時間序列分析

1、時間序列分析1本課程內(nèi)容體系：第一章：平穩(wěn)時間序列分析導(dǎo)論第二章：平穩(wěn)時間序列分析的基礎(chǔ)知識第三章：平穩(wěn)時間序列模型的建立第四章：協(xié)整理論導(dǎo)論第五章：單位根過程第六章：單位根過程的假設(shè)檢驗第七章：協(xié)整理論2參考書目:1、陸懋祖，高等時間序列經(jīng)濟(jì)計量學(xué)，上海人民出版社，1999年版； 2、王振龍主編，時間序列分析，中國統(tǒng)計出版社，2000；3、王耀東等編，經(jīng)濟(jì)時間序列分析，上海財經(jīng)大學(xué)出版社，1996； 4、馬薇，協(xié)整理論與應(yīng)用，南開大學(xué)出版社，2004；5、王少平，宏觀計量的若干前沿理論與應(yīng)用，南開大學(xué)出版社，2003。3第一章 平穩(wěn)時間序列分析導(dǎo)論一、時間序列1、含義：指被觀察到的依時間為序

2、排列的數(shù)據(jù)序列。2、特點： （1）現(xiàn)實的、真實的一組數(shù)據(jù)，而不是數(shù)理統(tǒng)計中做實驗得到的。既然是真實的，它就是反映某一現(xiàn)象的統(tǒng)計指標(biāo)，因而，時間序列背后是某一現(xiàn)象的變化規(guī)律。 （2）動態(tài)數(shù)據(jù)。4二、時間序列分析1、 時間序列分析：是一種根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計方法。其基本思想：根據(jù)系統(tǒng)的有限長度的運(yùn)行記錄（觀察數(shù)據(jù)），建立能夠比較精確地反映序列中所包含的動態(tài)依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并借以對系統(tǒng)的未來進(jìn)行預(yù)報（王振龍）52、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的建模方法和思想3、理論依據(jù)：盡管影響現(xiàn)象發(fā)展的因素?zé)o法探求，但其結(jié)果之間卻存在著一定的聯(lián)系，可以用相應(yīng)的模型表示出來，尤其在隨機(jī)性現(xiàn)象中。6三、確定性

3、時間序列分析與隨機(jī)性時間序列分析時間序列依據(jù)其特征，有以下幾種表現(xiàn)形式，并產(chǎn)生與之相適應(yīng)的分析方法：（1）長期趨勢變化 受某種基本因素的影響，數(shù)據(jù)依時間變化時表現(xiàn)為一種確定傾向，它按某種規(guī)則穩(wěn)步地增長或下降。使用的分析方法有：移動平均法、指數(shù)平滑法、模型擬和法等；7（2）季節(jié)性周期變化 受季節(jié)更替等因素影響，序列依一固定周期規(guī)則性的變化，又稱商業(yè)循環(huán)。采用的方法：季節(jié)指數(shù)；（3）循環(huán)變化 周期不固定的波動變化。8(4)隨機(jī)性變化由許多不確定因素引起的序列變化。它所使用的分析方法就是我們要講的時間序列分析。 確定性變化分析 趨勢變化分析 周期變化分析 循環(huán)變化分析時間序列分析 隨機(jī)性變化分析 A

4、R、MA、ARMA模型9四、發(fā)展歷史1、時間序列分析奠基人： 20世紀(jì)40年代分別由Norbort Wiener 和Andrei Kolemogoner 獨立給出的，他們對發(fā)展時間序列的參數(shù)模型擬和和推斷過程作出了貢獻(xiàn)，提供了與此相關(guān)的重要文獻(xiàn)，促進(jìn)了時間序列分析在工程領(lǐng)域的應(yīng)用。102、時間序列分析在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用 20世紀(jì)70年代，G.P.Box 和G.M.Jenkins發(fā)表專著時間序列分析：預(yù)測和控制，使時間序列分析的應(yīng)用成為可能。3、現(xiàn)代時間序列分析的發(fā)展趨勢（1）單位根檢驗（2）協(xié)整檢驗112003年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的獲得者是美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅伯特.恩格爾和英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家克萊夫.格蘭杰。獲

