新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊重難點突破專題08《與圓有關的定點問題以及阿波羅尼斯圓》（解析版）

1、 22/22專題08 與圓有關的定點問題以及阿波羅尼斯圓題型一 與圓有關的定點問題1已知直角坐標系 SKIPIF 1 0 中，圓 SKIPIF 1 0 過點 SKIPIF 1 0 作圓 SKIPIF 1 0 的切線 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的方程；直線 SKIPIF 1 0 與圓 SKIPIF 1 0 交于點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點，已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 軸平分 SKIPIF 1 0 ，證明：不論 SKIPIF 1 0 取何值，直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 軸的交點為定點，并求出此

2、定點坐標【解答】解：當切線的斜率不存在時，則切線方程為 SKIPIF 1 0 ，顯然與圓 SKIPIF 1 0 相切，當切線的斜率存在時，設方程為： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由圓心到切線的距離可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以可得這時切線的方程為： SKIPIF 1 0 ，所以切線 SKIPIF 1 0 的方程為： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ；設 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 聯(lián)立 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ，則

3、SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 軸平分 SKIPIF 1 0 ，所以可得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以直線的方程為： SKIPIF 1 0 ，所以直線恒過 SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查直線與圓相切的性質及角平分線的性質，屬于中檔題2已知圓 SKIPIF 1 0 過點 SKIPIF 1 0 ，圓心 SKIPIF 1 0 在直線 SKIPIF 1

4、 0 上（1）求圓 SKIPIF 1 0 的一般方程（2）若不過原點 SKIPIF 1 0 的直線 SKIPIF 1 0 與圓 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點，且 SKIPIF 1 0 ，試問直線 SKIPIF 1 0 是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由【解答】解：（1）由題意可得圓心 SKIPIF 1 0 的坐標為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，因為圓 SKIPIF 1 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，聯(lián)立，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故圓

5、 SKIPIF 1 0 的一般方程是 SKIPIF 1 0 （2）當直線 SKIPIF 1 0 的斜率存在時，設直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 聯(lián)立 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 得， SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以

6、直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 故直線 SKIPIF 1 0 過定點 SKIPIF 1 0 當直線 SKIPIF 1 0 的斜率不存在時，設直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （舍去）故直線 SKIPIF 1 0 過點 SKIPIF 1 0 綜上，直線 SKIPIF 1 0 過定點 SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題3已知直線 SKIPIF

7、1 0 ，半徑為3的圓 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 相切，圓心 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 軸上且在直線 SKIPIF 1 0 的右下方（1）求圓 SKIPIF 1 0 的方程；（2）過點 SKIPIF 1 0 的直線與圓 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 軸上方），問在 SKIPIF 1 0 軸正半軸上是否存在定點 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 軸平分 SKIPIF 1 0 ？若存在，請求出點 SKIPIF 1 0 的坐標；若不存在，請

8、說明理由【解答】解：（1）設圓心 SKIPIF 1 0 ，直線 SKIPIF 1 0 ，半徑為3的圓 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 相切，圓心 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 軸上且在直線 SKIPIF 1 0 的右下方所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 （舍 SKIPIF 1 0 ，圓的方程為 SKIPIF 1 0 ；（2）當直線 SKIPIF 1 0 軸時， SKIPIF 1 0 軸平分 SKIPIF 1 0 ，此時 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 軸上任一點，當直線 SKIPIF 1 0

9、與 SKIPIF 1 0 軸不垂直，設直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，聯(lián)立 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由題意得， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 【點睛】本題主要考查了圓的切線性質，點到直線的距離公式

10、，直線與橢圓的位置關系，還考查了運算能力，屬于中檔題4已知 SKIPIF 1 0 為直線 SKIPIF 1 0 上一動點，過點 SKIPIF 1 0 向圓 SKIPIF 1 0 作兩切線，切點分別為 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 （1）求四邊形 SKIPIF 1 0 面積的最小值及此時點 SKIPIF 1 0 的坐標；（2）直線 SKIPIF 1 0 是否過定點？若是，請求出該點坐標；若不是，請說明理由【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIP

