線性變換矩陣

1、關于線性變換的矩陣第一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一. 線性變換的矩陣表示1) V的任一線性變換，由它在基1，2，n 上的作用惟一確定，即如果(i ) (i ) (L ( V ) , i= 1, 2, , n), 則= ; 定理6.3.1設V是數域F上的一個 n 維線性空間，1，2，n 是V的一個基1. 線性變換對基的作用的重要性第二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證只須證2）設=x11+ x22+ xnn是V的任意向量，規(guī)定V的一個變換:()= x11+ x22, , xnn . 這時，有(i)= i , i=1, 2, , n.以下我們證明是V的線性變換2) 任給1

2、，2，nV，必存在V的惟一線性變換，使(i)= i ( i = 1, 2, , n).第三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月設=y11+ y22+ ynnV , +=(x1+y1) 1+(x2+y2) 2+(xn+yn) n.于是(+)= (x1+y1) 1+(x2+y2) 2+(xn+yn) n=(x11+ x22+ xnn)+(y11+ y22+ ynn)= ()+ (), (k)=k x11+k x22+k xnn=k().所以，是V的滿足定理所要求的條件和的線性變換第四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月如果L(V),且(i)= i, i=1,2, ,n,=x11+ x2

3、2+ xnnV,則()=x1(1)+ x2(2)+ + xn(n) = x11+ x22+ xnn=().所以，第五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定義1設1，2，n是數域F上的n維線性空間V的一個基，L(V)基向量的象可由基線性表示：2. 線性變換矩陣的定義第六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月我們把（1）寫成矩陣等式的形式(1), (2), , (n)=(1, 2, , n) A (2)其中矩陣A稱為線性變換在基1，2，n下的矩陣第七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1求F3x的線性變換：(f(x)=2 f(x)- f(x)在基1,x,x2,x3下的矩陣解因為(

4、1) = 2 = 2 + 0 x + 0 x2 + 0 x3,(x) = 2 x-1 = -1 + 2 x + 0 x2 + 0 x3(x2) = 2 x2 -2 x=0 -2 x + 2 x2 + 0 x3(x3) = 2 x3 -3 x2 = 0 + 0 x -3 x2 + 2 x3,所以在基 1 , x , x2 , x3 下的矩陣是3. 幾個例子第八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月采用矩陣形式的寫法為(1), (x), (x2), (x3)=(1, x, x2, x3)A例2求M2(F)的線性變換：(X) = 第九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解因為 (E11)=

5、a E11+0 E12+c E21+0 E22, (E12)=0 E11+a E12+0 E21+c E22, (E21)=b E11+0 E12+d E21+0 E22, (E22)=0 E11+b E12+0 E21+d E22, 在基E11, E12, E21, E22下的矩陣故在基E11, E12, E21, E22下的矩陣是第十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例3設是F3的一個線性變換，1（1，0，0），2（0，1，0），3（0，0，1），(1)（2，-1，3），(2)（-1，0，4），(3)（0，-5，5）求在標準基1，2，3下的矩陣解由于 (1) = 21- 2 + 3

6、3, (2) = -1+02 + 43, (3) = 01-52 + 53,第十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月有（(1)，(2)，(3)）（1，2，3）即在基1，2，3 下的矩陣是第十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一般地，Fn的一個線性變換在標準基1，2，n下的矩陣 A 就是把(i)的分量作列排成的 n 階方陣.例4單位變換在任何基下的矩陣都是單位矩陣I數乘變換k在任何基下的矩陣都是數量矩陣kI第十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 在V中取定一個基后，通過（2）式，我們在L(V)與Mn(F)之間建立了一個映射，它把每個L(V)映成在該基下的矩陣AMn(F

7、)： A定理6.3.1的2）說明是雙射這個映射的重要性還在于它能保持加法、數乘和乘法運算二. L(V)與Mn(F)之間的密切關系1. 的性質第十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理6.3.2 L(V)到Mn(F)的上述映射具有以下性質：1)對任意的，L(V)，有 （+）（）+（）； 2)對任意的L(V), kF,有(k)=k();3）對任意的，L(V)，有 （）（）（）；第十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4) 若L(V)，可逆，則 （）A是可逆矩陣，且（-1）A-1反之，若A可逆，則也可逆證令()=A=(aij)n n，()=B=(bij)nn ,即(1), (2),

8、 , (n)=( 1, 2, , n)A,(1), (2), , (n)=( 1, 2, , n)B.第十六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月1)( +)( i)= (i)+ (i) =(a1i+b1i) 1+(a2i+b2i) 2+(ani+bni) n, i=1,2, ,n.由此可得( +)( 1), ( +)( 2), , ( +)( n)= ( 1, 2, , n)(A+B),即 ( +)=A+B=()+ ().第十七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2)(k)(i)=ka1i1+ka2i2+kan in,i=1,2, ,n.由此可得 (k)( 1), (k)( 2),

