《高等數(shù)學(xué)》(經(jīng)管類專業(yè)適用)教案第五章5.1.1教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題線性規(guī)劃問題的圖解法教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)(1)理解線性規(guī)劃的相關(guān)概念， 學(xué)會(huì)對實(shí)際問題的復(fù)雜數(shù)據(jù)通過表格的形式整理數(shù)據(jù)；(2)掌握對實(shí)際問題建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型；(3)掌握用圖解法求解簡單的線性規(guī)劃問題.能力目標(biāo)通過圖解法求解實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合以及建模思想，從而提 高學(xué)生對實(shí)際問題的分析能力和解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)回可行域；在口行域內(nèi)用圖解法求得 線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解教學(xué)難點(diǎn)對實(shí)際問題如何建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué) 模型，并給出解答教法學(xué)法講授法、模仿學(xué)習(xí)法教學(xué)反思圖解法解題是比較直觀的，其重點(diǎn)也是在直角坐標(biāo)系卜回可行域，演示講解時(shí)強(qiáng)調(diào)可行域的角點(diǎn)，這些點(diǎn)往往是目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)教

2、學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧在平面直角坐標(biāo)系申表小出不等式所代表的平面區(qū)域.二、情境引入(新課引入)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，并不是所有變量之間的關(guān)系都是由等式表示的，考慮不 等式約束問題，假定目標(biāo)函數(shù)是線性的，不等式也是線性的，這種問題就 稱為線性規(guī)劃問題.求解線性規(guī)劃問題分兩個(gè)獨(dú)立階段；A階段把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)符號(hào) 或公式予以表述；第二個(gè)階段是關(guān)于這種問題的實(shí)際求解.通常發(fā)現(xiàn)階段更為困難.基于這個(gè)原因，我們先從僅含有兩個(gè)未知量的問題出發(fā)，從 不等式組的解集入手，并給出一種繪圖求解法.四、合作探究(講授新課)(一)、可行域回顧平囿直角坐標(biāo)系下 不等式所代表的區(qū)域的 描繪，更好過渡新知識(shí)x yW 6【例1 在斗

3、面直角坐標(biāo)系中回出不等式組x 2y w 8所代表的點(diǎn)x 0, y 0集.解：在平面直角坐標(biāo)系中依次回出直線x 2y = 8和x y = 6 ,則滿足上述不等式組的點(diǎn)集如圖 5-1陰影部分所示：V圖5- 1在平面直角坐標(biāo)系中描繪不等式組所代表點(diǎn)集【例2】求解下列數(shù)學(xué)模型：約束條件：(s.t.)目標(biāo)函數(shù)： max z 3x 4yx y w 6 x 2y 0, y 0 上述數(shù)學(xué)模型中 x,y的限制條件稱為變量x,y的約束條件；求最值的式子稱為 目標(biāo)函數(shù)，由于都是一次的，又稱該目標(biāo)函數(shù)為線性目用例題講解法引入線性 規(guī)劃問題的相關(guān)概念， 使學(xué)生在例子更好理解 概念標(biāo)函數(shù).求解具體步驟如下：(1)畫可行域

4、：滿足所有不等式的點(diǎn)稱為可行點(diǎn)，所有可行點(diǎn)的集合，稱為 可行域.本題的可行域由例 1中的圖5-1陰影部分所示.(2)畫等值線：對于直線 z 3x 4y ( z為參數(shù))，當(dāng) z取定值 時(shí)，z 3x 4y表示坐標(biāo)平面上一簇平行線，稱為目標(biāo)函數(shù)的 等值線，且直線上的每一個(gè)點(diǎn)都有相同的目標(biāo)函數(shù)值z.如當(dāng)z取“0”時(shí)，稱為目標(biāo)函數(shù)的0等值線，此時(shí)3x 4y=0過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(如圖5-2虛線部分所示)，其中箭頭表示目標(biāo)函數(shù)值增大的方向.(3)求最值：由于是求最大值問題，目標(biāo)函數(shù)的等值線按箭頭方向移 動(dòng)，到臨界狀態(tài)，即可行域的頂點(diǎn) A處，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，繼續(xù)往此 方向移動(dòng)，目標(biāo)函數(shù)值會(huì)更大，但與可行域

5、無交點(diǎn)可行域中的每一點(diǎn)代表該數(shù)學(xué)模型的一個(gè)可行方案，稱為一個(gè) 可行解，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值(最大值或最小值，并且有界)的可行解稱最優(yōu)解.因此，該問題的最優(yōu)解為臨界等值線與可行域的交點(diǎn)：A (4, 2),最優(yōu)值為20.x 0【例3】設(shè)x,y滿足約束條件x y ，求z 4x 3y的最大值和最用圖解法求解鞏固所學(xué)內(nèi)容2x y 1小值.解：作出可行域，如圖 5-3陰影部分所示，可知 y 4x *過點(diǎn)B時(shí) 33縱截距最大， z 4x 3y取得最小值， min z 4x 3y 4 0 3 1 3, 過點(diǎn) A 時(shí)縱截距最小，z在 A 處取得最大值，max z 4x圖5- 3（二）、線性規(guī)劃的圖解法【例4】一