11、IF 1 0 ，要使四邊形 SKIPIF 1 0 面積最小，則 SKIPIF 1 0 最小，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 的長最小，過點 SKIPIF 1 0 且與 SKIPIF 1 0 垂直的直線為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，將其與 SKIPIF 1 0 聯(lián)立，解得此時點 SKIPIF 1 0 的坐標為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；（2）設 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則以 SKIPIF 1 0 為直徑的圓為 SKIPIF 1 0

12、 ，化簡可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 這個圓也是四邊形 SKIPIF 1 0 的外接圓，它與圓 SKIPIF 1 0 方程相減，得公共弦 SKIPIF 1 0 方程為 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒過定點 SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查了直線與圓位置關系的應用，考查了圓的切線方程的應用以及兩圓公共弦方程的求解，直線恒過定點問題，考查了邏輯推理能力與轉化化歸能力，屬于中檔題5已知圓 SKIPIF 1 0 和直線 SKIPIF 1 0 （1）若直線 SKIPIF 1 0

13、與圓 SKIPIF 1 0 相交，求 SKIPIF 1 0 的取值范圍；（2）若 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 是直線 SKIPIF 1 0 上一個動點，過點 SKIPIF 1 0 作圓 SKIPIF 1 0 的兩條切線 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，切點分別是 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，證明：直線 SKIPIF 1 0 恒過一個定點【解答】解：（1）圓 SKIPIF 1 0 的圓心坐標為 SKIPIF 1 0 ，半徑為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 與圓 SKIPIF 1 0 相交，

14、 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；證明：（2）當 SKIPIF 1 0 時，直線 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 ，設 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則以 SKIPIF 1 0 為直徑的圓的方程為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，與 SKIPIF 1 0 聯(lián)立，消去二次項，可得 SKIPIF 1 0 所在直線方程為： SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF

15、 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，可得直線過定點 SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查直線與圓位置關系的應用，訓練了過圓的兩個切點的直線方程的求法，考查運算求解能力，是中檔題6已知圓 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 是直線 SKIPIF 1 0 上的一動點，過點 SKIPIF 1 0 作圓 SKIPIF 1 0 的切線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，切點為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）當切線 SKIPIF 1 0 的長度為 SKIPIF 1 0 時，求點 SKIPIF 1 0

16、 的坐標；（2）若 SKIPIF 1 0 的外接圓為圓 SKIPIF 1 0 ，試問：當 SKIPIF 1 0 運動時，圓 SKIPIF 1 0 是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）由題可知，圓 SKIPIF 1 0 的半徑 SKIPIF 1 0 ，設 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 是圓 SKIPIF 1 0 的一條切線，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，所以點 SKIPIF 1 0 的坐標為 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （2）

17、設 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以經(jīng)過 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 三點的圓 SKIPIF 1 0 以 SKIPIF 1 0 為直徑，其方程為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，所以圓 SKIPIF 1 0 過定點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題7已知圓 SKIPIF 1 0 經(jīng)過兩點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

18、 0 且圓心 SKIPIF 1 0 在直線 SKIPIF 1 0 上（）求圓 SKIPIF 1 0 的方程；（）設 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是圓 SKIPIF 1 0 上異于原點 SKIPIF 1 0 的兩點，直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，求證：直線 SKIPIF 1 0 經(jīng)過一定點，并求出該定點的坐標【解答】解：（）設圓 SKIPIF 1 0 的方程為： SKIPIF 1 0 ，由題意得， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIP

19、IF 1 0 圓 SKIPIF 1 0 的方程： SKIPIF 1 0 ；證明：（）由題意， SKIPIF 1 0 所在直線的斜率存在，設直線 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，設 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF

20、 1 0 必過定點 SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關系的應用，考查運算求解能力，是中檔題8在平面直角坐標系 SKIPIF 1 0 中，點 SKIPIF 1 0 在直線 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ，以線段 SKIPIF 1 0 為直徑的圓 SKIPIF 1 0 為圓心）與直線 SKIPIF 1 0 相交于另一個點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求圓 SKIPIF 1 0 的標準方程；（2）若點 SKIPIF 1 0 不在第一象限內(nèi)，圓 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 軸的正半軸的交點為 SKI