5、獎原因：“今年的獲得者發(fā)明了處理許多經(jīng)濟(jì)時間序列兩個關(guān)鍵特性的統(tǒng)計方法：時間變化的變更率和非平穩(wěn)性?！眱扇耸菚r間序列經(jīng)濟(jì)學(xué)的奠基人。12時間變化的變更率指方差隨時間變化而變化的頻率，這主要是指恩格爾在1982年發(fā)表的條件異方差模型（ARCH），最初主要用于研究英國的通貨膨脹問題，后來廣泛用作金融分析的高級工具；傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中，通常假定經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)和產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的。格蘭杰的貢獻(xiàn)主要是在非平穩(wěn)過程假定下所進(jìn)行的嚴(yán)格計量模型的建立。（協(xié)整檢驗）13 第二章 平穩(wěn)時間序列分析的基礎(chǔ)知識 第一節(jié) 隨機(jī)序列一、隨機(jī)過程 1、定義： 在數(shù)學(xué)上，隨機(jī)過程被定義為一組隨機(jī)變量，即，其中，T表

6、示時間t的變動范圍，對每個固定的時刻 t而言，Zt是一隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的全體就構(gòu)成一個隨機(jī)過程。 142、特征（1）隨機(jī)過程是隨機(jī)變量的集合（2）構(gòu)成隨機(jī)過程的隨機(jī)變量是隨時間產(chǎn)生的，在任意時刻，總有隨機(jī)變量與之相對應(yīng)。 15二、隨機(jī)序列（時間序列）1、當(dāng) 時，即時刻t只取整數(shù)時，隨機(jī)過程 可寫成此類隨機(jī)過程 稱為隨機(jī)序列，也成時間序列。16可見（1）隨機(jī)序列是隨機(jī)過程的一種，是將連續(xù)時間的隨機(jī)過程等間隔采樣后得到的序列；（2）隨機(jī)序列也是隨機(jī)變量的集合，只是與這些隨機(jī)變量聯(lián)系的時間不是連續(xù)的、而是離散的。17三、時間序列的分布、均值、協(xié)方差 函數(shù)1、分布函數(shù)(1)一維分布函數(shù):隨機(jī)序列

7、中每個隨機(jī)變量的分布函數(shù).F1(z) ,F2(z) , Ft-1(z) , Ft(z) (2)二維分布函數(shù):隨機(jī)序列中任意兩個隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)Fi,j(zi,zj).i,j=,-2,-1,0,1,2,18(3)柯爾莫哥洛夫定理與有限維概率分布柯爾莫哥洛夫定理表明,一個隨機(jī)序列的特征,可以用它的有限維分布表示出來。19 2、均值函數(shù)對隨機(jī)序列中的任一隨機(jī)變量取期望。當(dāng)t取遍所有可能整數(shù)時，就形成了離散時間的函數(shù)ut稱ut 為時間序列的均值函數(shù)。203、自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) 21自相關(guān)函數(shù)：當(dāng)t,s取遍所有可能的整數(shù)時，就形成了時間序列的自相關(guān)函數(shù)，它描述了序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)。它的本質(zhì)等同

8、于相關(guān)系數(shù)。22第二節(jié) 平穩(wěn)時間序列一、平穩(wěn)時間序列1、定義：時間序列zt是平穩(wěn)的。如果zt有有窮的二階中心矩，而且滿足：（1）ut= Ezt =c;（2）r(t,s) = E(zt-c)(zs-c) = r(t-s,0)則稱zt是平穩(wěn)的。23含義：a有窮二階矩意味著期望和自協(xié)方差存在； b平穩(wěn)時間序列任意時刻所對應(yīng)的隨機(jī)變量的均值相等； c自協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。24二、平穩(wěn)時間序列的均值、自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)1、均值函數(shù)：平穩(wěn)時間序列均值為常數(shù)，為分析方便，假定E zt=0，當(dāng)均值不為零時，給每個值減去均值后再求均值，即等于0。252、自協(xié)方差函數(shù)：平穩(wěn)時間序列的自

