣矩陣的初等行變換進(jìn)行。6. 階梯形矩陣和簡(jiǎn)化階梯形矩陣 滿足下列條件的矩陣A稱為階梯形矩陣 （1）若A有零行(元素全為零的行)，則零行位于最下方; （2）非零行的非零首元 (自左至右第一個(gè)不為零的元，稱為主元) 列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增。1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0

8、2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,階梯形矩陣 滿足以下條件的階梯矩陣稱為簡(jiǎn)化階梯形矩陣 （1）A的每個(gè)非零首元均為1; （2）非零首元所在列其余元素均為0。1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0簡(jiǎn)化階梯形矩陣 說明：對(duì)階梯形矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行初等行變換（相當(dāng)于Gauss消元法的回代過程），最終階梯形矩陣化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣。例4. 用Gauss消元法求解方程組（教材P33例1.22）例5. 討論方程組解的情況 （教材P34例1.23）線性方程組Ax = b增廣矩陣A, b階梯形方程組A1x = b1階梯形

9、增廣陣A1, b1簡(jiǎn)化階梯形A2, b2解的方程形式A2x = b2 對(duì)應(yīng) 初等變換消元 初等行變換 回代求解 初等行變換 注：Gauss消元法的求解過程，與增廣矩陣的初等行變換，是完全對(duì)應(yīng)的。 注：對(duì)增廣矩陣的每一次初等行變換，都等于對(duì)方程組的一次初等變換，不改變方程組的解；當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過連續(xù)的初等行變換，化為階梯形矩陣時(shí)，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 主元 自由變量 階梯形線性方程組三種基本類型 階梯形方程組（A階梯數(shù)r1，A, b階梯數(shù)r2）2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0 = 0無解 唯一解 無窮多解 2 3 4 1 0 2 1 20 0 0 12 1 2 8 0 2 1 10 0 1 51 2 1 1 2 0 0 1 4 30 0 0 0 0解的數(shù)目 Ax = bAx = bA, bA, br2 = r1+1 r2 = r1 = n r2 = r1 n 四、齊次線性方程組有非零解充分條件1. 定理