21、PIF 1 0 ，過點 SKIPIF 1 0 作兩條直線分別交圓于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點，且兩直線的斜率之積為 SKIPIF 1 0 ，試判斷直線 SKIPIF 1 0 是否恒過定點，若是，請求出定點的坐標；若不是，請說明理由【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，設 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點， SKIPIF 1 0 ，設

22、SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，圓心為 SKIPIF 1 0 ，此時圓的標準方程為 SKIPIF 1 0 ；當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，圓心為 SKIPIF 1 0 ，此時圓的標準方程為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 圓的標準方程為 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ；（2）由題意知，圓的標準方程為 SKIPIF 1 0 設直線 SKIPIF 1 0 的方程為

23、 SKIPIF 1 0 ，聯(lián)立 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩直線的斜率之積為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 用 SKIPIF 1 0 代替 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 當直線 SKIPIF 1 0 的斜率存在，即 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，整理得：

24、 SKIPIF 1 0 ，可得直線 SKIPIF 1 0 過定點 SKIPIF 1 0 ；當直線 SKIPIF 1 0 的斜率不存在時，即 SKIPIF 1 0 時，直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，過定點 SKIPIF 1 0 綜上可得，直線 SKIPIF 1 0 恒過定點 SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查圓的標準方程的求法，考查直線與圓位置關系的應用，考查運算求解能力，屬中檔題9已知三點 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 在圓 SKIPIF 1 0 上 SKIPIF 1 0 為直線 SKIPIF 1 0 上的動點，

25、SKIPIF 1 0 與圓 SKIPIF 1 0 的另一個交點為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與圓 SKIPIF 1 0 的另一個交點為 SKIPIF 1 0 （1）求圓 SKIPIF 1 0 的標準方程；（2）若直線 SKIPIF 1 0 與圓 SKIPIF 1 0 相交所得弦長為 SKIPIF 1 0 ，求點 SKIPIF 1 0 的坐標；（3）證明：直線 SKIPIF 1 0 過定點【解答】解：（1）由于 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 點 SKIPIF 1 0 在以線段 SKIPIF 1 0 為直徑的圓上，即圓 SKIPI

26、F 1 0 的標準方程為 SKIPIF 1 0 ；（2）圓 SKIPIF 1 0 的半徑為2，直線 SKIPIF 1 0 截圓 SKIPIF 1 0 所得弦長為 SKIPIF 1 0 ，則圓心 SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離為1設直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，則直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時，得點 SKIPIF 1 0 的坐標為 SKIPIF 1 0 ；（3）當直線 SKIP

27、IF 1 0 斜率不存在時，設其方程為 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 ，由直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 交點的橫坐標為6，可得 SKIPIF 1 0 ，即此時直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ；當直線 SKIPIF 1 0 斜率存在時，設 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 設 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0

28、 且 SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，代入點 SKIPIF 1 0 的橫坐標 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 從而 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時，直線 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 ，過點 SKIPIF 1 0 ，不符合題意；當 SKIPIF 1 0 時，

29、直線 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 ，過定點 SKIPIF 1 0 綜上，直線 SKIPIF 1 0 過定點 SKIPIF 1 0 另解：設 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，過定點 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時，代入點 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的橫坐標，得 SK

30、IPIF 1 0 ，直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，過定點 SKIPIF 1 0 綜上，直線 SKIPIF 1 0 過定點 SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查圓的方程和性質，主要考查圓的方程和直線方程的運用，直線恒過定點的求法，屬于中檔題10已知 SKIPIF 1 0 關于直線 SKIPIF 1 0 對稱，且圓心在 SKIPIF 1 0 軸上（1）求 SKIPIF 1 0 的標準方程；（2）已知動點 SKIPIF 1 0 在直線 SKIPIF 1 0 上，過點 SKIPIF 1 0 引 SKIPIF 1 0 的兩條切線 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF

31、1 0 ，切點分別為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 記四邊形 SKIPIF 1 0 的面積為 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的最小值；證明直線 SKIPIF 1 0 恒過定點【解答】解：（1）由題意已知 SKIPIF 1 0 關于直線 SKIPIF 1 0 對稱，且圓心在 SKIPIF 1 0 軸上，所以有圓心 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在直線 SKIPIF 1 0 上，即： SKIPIF 1 0 ，又因為圓心 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 軸上，所以： SKIPIF 1 0 ，由以上兩式得： SKIPIF 1 0

32、， SKIPIF 1 0 ，所以： SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 的標準方程為： SKIPIF 1 0 （2）如圖， SKIPIF 1 0 的圓心為 SKIPIF 1 0 ，半徑 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的兩條切線，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ；又因為： SKIPIF 1 0 ；根據(jù)平面幾何知識，要使 SKIPIF 1 0 最小，只要 SKIPIF 1 0 最小即可易知，當點 SKIPIF 1 0 坐標為 SKIPIF 1 0 時， SKIPI

33、F 1 0 ，此時 SKIPIF 1 0 設點 SKIPIF 1 0 的坐標為 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四點共圓其圓心為線段 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，設 SKIPIF 1 0 所在的圓為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的方程為： SKIPIF 1 0 ，化簡得： SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF

34、1 0 的公共弦，所以： SKIPIF 1 0 ，兩式相減得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 方程為： SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以直線 SKIPIF 1 0 恒過定點 SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查了圓的一般方程與標準方程的應用，圓中三角形面積問題的應用，直線過定點問題，綜合性強，屬于難題11已知圓 SKIPIF 1 0 與直線 SKIPIF 1 0 相離， SKIPIF 1 0 是直線 SKIPIF 1 0 上任意一點，過 SKIPIF 1 0 作圓 SKIPIF 1 0 的兩條切線，切點為 SKIPIF 1

35、 0 ， SKIPIF 1 0 （1）若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 ；（2）當點 SKIPIF 1 0 到圓 SKIPIF 1 0 的距離最小值為 SKIPIF 1 0 時，證明：直線 SKIPIF 1 0 過定點【解答】（1）解：連接 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于點 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，所以點 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點，又 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 相切圓 SKIPIF 1

36、0 于點 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （2）證明：當點 SKIPIF 1 0 到圓 SKIPIF 1 0 的距離最小值為 SKIPIF 1 0 時，圓心 SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離為 SKIPIF 1 0 ，由點到直線的距離公式可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，

37、SKIPIF 1 0 在以 SKIPIF 1 0 為直徑的圓上，又 SKIPIF 1 0 ，設 SKIPIF 1 0 ，則以 SKIPIF 1 0 為直徑的圓的圓心為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故圓的方程為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在以 SKIPIF 1 0 為直徑的圓上，故 SKIPIF 1 0 是圓 SKIPIF 1 0 與圓 SKIPIF 1 0 的公共弦，兩式相減可得 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可

38、得 SKIPIF 1 0 ，所以直線 SKIPIF 1 0 恒過定點 SKIPIF 1 0 【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，圓的切線的性質，兩圓公共弦的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題12已知圓 SKIPIF 1 0 ，圓 SKIPIF 1 0 （1）求過點 SKIPIF 1 0 且與圓 SKIPIF 1 0 相切的直線的方程；（2）若與 SKIPIF 1 0 軸不垂直的直線 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點，交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點，且 SKIPIF 1

39、 0 ，求證：直線 SKIPIF 1 0 過定點【解答】解：（1）當切線的斜率不存在時，直線方程為 SKIPIF 1 0 ，符合題意；當切線的斜率存在時，設直線方程為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直線與圓 SKIPIF 1 0 相切， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，切線方程為 SKIPIF 1 0 故所求切線方程為 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ；證明：（2）設直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，則圓心 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 到直線

40、 SKIPIF 1 0 的距離分別為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由垂徑定理可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 則直線 SKIPIF 1 0 過定點 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查直線與圓位置關系的應用，考查運算求解能力，考查直線系方程的應用，

41、是中檔題13已知圓 SKIPIF 1 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且圓心在直線 SKIPIF 1 0 上（1）求圓 SKIPIF 1 0 的方程；（2）過點 SKIPIF 1 0 的直線與圓 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點，問在直線 SKIPIF 1 0 上是否存在定點 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 恒成立？若存在，請求出點 SKIPIF 1 0 的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 的斜率為 SKIPIF 1 0 ， SKIPI