9、協(xié)方差僅與時間間隔有關(guān)，而與具體時刻無關(guān)，所以，自協(xié)方差函數(shù)僅表明時間間隔即可。 263、自相關(guān)函數(shù)k 平穩(wěn)時間序列自協(xié)方差僅與時間隔有關(guān)，當(dāng)間隔為 零時，自協(xié)方差應(yīng)相等：274、自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) (1) rk=r-k k= -k k、k僅是時間先后順序上的差異，它們代表的間隔是相同的。 (2) 28三、偏自相關(guān)函數(shù)（PACF)1、偏自相關(guān)函數(shù)用來考察扣除zt 和zt+k之間zt+1 ， zt+2， zt+k-1影響之后的zt 和zt+k之間的相關(guān)性。292、偏自相關(guān)函數(shù)的定義設(shè)zt為零均值平穩(wěn)序列， zt+1 ， zt+2， zt+k-1對zt 和zt+k 的線性估計為：30kk表

10、示偏自相關(guān)函數(shù)，則：313、PACF的涵義設(shè)有zt+1，zt+2，zt+3324、pacf的推導(dǎo)33四、 隨機(jī)序列的特征描述（1）樣本均值34（2）樣本自協(xié)方差函數(shù)35（3）樣本自相關(guān)函數(shù)36（4）樣本偏自相關(guān)函數(shù)37例1、設(shè)動態(tài)數(shù)據(jù)16，12，15，10，9，17，11，16，10，14，求樣本均值、樣本自相關(guān)函數(shù)（SACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（SPACF）（各求前三項）38第三節(jié) 線性平穩(wěn)時間序列模型一、自回歸過程(A R (p)）1、392、AR(P)模型的ACF、PACF特征以AR(1)為例40例：k12345678910k0.880.760.670.570.480.40.340.280.

11、210.17kk0.880.01-0.010.110.02-0.010.01-0.02-0.060.0541計算結(jié)果表明，ACF逐漸衰減，但不等于零；PACF在k=1后，與零接近，是截尾的。結(jié)論：ACF呈指數(shù)衰減，是拖尾的；PACF在一步后為零，是截尾的。42二、滑動平均模型（MA(q)）1、形如zt=at-1at-1- 2at-2 - qat-q模型為滑動平均模型，其中，簡化形式zt=(B)at(B)= 1-1B- 2B2 - qBq,滿足(B)= 0的根在單位圓外，即B1，此時該過程是可逆的。432、MA模型的ACF及PACF 44(3)PACF45例：用zt=(1-0.5B)at模擬產(chǎn)生

12、250個觀察值，at為白噪聲序列，得到序列自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)如下：可見，ACF在一步后截尾，PACF是拖尾的。結(jié)論：MA(q)的ACF是截尾的，PACF是拖尾的。k12345678910ACF-0.4400.02-0.03-0.01-0.050.04-0.03-0.030.02PACF-0.44-0.24-0.11-0.08-0.07-0.12-0.06-0.07-0.1-0.0846三、自回歸滑動平均模型（AR M A (p, q)）1、472、ARMA(p,q)的ACF和PACF48(2)ACF、PACF均是拖尾的例：(1-0.9B)zt=(1-0.5B)at模擬產(chǎn)生250個觀察值，AC

13、F、PACF如下表所示：k12345678910acf0.570.50.470.350.310.250.210.180.10.12pacf0.570.260.18-0.030.01-0.010.010.01-0.080.0549本節(jié)介紹了三類模型的形式、特性及自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征，現(xiàn)繪表如下：AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程(B)=atzt=(B)at(B)zt= (B) at平穩(wěn)性條件(B)=0的根在單位圓外無(B)=0的根在單位圓外可逆性條件無(B)=0的根在單位圓外(B)=0的根在單位圓外自相關(guān)函數(shù)拖尾Q步截尾拖尾偏自相關(guān)函數(shù)P步截尾拖尾拖尾50第三章 平穩(wěn)時間序列模