6、家小型出版公司決定出版兩本教科書：經(jīng)濟(jì)學(xué)和運(yùn)籌實(shí)例引入，首先對復(fù)雜 的數(shù)據(jù)通過表格形式整 理降低問題的難度，在 此基礎(chǔ)上建模，然后用 圖解法求解模型學(xué)，其中經(jīng)濟(jì)學(xué)的每本利潤為 12元，運(yùn)籌學(xué)的每本利潤為 18元， 每本經(jīng)濟(jì)學(xué)打印12分鐘，裝訂18分鐘。每本運(yùn)籌學(xué)分別需要 15 分鐘和9分鐘，共有10個(gè)小時(shí)可可用來裝訂. 問每種教材應(yīng)該出版多少以 使利潤最大？解：先通過列表對復(fù)雜的條件和數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，從而找出約束條件和 目標(biāo)函數(shù).解題過程如下：經(jīng)濟(jì)學(xué)運(yùn)籌學(xué)資源限量打印（分鐘/本）1215600裝訂（分鐘/本）189630利潤（元/本）1218表5-1（1）根據(jù)題目條件和數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)如表5-1的結(jié)構(gòu)并

7、填充數(shù)據(jù)（2）建立數(shù)學(xué)模型設(shè)出版公司出版經(jīng)濟(jì)學(xué)x本，運(yùn)籌學(xué)為y本,利潤為z元.目標(biāo)函數(shù)：max z 12x 18y12x 15y 600約束條件（st）：18x 9y 630 x, y 0（3）圖解法求解模型的解注意求解步驟（4）根據(jù)題意進(jìn)行作答:如圖5-4所示：當(dāng)0等值線12X+18y 0平移到可行域的邊界點(diǎn) M點(diǎn)時(shí)，等值線中的k取得最大值.容易計(jì)算 M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 40）.故當(dāng) x=0 , y=40 時(shí)，maXz =720運(yùn)籌學(xué)為0本，利潤為720元.即設(shè)出版公司出版經(jīng)濟(jì)學(xué)40本,（三）、線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型例4的一般形式為：目標(biāo)函數(shù)：maX（min）z GX1c2x2約束條件s.t.

8、a11x12X2ainXna21X1a22X2a2nXnIII(, (,CnXn 由 )b2ami X1am2X2Xi,X2,a mn Xn2m強(qiáng)調(diào)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型形式III,Xn根據(jù)實(shí)際問題建立形如上述具有目標(biāo)函數(shù)和約束條件的數(shù)學(xué)模型稱為線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型（簡稱線性規(guī)劃模型），其中x （i 1,2,., n）稱為模型的決策變量.【例5】某工廠生產(chǎn)情侶裝，其中男服需要機(jī)工 6小時(shí)，手工3小時(shí)； 生產(chǎn)女服需要機(jī)工 5小時(shí)，手工4小時(shí)，生產(chǎn)一件男服可得利潤 90元，生 產(chǎn)一件女服可得利潤 75元.該工廠的生產(chǎn)能力上機(jī)工最多280小時(shí)，手工最多140小時(shí)，男服產(chǎn)量不能超過 40件，求男女服各

9、生產(chǎn)多少件時(shí)所獲得 利潤最大？解:把實(shí)際數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為表的形式，如表5-2所示：男服女服資源限量機(jī)工（小時(shí)/件）65280手工（小時(shí)/件）340 140產(chǎn)1（件）& 40表5-2該例題是典型的資源分配問題高踞砌版賽利潤（元/件）9075目標(biāo)函數(shù)maxz 90 +75x2設(shè)男服生產(chǎn)為X1件，女服生產(chǎn)為X2件，利潤為在z,建立數(shù)學(xué)模型如下:約束條件為：6x1 5x2 2803% 4x2 140 x 1 40 x20圖解如圖5-5所示:易求得交點(diǎn) A的坐標(biāo)為（40, 5）,當(dāng)0等值線：90 x1 75x2 0移至過A點(diǎn)時(shí)，z取得最大值為90 40+75 5=3975 （元）. 四、課堂練習(xí)1.用圖解法求

10、解線性劃問題.目標(biāo)函數(shù)：min z 2x y TOC o 1-5 h z x 2y12約束條件（St） :乂、/3xyox,y 0目標(biāo)函數(shù)：maxzxy通過適時(shí)的課堂練習(xí)及 時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì) 積極地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活 動(dòng)約束條件（S.t.） :2x y 10 x, y 02.央視為改版后的 非常6+1欄目播放兩套宣傳片. 其中宣傳片甲播 映時(shí)間為3分30秒，廣告時(shí)間為30秒，收視觀眾為60萬，宣傳片乙播映 時(shí)間為1分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為20萬.廣告公司規(guī)定每周 至少有3.5分鐘廣告，而電視臺(tái)每周只能為該欄目宣傳片提供不多于16分鐘的節(jié)目時(shí)間.電視臺(tái)每周應(yīng)播映兩套宣傳片各多少次，才能使得收視觀 眾最多？