42、F 1 0 的垂直平分線 SKIPIF 1 0 的斜率為1， SKIPIF 1 0 的中點坐標為 SKIPIF 1 0 ，因此直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，又圓心在直線 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 圓心是直線 SKIPIF 1 0 與直線 SKIPIF 1 0 的交點聯(lián)立方程租 SKIPIF 1 0 ，得圓心坐標為 SKIPIF 1 0 ，又半徑 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 圓的方程為 SKIPIF 1 0 ；（2）假設存在點 SKIPIF 1 0 符合題意，設交點坐標為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

43、， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，當直線 SKIPIF 1 0 斜率存在時，設直線 SKIPIF 1 0 方程為 SKIPIF 1 0 ，聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 0 ，消去 SKIPIF 1 0 ，得到方程 SKIPIF 1 0 則由根與系數(shù)的關系得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 點坐標為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

44、1 0 ；當直線 SKIPIF 1 0 斜率不存在時，點 SKIPIF 1 0 顯然滿足題意綜上，在直線 SKIPIF 1 0 上存在定點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 恒成立【點睛】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關系的應用，體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題14已知圓 SKIPIF 1 0 的圓心在 SKIPIF 1 0 軸正半軸上，半徑為5，且與直線 SKIPIF 1 0 相切（1）求圓 SKIPIF 1 0 的方程；（2）設點 SKIPIF 1 0 ，過點 SKIPIF 1 0 作直線 SKIPIF 1 0 與圓 SKIP

45、IF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點，若 SKIPIF 1 0 ，求直線 SKIPIF 1 0 的方程；（3）設 SKIPIF 1 0 是直線 SKIPIF 1 0 上的點，過 SKIPIF 1 0 點作圓 SKIPIF 1 0 的切線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，切點為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 求證：經(jīng)過 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標【解答】（1）解：設圓心 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則由直線和圓相切的條

46、件： SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 （負值舍去），即有圓 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ；（2）解：若直線 SKIPIF 1 0 的斜率不存在，即 SKIPIF 1 0 ，代入圓的方程可得， SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，成立；若直線 SKIPIF 1 0 的斜率存在，可設直線 SKIPIF 1 0 ，即為 SKIPIF 1 0 ，圓 SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離為 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF

47、 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，則直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ；（3）證明：由于 SKIPIF 1 0 是直線 SKIPIF 1 0 上的點，設 SKIPIF 1 0 ，由切線的性質可得 SKIPIF 1 0 ，經(jīng)過 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，的三點的圓，即為以 SKIPIF 1 0 為直徑的圓，則方程為 SKIPIF 1 0 ，整理可得 SKIPIF 1 0 ，可令 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，

48、或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 則有經(jīng)過 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點的圓必過定點，所有定點的坐標為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查直線和圓的位置關系，主要考查相交和相切的關系，同時考查點到直線的距離公式和弦長公式、切線的性質和圓恒過定點的問題，屬于中檔題 題型二 阿波羅尼斯圓15古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù) SKIPIF 1 0 的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓若平面內(nèi)兩定點 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 間的距離為

49、2，動點 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【解答】解：以經(jīng)過 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點的直線為 SKIPIF 1 0 軸，線段 SKIPIF 1 0 的垂直平分線為 SKIPIF 1 0 軸，建立直角坐標系，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，設 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，化簡得， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPI

50、F 1 0 ， SKIPIF 1 0 點 SKIPIF 1 0 在以 SKIPIF 1 0 為圓心， SKIPIF 1 0 為半徑的圓上，則有 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 表示圓上的點與原點距離的平方，易知 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查圓軌跡方程的求法，考查兩點間的距離，考查邏輯推理能力，屬于中檔題16阿波羅尼斯是亞歷山大時期的著名數(shù)學家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動點 SKIPIF 1 0 與兩定點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距離之比為