14、型的建立第一節(jié) 模型識別與定階一、模型識別1、含義：對一個觀察序列，選擇一個與其實際過程相吻合的模型結(jié)構(gòu)。2、方法：利用序列的acf、pacf識別。判斷截尾、拖尾的主觀性較大，只是初步識別。 51二、模型定階（一）a c f、p a c f方法（1）M A (q):Bartlett公式：當(dāng)kq時，N充分大，52(2)AR（P）：53（二）殘差方差圖：（1）殘差：在多元回歸y=a1x1+ a2x2+.+ an x n +at,存在自變量x的選擇問題。如果x選擇不夠，模型擬合不足，表現(xiàn)為y與 差異較大；若x選擇多，則過度擬合，y與差異減小速度很慢。將(y- )稱為殘差，多元回歸就是利用此確定模型的

15、自變量，即新增或減少變量是否會顯著影響殘差。（2）將該思想應(yīng)用到時間序列模型定階上。 54(3)利用a2的變化規(guī)律，確定模型階數(shù)。隨著模型階數(shù)的增大，分母減小；分子在不足擬合時，一直減小，速度較快；過擬合時，分子雖減小，但速度很慢，幾乎不變。a2取決于分子、分母減小的速度。在不足擬合時， a2一直減小；過擬合時，a2卻增大。選擇a2的最低點為模型的最優(yōu)階數(shù)。55（三）F 檢驗定階法：（1）F分布：56（2）用F分布檢驗兩個回歸模型是否有顯著差異。57(3)對于ARMA(p,q)模型定階例如：在ARMA(p,q)和ARMA(p-1,q-1)選擇。58例：每隔20分鐘進(jìn)行一次觀察的造紙過程入口開關(guān)

16、調(diào)節(jié)器的觀察值（第241頁，18）1、series Mean S.D Max Min z 32.02 0.74 34 30.7令z1=z 32.02592、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 acf 0.868 0.782 0.708 0.663 0.627 0.617 0.594 0.559 0.5 0.48 pacf 0.868 0.115 0.028 0.099 0.055 0.122 0.01 0.04 -0.099 0.1 603、定階（1）acf、pacf：從 acf、pacf可知， acf拖尾，pacf截尾，初步識別為AR模型。 61具體階數(shù)：62(2)殘差方差：63(3

17、)F檢驗：64（四）最佳準(zhǔn)則函數(shù)定階法1、基本思想：確定一個函數(shù)，該函數(shù)既要考慮用某一模型擬合原始數(shù)據(jù)的接近程度，同時又考慮模型中所含參數(shù)的個數(shù)。當(dāng)該函數(shù)取最小值時，就是最合適的階數(shù)。衡量模型擬合數(shù)據(jù)的接近程度的指標(biāo)是殘差方差。殘差方差=2、最佳準(zhǔn)則函數(shù)包括FPE、AIC、BIC準(zhǔn)則。653、AIC準(zhǔn)則(1)該準(zhǔn)則既適合于AR，也適合于ARMA模型。66關(guān)于ARMA模型的定階1、ACF、PACF都呈現(xiàn)一定的拖尾性，試擬合ARMA模型。Pandit-Wu于1977年提出了不同于Box-Jenkins的系統(tǒng)建模方法。該方法認(rèn)為，任一平穩(wěn)序列總可以用一個ARMA(n,n-1)表示，AR(n)、MA(

18、m)、ARMA(n,m)都是ARMA(n,n-1)的特例。2、建模思想：逐漸增加模型階數(shù)，直到剩余平方和不再減小為止。673、如何在不同模型之間取舍68第四章 協(xié)整理論緒論一、協(xié)整理論產(chǎn)生的背景1、20世紀(jì)70年代以前的建模技術(shù)以時間序列平穩(wěn)為前提設(shè)計的。2、理論假定與現(xiàn)實的矛盾。693、協(xié)整理論的產(chǎn)生-計量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法研究的新階段-Granger首先提出了偽回歸問題（1974）；-1978年，EngleGranger發(fā)表論文“協(xié)整與誤差修正”，正式提出“協(xié)整”（cointegration）概念70二、與協(xié)整檢驗有關(guān)的兩個問題：單位根和誤差修正模型1、單位根：協(xié)整檢驗處理的是非平穩(wěn)時間序列，單位

