3講-平均值與算符

1、量子力學(xué)第三講 力學(xué)量的平均值 算符 薛定格方程 量子力學(xué)中的基本假設(shè)1第三講目錄一、 簡(jiǎn)短的回顧二、力學(xué)量的平均值三、力學(xué)量用算符表示四、薛定格方程五、量子力學(xué)的基本假設(shè)2 一、簡(jiǎn)短的回顧 為了解釋微觀世界粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，人們提出了以下觀點(diǎn)能量量子化，基于此，推出了Planck公式，解釋了黑體輻射現(xiàn)象；波粒二象性: 認(rèn)為任何粒子都具有粒子和波動(dòng)二重性。其中的波動(dòng)，稱為物質(zhì)波，滿足德布羅意公式： =E/h，= h /p測(cè)不準(zhǔn)原理（不確定度關(guān)系）: 認(rèn)為微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)完全確定。3 為了使這些觀點(diǎn)能用一個(gè)系統(tǒng)的理論來(lái)概括，人們首先做了以下工作。（1）1、自由粒子的波函數(shù) 既然粒子具

2、有波動(dòng)性，那么就應(yīng)該用一個(gè)反映波動(dòng)的函數(shù)來(lái)加以描述。 由平面波公式 借助德布羅意公式：=E/h，= h /p 和 得到 也可以寫作42、任意粒子的波函數(shù)可以看作無(wú)限多個(gè)平面波的疊加5 為了使這些觀點(diǎn)能用一個(gè)系統(tǒng)的理論來(lái)概括，人們首先做了以下工作。（2）3、該如何理解波函數(shù)的物理意義？為此，人們提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋來(lái)作為對(duì)波函數(shù)物理意義的一種理解。基于此， 應(yīng)該是表示 粒子出現(xiàn)在點(diǎn)(x,y,z)附件概率大小的一個(gè)量。由此要求波函數(shù)必須滿足以下性質(zhì) 1）可積性；2）歸一化 3）單值性；4）連續(xù)性6 為了使這些觀點(diǎn)能用一個(gè)系統(tǒng)的理論來(lái)概括，人們首先做了以下工作。（3）4、不確定度關(guān)系與力學(xué)量的平均

3、值 通過(guò)舉例得到， 由此得知一般情況下x和p不能完全確定。這樣可以提出一個(gè)問(wèn)題: x和p的平均值可否確定？由此引申出：力學(xué)量的平均值7二、力學(xué)量的平均值(1)既然 表示 粒子出現(xiàn)在點(diǎn) 附件的概率，那么粒子坐標(biāo)的平均值，例如 的平均值 ，由概率論，有 又如，勢(shì)能V是 的函數(shù)： ，其平均值由概率論，可表示為8二、力學(xué)量的平均值(2)再如，動(dòng)量 的平均值為：對(duì)比 和提出兩個(gè)問(wèn)題：1、為什么不能寫成2、能否用以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)計(jì)算動(dòng)量的平均值？由此引申出量子力學(xué)中特有的概念：力學(xué)量的算符9三、力學(xué)量用算符表示(1)當(dāng)算符 作用到平面波波函數(shù) 上， 有10三、力學(xué)量用算符表示(2)動(dòng)量的平均值以坐標(biāo)

4、和動(dòng)量為自變量的波函數(shù)之間的關(guān)系為 11三、力學(xué)量用算符表示(3)動(dòng)量的平均值，用以動(dòng)量為自變量的波函數(shù)表示用以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)表示其中， 為動(dòng)量 的算符，即：動(dòng)量算符12三、力學(xué)量用算符表示(4)動(dòng)能 ，動(dòng)能算符動(dòng)能平均值角動(dòng)量 ，角動(dòng)量算符角動(dòng)量平均值13三、力學(xué)量用算符表示(5)力學(xué)量 的平均值為其中， 為力學(xué)量 的算符。問(wèn)題：坐標(biāo) 的平均值可否表示為可以，其中14三、力學(xué)量用算符表示 (6)描述粒子一般狀態(tài)的波函數(shù)，可以由平面波的疊加來(lái)表示對(duì)這個(gè)波函數(shù)關(guān)于時(shí)間做偏微商，有因此，能量算符利用能量算符，可以從形式上給出量子力學(xué)中的基本方程：薛定格方程15四、薛定格方程（1）粒子的能量

5、兩邊同乘粒子的波函數(shù)得到薛定格方程 量子力學(xué)的基本假設(shè)之一：波函數(shù)的 時(shí)空演化滿足薛定格方程16 連續(xù)性方程 薛定格方程的推論薛定格方程 （1）由 ，得令 得到連續(xù)性方程 四、薛定格方程（2）概率密度概率(粒子)流密度17四、薛定格方程（3） 概率守恒定律由 有高斯定理有左邊表示在閉區(qū)域 中找到粒子的總數(shù)目在單位時(shí)間內(nèi)的增量。右邊表示單位時(shí)間內(nèi)通過(guò) 的封閉表面 而流入 內(nèi)的粒子數(shù)。所以， 表示粒子流密度。 18四、薛定格方程（4） 能量本征方程薛定格方程若 不顯含 ，則可令 ，有因此，有 和因此， 滿足的方程稱為能量本征方程 ， 稱為能量本征函數(shù)， 稱為能量本征值19本征方程數(shù)學(xué)中，形如 的方程，稱為本征方程。其中對(duì)方程算符 被稱為哈密頓算符， 因?yàn)楸菊髦礒具有能量的量綱，故此方程被之為能量本征方程， 被稱為能量本征函數(shù)， E被稱為能量本征值。20五、量子力學(xué)的基本假設(shè)（1）1、微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫。2、波函數(shù)的模方 表示 t 時(shí)刻粒子出現(xiàn)在空間點(diǎn)(x,y,z)的概率。3、力學(xué)量用算符表示。21五、量子力學(xué)的基本假設(shè)（2）1、微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫。2、波函數(shù)的模方 表示 t 時(shí)刻粒子出現(xiàn)在空間點(diǎn)(x,y,z)的概率。3、力學(xué)量用算符表示。4、波函數(shù)的運(yùn)動(dòng)滿足薛定格方程22五、量子力學(xué)的基本假設(shè)（3）1、微觀粒子的狀態(tài)由