51、 SKIPIF 1 0 ，則點 SKIPIF 1 0 的軌跡就是圓事實上，互換該定理中的部分題設和結論，命題依然成立已知點 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 為圓 SKIPIF 1 0 上的點，若存在 SKIPIF 1 0 軸上的定點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和常數(shù) SKIPIF 1 0 ，對滿足已知條件的點 SKIPIF 1 0 均有 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【解答】解：根據(jù)題意，如圖， SKIPIF 1 0 、 SKIPI

52、F 1 0 兩點為圓與 SKIPIF 1 0 軸的兩個交點，圓 SKIPIF 1 0 上任意一點 SKIPIF 1 0 都滿足 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 兩點也滿足該關系式，又由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；故選： SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查直線與圓的方程的應用，關鍵是理解題意中關于圓的軌跡的敘述，屬于基礎題17阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠“阿

53、波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上一點 SKIPIF 1 0 到兩定點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距離之滿足 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 為常數(shù)，則 SKIPIF 1 0 點的軌跡為圓已知圓 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，若定點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和常數(shù) SKIPIF 1 0 滿足：對圓 SKIPIF 1 0 上任意一點 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 2， SKIPIF 1 0 【解答】解：設 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，

54、SKIPIF 1 0 ，由題意，取 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 分別代入可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故答案為2， SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查圓的方程，考查賦值法的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題18阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上一點 SKIPIF 1 0 到兩定點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距離之滿足 SKIPIF 1 0 且 SK

55、IPIF 1 0 為常數(shù)，則 SKIPIF 1 0 點的軌跡為圓已知圓 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，若定點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和常數(shù) SKIPIF 1 0 滿足：對圓 SKIPIF 1 0 上任意一點 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 2， SKIPIF 1 0 面積的最大值為【解答】解：設點 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 如右圖，當

56、SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 故答案為：2； SKIPIF 1 0 【點睛】本題考查軌跡方程的求法，考查圓的方程的應用，轉化思想以及計算能力，是中檔題19已知圓 SKIPIF 1 0 的圓心在直線 SKIPIF 1 0 上，與 SKIPIF 1 0 軸正半軸相切，且被直線 SKIPIF 1 0 截得的弦長為 SKIPIF 1 0 （1）求圓 SKIPIF 1 0 的方程；（2）設點 SKIPIF 1 0 在圓 SKIPIF 1 0 上運動，點 SKIPIF 1 0 ，且點 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，記點 SKIPIF 1

57、0 的軌跡為 SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 的方程，并說明 SKIPIF 1 0 是什么圖形；試探究：在直線 SKIPIF 1 0 上是否存在定點 SKIPIF 1 0 （異于原點 SKIPIF 1 0 ，使得對于 SKIPIF 1 0 上任意一點 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點 SKIPIF 1 0 的坐標，若不存在，說明理由【解答】解：（1）設圓心 SKIPIF 1 0 ，則由圓與 SKIPIF 1 0 軸正半軸相切，可得半徑 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 圓心到直線的距離 SKIPIF 1 0 ，

58、由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故圓心為 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，半徑等于3 SKIPIF 1 0 圓與 SKIPIF 1 0 軸正半軸相切 SKIPIF 1 0 圓心只能為 SKIPIF 1 0 故圓 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 （2）設 SKIPIF 1 0 ，則： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 點 SKIPIF 1 0 在圓 SKIPIF 1 0 上

59、運動， SKIPIF 1 0 ，即： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以點 SKIPIF 1 0 的軌跡方程為 SKIPIF 1 0 ，它是一個以 SKIPIF 1 0 為圓心，以1為半徑的圓假設存在一點 SKIPIF 1 0 滿足條件，設 SKIPIF 1 0 則： SKIPIF 1 0 ，整理化簡得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在軌跡 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ，化簡得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

60、存在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 滿足題目條件【點睛】本題考查圓的方程，軌跡方程，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題20阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果擊中在他的代表作圓錐曲線一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點 SKIPIF 1 0 與兩定點 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的距離之比為 SKIPIF 1 0 ，那么點 SKIPIF 1 0 的軌跡就是阿波羅尼斯圓下面，我們來研究與此相關的一個問題已知圓： SKIPIF 1 0 和點 SKIPIF