2020年高考理科數(shù)學(xué)解三角形題型歸納及訓(xùn)練

1、* MERGEFORMAT. z.2020年高考理科數(shù)學(xué)解三角形題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一正弦定理、余弦定理的直接應(yīng)用例1 QUOTE QUOTE 的角，的對邊分別為， QUOTE QUOTE (1)求(2)假設(shè)，面積為2，求【答案】12【解析】由題設(shè)及得，故上式兩邊平方，整理得，解得舍去，.2由得，故又，則由余弦定理及得所以【易錯點(diǎn)】二倍角公式的應(yīng)用不熟練，正余弦定理不確定何時運(yùn)用【思維點(diǎn)撥】利用正弦定理列出等式直接求出例2 的角的對邊分別為,假設(shè),則.【答案】【解析】.【易錯點(diǎn)】不會把邊角互換，尤其三角恒等變化時，注意符號?！舅季S點(diǎn)撥】邊角互換時，一般遵循求角時，把邊換成角；求邊時，

2、把角轉(zhuǎn)換成邊。例3在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，假設(shè)b1，ceq r(3)，Ceq f(2,3)，則SABC_.【答案】eq f(r(3),4)【解析】因?yàn)閏b，所以BC，所以由正弦定理得eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，即eq f(1,sin B)eq f(r(3),sinf(2,3)2，即sin Beq f(1,2)，所以Beq f(,6)，所以Aeq f(,6)eq f(2,3)eq f(,6).所以SABCeq f(1,2)bc sin Aeq f(1,2)eq r(3)eq f(1,2)eq f(r(3),4).【易錯點(diǎn)】大邊對大角，應(yīng)注意角的取

3、值圍【思維點(diǎn)撥】求面積選取公式時注意，一般選取角的公式，然后再求取邊長。題型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀例1在中，角的對邊分別為，且成等差數(shù)列(1)假設(shè)，求的面積(2)假設(shè)成等比數(shù)列，試判斷的形狀【答案】(1) (2)等邊三角形【解析】(1)由A，B，C成等差數(shù)列，有2BAC(1)因?yàn)锳，B，C為ABC的角，所以ABC(2)得B，b2a2c22accosB(3)所以解得或(舍去)所以(2)由a，b，c成等比數(shù)列，有b2ac(4)由余弦定理及(3)，可得b2a2c22accosBa2c2ac再由(4)，得a2c2acac，即(ac)20。因此ac從而AC(5)由(2)(3)(5)，得

4、ABC所以ABC為等邊三角形【易錯點(diǎn)】等差數(shù)列，等比數(shù)列容易混淆【思維點(diǎn)撥】在三角形中，三邊和三角都是實(shí)數(shù)，三個數(shù)很容易聯(lián)想到數(shù)列的三項(xiàng)，所以，三角函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合也是較為常見的問題，解答中注意幾個常見結(jié)論，此類問題就不難解答了.例2在ABC中，試判斷ABC的形狀?！敬鸢浮康冗吶切巍窘馕觥浚?，所以，所以，即，因而；由得。所以，ABC為等邊三角形?！疽族e點(diǎn)】條件的轉(zhuǎn)化運(yùn)用【思維點(diǎn)撥】判定三角形形狀時，一般考慮兩個方向進(jìn)展變形：1一個方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正、余弦定理結(jié)合使用；2另一個方向是角，走三角變形之路.通常是運(yùn)用正弦定理題型三與三角形中有關(guān)的不等式問題例1ABC的角A，B，C

5、的對邊分別為a，b，c，ABC的面積為.1求;2假設(shè)6cos Bcos C=1，a=3，求ABC的周長.【答案】1；2【解析】【易錯點(diǎn)】不會利用將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系【思維點(diǎn)撥】在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值圍或者一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出圍，或利用余弦定理以及根本不等式求圍；求具體的

6、值直接利用余弦定理和給定條件即可.例2a,b,c分別為ABC三個角A,B,C的對邊,.(1)求A的大小；(2)假設(shè)a7,求ABC的周長的取值圍【答案】(1) (2)(14,21【解析】(1)由正弦定理得：；(2)由：,由余弦定理當(dāng)且僅當(dāng)bc7時等號成立,又bc7,7bc14,從而ABC的周長的取值圍是(14,21【易錯點(diǎn)】求周長圍的問題，應(yīng)先用余弦定理列出等式，再根據(jù)根本不等式求出所求問題.【思維點(diǎn)撥】周長問題也可看做是邊長問題的延伸,所以在解決周長相關(guān)問題時,著眼于邊長之間的關(guān)系,結(jié)合邊長求最值(圍)的解決方式,通常都能找到正確的解題途徑.例3ABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2c

7、-a=2bcos A.(1)求角B的大小;(2)假設(shè)b=2 QUOTE ,求a+c的最大值.【答案】(1)B=24 QUOTE 【解析】:(1)2c-a=2bcos A,根據(jù)正弦定理,得2sin C-sin A=2sin Bcos A.A+B=-C,sin C=sin(A+B)=sin Bcos A+cos Bsin A,代入式,得2sin Bcos A=2sin Bcos A+2cos Bsin A-sin A,化簡得(2cos B-1)sin A=0.A是三角形的角,sin A0,2cos B-1=0,解得cos B= QUOTE ,B(0,),B=.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2a

8、ccos B,得12=a2+c2-ac.(a+c)2-3ac=12,12(a+c)2- QUOTE (a+c)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2 QUOTE 時取等號,a+c4 QUOTE 【易錯點(diǎn)】涉及到最值問題時,常利用根本不等式或表示為三角形的*一角的三角函數(shù)形式求解.(1)根據(jù)正弦定理與兩角和的正弦公式,化簡條件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,結(jié)合sin A0得到cos B,從而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用根本不等式求最大值.【思維點(diǎn)撥】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在三角形局部元素的情況下求解其余元素,根本思想是方程思想,即根據(jù)正弦定理、余弦定理