9、 , (k)( n)= ( 1, 2, , n)(kA),即 (k)=kA=k().第十八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3)(j)=(j)j=1,2, ,n.由此可得(1), (2), , (n)=( (1), (2), , (n)B=( 1, 2, , n)(AB),即()=AB=() ().=( ) =第十九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4）可逆時，-1L(V), -1=.(-1)= () (-1)=A(-1)= ()=In, 所以，A可逆，且A-1=(-1 ).若A可逆，有AA-1=In 設()=A-1, ()=In=AA-1=() ()= ()=A-1A=()

10、()= ().于是有=，即可逆第二十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 定理6.3.2說明，雙射除了是F上的兩個線性空間L(V)和Mn(F)之間的一個同構映射外，還保持乘法運算和可逆性這樣，我們在L(V)與Mn(F)之間建立了十分密切的聯系利用線性變換的矩陣可以直接計算向量的象2. 線性變換矩陣的一個應用第二十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理6.3.3設V是數域F上的一個n維線性空間，L(V)，在基1，2，n下的矩陣是A，如果V中的向量在這個基下的坐標是（x1,x2，xn），而()在該基下的坐標是（y1, y2, ，yn）那么第二十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022

11、年6月證由假設（1），（2），（n） =(1，2，n)A=x11+ x22+ xnn =(1，2，n) 第二十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月是V的線性變換，所以()=x1(1)+x2(2)+xn(n)=(1)，(2)，(n)=(1，2，n)A第二十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月另方面，由假設知（）=(1，2，n) 比較（4）與（5）兩式，有. 第二十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理6.3.4線性空間V的線性變換在V的兩個基 1，2，n （6） 1，2，n （7） 線性變換的矩陣顯然依賴于基的選擇同一線性變換在不同基下的矩陣一般是不同的我們來看線性變換

12、在不同基下的矩陣之間的關系三. 矩陣的相似1. 同一線性變換在不同基下的矩陣之間的關系第二十六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證因為（1），（2），（n）=(1，2，n)A,（1），（2），（n）=(1，2，n)B,(1，2，n)=( 1，2，n)T,下的矩陣分別是A和B，從（6）到（7）的過渡矩陣是T，那么B=T-1AT.第二十七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月所以 (1，2，n)B=（1），（2），（n）=（1），（2），（n）T=(1，2，n)AT=(1，2，n)T-1AT 故B=T-1AT. 第二十八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定義2設A,B是數域F上

13、的兩個n階方陣如果存在F上的一個n階可逆矩陣T，使B=T-1AT，則稱B與A相似或A相似于B，記為AB. 根據這個定義，定理6.3.4說的是，n維線性空間V的同一線性變換在兩個基下的矩陣是相似的2.相似矩陣及其性質第二十九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣的相似關系具有如下性質：1)自反性AA因為A=I-1AI;2)對稱性如果AB,那么BA,這是因為當 B=T-1AT時，A=(T-1)-1BT-1;3)傳遞性如果AB,BC,那么AC 這是因為當B=T1-1AT1，且 C= T2-1BT2時，有 C= T2-1 (T1-1AT1)T2=(T1T2)-1A(T1T2).第三十張，PPT

14、共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 由于上述性質，我們可以把集合M n (F)中的元素按相似關系分類，凡是彼此相似的矩陣屬于同一類，不同的相似類之間沒有公共元素下面的定理闡明了相似類的實際意義定理6.3.5設A,BMn(F), AB的充分必要條件是，它們是某個L(V)在兩個基下的矩陣3.相似類的實際意義第三十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證充分性已由定理6.3.4證明由定理6.3.1知, 存在F上的n維線性空間V的一個線性變換,使它在V的基 1,2, ,n下的矩陣為A因為AB,存在可逆矩陣T使B= T-1AT.令 (1，2，n)（1，2，n）T，1，2，n也是V的一個基由定理6.3

15、.4，在這個基下的矩陣就是T-1ATB第三十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 從上面的討論可以知道，L(V)中的一個線性變換在不同基下的矩陣組成一個Mn(F)中的相似類與該線性變換對應；不同的線性變換與不同的相似矩陣類對應第三十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 我們自然要問，對于線性變換能否找到一個基，使在這個基下的矩陣具有最簡單的形式？換句話說，在Mn(F)的每個相似類中，能否找到一個形式最簡單的矩陣？ 這就是矩陣的標準形的問題在后面幾節(jié)，我們將對其核心矩陣的對角化作較多的討論第三十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月習題6.31. 求下列線性變換在所指定的基下的矩陣：1）在R3中，基為R3的標準基(x1, x2, x3)=( x1, x1+x2-3 x3, 2 x1- x2-2 x3)2）在V2內，從原點引出兩條彼此正交的單位向量1，2作為V2的基，令是將V2的每一個向量旋轉角的旋轉變換；第三十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3）設1=e3t, 2=t e3t, 3=t2 e3tV=L(1，2，3)是R上的三維向量空間，線性變換D是V的微商變換：D(f(x)= f(t);4）Fnx是F上