19、根檢驗就是要說明一個時間序列的平穩(wěn)性。包括DF和ADF檢驗2、誤差修正模型（Error Correction Model, ECM）：ECM由、Hendry、Srba于1978年提出的。71三、本部分的體系單位根檢驗-協(xié)整檢驗-誤差修正模型72第五章 單位根過程第一節(jié) 單位根過程的定義一、隨機(jī)游動過程的定義1、隨機(jī)過程y t ,t=1,2, 若y t=yt-1+t，其中t為獨立同分布序列，E（ t ）=0，D（ t ）=E（ t 2）=2則稱y t為隨機(jī)游動過程。732、隨機(jī)游動過程是一非平穩(wěn)過程(1) y t=yt-1+t =yt-2+t-1+t =yt-3+t-2+t-1+t =. =y0

20、+1+2+tE (y t)=y0(2)D(yt)=E(yt-y0)2=E(1+2+t)2=t274二、單位根過程的定義1、隨機(jī)過程y t ,t=1,2, 若y t=yt-1+ t ，其中=1，t 為穩(wěn)定過程，E（ t ）=0，Cov（ t ，t - s ）= s1時， 1時，就是平穩(wěn)過程。774、單位根過程與穩(wěn)定過程的本質(zhì)區(qū)別78第二節(jié) 與單位根過程形式接近的幾種模型一、帶常數(shù)項的隨機(jī)游動過程1、2、79深圳股票綜合指數(shù) 80二、長期趨勢1、形如 稱為確定趨勢模型。2、前兩類模型的圖形接近。3、判別單位根的必要性。 yt = 0.1 t + ut 生成的序列 圖81三、含隨機(jī)趨勢和確定性趨勢的

21、混合隨機(jī)過程1、 yt = 0.1+ 0.1t + yt-1+ ut生成的序列 圖82四、近單位根過程1、83第六章 單位根過程的假設(shè)檢驗第一節(jié) 迪基-福勒(DF)檢驗法一、DF檢驗法產(chǎn)生的背景1、DF檢驗法是由Dickey、Fuller在20世紀(jì)70、80年代的一系列文章中建立起來的。2、843、這種方法不能用來檢驗H0:=1，當(dāng)零假設(shè)成立時，t T不再服從t分布，因而無法得到臨界值。此時，只能用模擬方法得到臨界值。DF檢驗中用到兩個統(tǒng)計量：T（ T-1）和t T，它們不存在小樣本分布，只有當(dāng)樣本容量T足夠大時，它們的極限分布才有實際的應(yīng)用價值。85二、情況一的DF檢驗1、假設(shè)數(shù)據(jù)由 產(chǎn)生，

22、并在其中檢驗H0:=1; H1:12、適用于數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)且沒有趨勢的情況。863、例：利用1947年第二季度到1989年第一季度的數(shù)據(jù)對美國財政部債券利息率作不帶常數(shù)的一階自回歸如下：87三、情況二的DF檢驗1、假設(shè)數(shù)據(jù)由 產(chǎn)生，在一般先檢驗=1，若接受H0，再檢驗=0。若 =0，則為 ，若 0，則為2、情況二適用的數(shù)據(jù)圖形是有趨勢，但不穩(wěn)定的情況。這時，就在隨機(jī)性非平穩(wěn)及有漂移趨勢的非平穩(wěn)之間選擇。883、例：仍利用美國財政部債券利率數(shù)據(jù)，估計帶常數(shù)項的一階自回歸模型：89四、情況三的DF檢驗1、情況三的DF檢驗（1）假設(shè)數(shù)據(jù)是由帶常數(shù)項的單位根過程（2）缺陷90五、情況四的DF檢驗1、91（2）適用于序列有趨勢的情況923、例：美國1947年一季度至1989年第二季度GNP的實際值，對圖中數(shù)據(jù)進(jìn)行模型擬合。解：（1）圖中數(shù)據(jù)有明顯的長期趨勢；（2）這類圖形可能適合的模型有：93（3）94六、DF檢驗小結(jié)95第二節(jié) 增廣的迪基-福勒(ADF)檢驗法一、ADF檢驗法（Augmented DickeyFuller Test）1、ADF檢驗法是由迪基（Dicke