9、列出關(guān)于未知元素的方程,通過解方程求得未知元素;正弦定理、余弦定理的另一個作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化,解題時可以把條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系,也可以把條件化為三角形邊的關(guān)系;涉及到最值問題時,常利用根本不等式或表示為三角形的*一角的三角函數(shù)形式求解.題型四解三角形的實(shí)際應(yīng)用例1在*次測量中，在A處測得同一平面方向的B點(diǎn)的仰角是50，且到A的距離為2，C點(diǎn)的俯角為70，且到A的距離為3，則B、C間的距離為()A.eq r(16) B.eq r(17) C.eq r(18) D.eq r(19)【答案】 D【解析】因BAC120，AB2，AC3.BC2AB2AC22ABAC cos BAC492

10、23cos 12019.BCeq r(19).【易錯點(diǎn)】沒有正確理解題意，不能將應(yīng)用轉(zhuǎn)化為可計算的三角模型【思維點(diǎn)撥】正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題以及幾何計算的實(shí)際問題，常與三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題例2設(shè)甲、乙兩樓相距，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?，則甲、乙兩樓的高分別是.A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)甲樓為，乙樓為，如圖，在，在中，設(shè)，由余弦定理得：，即，解得，則甲、乙兩樓的高分別是，【易錯點(diǎn)】沒有正確理解題意，不能將應(yīng)用轉(zhuǎn)化為可計算的三角模型【思維點(diǎn)撥】正弦定理、余

11、弦定理及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題以及幾何計算的實(shí)際問題，常與三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題【穩(wěn)固訓(xùn)練】題型一正弦定理、余弦定理的直接應(yīng)用1.在ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，a=2， 2sinA=sinC=時，求b及c的長【答案】b=或2；?！窘馕觥慨?dāng)a=2，2sinA=sinC時，由正弦定理，得c=4由sinC=，及0C得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以或2.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. b+c=2a cos B.I證明：A=2B

12、；II假設(shè)ABC的面積，求角A的大小.【答案】1略2或【解析】I由正弦定理得故于是，又,故所以或因此舍去或所以，II由得，故有，因?yàn)椋糜?，所以?dāng)時，；當(dāng)時，綜上，或3.的角A，B，C的對邊分別為a，b，c， = 1 * ROMAN I求C； = 2 * ROMAN II假設(shè)的面積為，求的周長【答案】 = 1 * ROMAN I；II【解析】I由及正弦定理得，故可得，所以(II)由，.又，所以.由及余弦定理得，.故，從而.所以的周長為題型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀1.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，假設(shè)cacosB(2ab)cos A，則ABC的形狀為()A等腰

13、三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【答案】D【解析】因?yàn)閏acosB(2ab)cos A，C(AB)，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos AsinBcos A，所以sin Acos Bcos Asin Bsin AcosB2sin Acos AsinBcos A，所以cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A，所以Aeq f(,2)或BA或BA(舍去)，所以ABC為等腰或直角三角形2.在ABC中,假設(shè)sin A=2cos Bsin C,則ABC的形狀是.【答案】等腰三角形【解析】由等式得a=2eq f(c2

14、a2b2,2ac)c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故ABC為等腰三角形.3. ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，假設(shè)eq f(c,b)cos A，則ABC為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形【答案】A【解析】依題意，得eq f(sin C,sin B)cos A，sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有cos B0，B為鈍角，ABC是鈍角三角形，選A.題型三與三角形有關(guān)的不等式問題1.在

15、ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2Bcos B1cos A cos C.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)假設(shè)b2，求ABC的面積的最大值【答案】1略2eq r(3).【解析】(1)證明：在ABC中，cos Bcos(AC)由，得(1sin2B)cos(AC)1cos A cos C，sin2B(cos A cos Csin A sin C)cos A cos C，化簡，得sin2Bsin A sin C. 由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比數(shù)列(2)由(1)及題設(shè)條件，得ac4.則cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(a2c2ac,2ac)eq

16、 f(2acac,2ac)eq f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，等號成立0B，sin Beq r(1cos2B)eq r(1f(1,2)2)eq f(r(3),2).SABCeq f(1,2)ac sin Beq f(1,2)4eq f(r(3),2)eq r(3).ABC的面積的最大值為eq r(3).2在中，角的對邊分別為.(1).求角A的大小；(2).假設(shè)，的面積為，求的值【答案】(1). (2). 【解析】(1).由得，化簡得，整理得，即，由于，則，所以(2).因?yàn)?，所以根?jù)余弦定理得，即，所以3.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足cos2Ccos2A2sin(1)

17、求角A的大?。?2)假設(shè)aeq r(3)，且ba，求2bc的取值圍【答案】1Aeq f(,3)或eq f(2,3).2eq r(3)，2eq r(3)【解析】(1)由得2sin2A2sin2C，化簡得sin2Aeq f(3,4)，sin Aeq f(r(3),2)，又0A，sin Aeq f(r(3),2)，故Aeq f(,3)或eq f(2,3).(2)由eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)，得b2sinB，c2sinC，因?yàn)閎a，所以BA，所以Aeq f(,3)，故2bc4sinB2sinC4sinB2sin3sinBeq r(3)cos B2eq r(3)sin.因?yàn)閎a，所以eq f(,3)Beq f(2,3)，所以eq f(,6)Beq f(,6)eq f(,2)，所以2bc的取值圍為eq r(3)，2eq r(3)題型四解三角形的實(shí)際應(yīng)用1.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，則B，C兩點(diǎn)間的距離是 ()A10eq