高中數(shù)學(xué)知識匯編及典例訓(xùn)練

1、高中數(shù)學(xué)知識匯編及典例梳理第一部分【集合】（1）注意區(qū)分集合中元素的形式（如:此為描述法與,無關(guān)），元素是數(shù)還是有序數(shù)對（注意點(diǎn)集與數(shù)集的區(qū)別），是函數(shù)的定義域還是函數(shù)的值域等。（2）是任意一個集合的子集，是任意一個非空集合的真子集。所以當(dāng)兩集合之間存在子集關(guān)系時，不要忘記對空集的討論，即若，則應(yīng)分和兩種情況進(jìn)行分析。（3）若集合是不等式的解集，則在兩個集合的交集與并集以及集合的補(bǔ)集的求解過程中要注意端點(diǎn)值的取與舍，不能遺漏；在利用數(shù)軸表示集合時，注意端點(diǎn)值的標(biāo)注，區(qū)分實點(diǎn)和虛點(diǎn)(對于端點(diǎn)問題要特殊問題特殊對待)。（4）求解集合的補(bǔ)集時，要先求出集合，然后再寫其補(bǔ)集，不要直接轉(zhuǎn)化條件導(dǎo)致出錯，

2、如的補(bǔ)集是而不是。（5）交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集，即；并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集，即;。（6）對于含有個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為，。如:1.若集合，則=（ C ）A. B. C. D. 2.設(shè)集合，則的子集的個數(shù)是( A ) A4 B3 C 2 D1第二部分【常用邏輯用語】（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性。（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系。（3）一個命題的逆命題與它的否命題，具有相同的真假性。（4）在判斷一些命題的真假時，如果不容易直接判斷，可以反向判斷其逆否命題的真假。（5）命題的否定與否命題不同。若命題 “若，則

3、”。該命題的否定是“若，則”，該命題的否定是“若，則”。即命題的否命題是條件和結(jié)論都否定，而命題的否定是不否條件，只否結(jié)論。命題與該命題的否定一真一假。（6）對于充要條件，解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時一定要根據(jù)充要條件的概念作出準(zhǔn)確的判斷。（7）全稱命題的否定是特稱命題。(8)對等價轉(zhuǎn)化思想和倒裝形式要特別注意其做法;如:1. “”是“”成立的 （ A ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分條件 D.既不充分也不必要條件 2. 已知直線m,n和平面,則m/n的必要條件是( D )A.m/ ,n/ B.m ,n C.m/ ,n D.m,n 與成等角

4、3. 設(shè)、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（ C ）A、 B、 C、 D、且第三部分【函數(shù)】【函數(shù)1】（1）函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射，作為一個映射，就必須滿足映射的條件，只能一對一或者多對一，不能是一對多，函數(shù)是數(shù)到數(shù)的特殊映射。（2）求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式組求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏。（3）求解與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題，如：求值域、單調(diào)區(qū)間、判斷奇偶性、求極值、最值等等，都必須注意定義域優(yōu)先的原則。（4）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，易錯誤地在多個單調(diào)區(qū)間之間添加“”和“

5、或”它們之間只能用逗號隔開或“和”；單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示，必須用區(qū)間。如:和函數(shù)定義域.（5）判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響。（6）若是奇函數(shù)，且0在其定義域內(nèi)，則必須有；而是為奇函數(shù)的必要不充分條件。（7）函數(shù)圖像與軸上的垂線至多有一個公共點(diǎn)，但與軸上垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可為任意個。（8）函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像?！净境醯群瘮?shù)】（1）指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算時，忽視字母的正負(fù)。如：；。（2）中，而（）中。（3）當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)都是其定義域上的單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)時，都是定義

6、域上的單調(diào)減函數(shù)；指數(shù)函數(shù)的圖像都過點(diǎn)（0，1），對數(shù)函數(shù)的圖像都過點(diǎn)（1，0）。指數(shù)函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)（）的圖像關(guān)于直線對稱。（4）冪指數(shù)大于0時，冪函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增；冪指數(shù)小于0時，冪函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，所有冪函數(shù)的圖像都過點(diǎn)（1，1）。（5）求給定區(qū)間上的二次函數(shù)的最大（小）值時，盲目套用公式：而忽視區(qū)間的限制條件時求錯最值。如: 1.若函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間1,2上單減,則的取值范圍是( D )A. B. C. D.2.若是奇函數(shù)，則1/2 3.設(shè)，則使函數(shù)的定義域為且為奇函數(shù)的所有的值為（ A ）A.1，3 B.1，3， C.1，3， D.1，3，4.，且，則A A） B）

7、10 C）20 D）1005.若，則（ C ）AB C D 為銳角且、不同向； ，為直角且、；，為鈍角且、不反向；是，為鈍角的必要不充分條件。（5）在向量數(shù)量積運(yùn)算時，錯誤使用數(shù)量積的運(yùn)算律。如：把化簡為；由得出或等錯誤結(jié)論。（6）把向量投影錯以為只是正數(shù)。事實上，向量在向量上的投影是一個實數(shù)，可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，也可以是零。如: 1.已知函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)P，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，則的值等于-3/13.2.已知,求和的值.（10/9；23/10）3.已知，求的值.（-56/65）4.求下列函數(shù)的值域：；。5.設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于( C

8、) A. B. C. D.6.為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ A ）A. 向左平移個長度單位B. 向右平移個長度單位C. 向左平移個長度單位D. 向右平移個長度單位7.設(shè)函數(shù),圖像的一條對稱軸是直線. 求; 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; 畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像.8.已知函數(shù)（其中）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個最低點(diǎn)為. 1)求的解析式；() 2）當(dāng)，求的值域.( -1,2) 9.設(shè)函數(shù)f（）=，其中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x,y），且.（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求的值；(2)（2）若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域：，上的一個動點(diǎn)，試確定

9、角的取值范圍，并求函數(shù)的最小值和最大值.(最大:2; 最小2)ABCDEF10.如圖,EF為梯形ABCD的中位線,則在向量、中,與相等向量共有( )A.0個 B.1個 C.2個 D.3個11.已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（ C ） A）重心 外心 垂心 B）重心 外心 內(nèi)心 C）外心 重心 垂心 D）外心 重心 內(nèi)心12.設(shè) HYPERLINK 向量，若向量與向量共線，則 213.已知O，A，B是平面上的三個點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足，則（ A ） ABCD14.如圖，已知中,點(diǎn)在線段上, 點(diǎn)在線段上且滿足,若,則的值為AA B C.2/3 D-11/315.如

10、圖，平面內(nèi)有三個向量、,其中與與的夾角為120，與的夾角為30,且|1，|，若+（，R）,則+的值為 .第四部分【數(shù)列】【數(shù)列】（1）判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，忽視各項不能為0。（2）由求時，得到，缺少第一項,應(yīng)該為通項求法.（3）等比數(shù)列求進(jìn)，不討論公比是來吧為1。（4）錯位相減法求和時，易漏掉減數(shù)式的最后一項。（5）裂項相消法求和時，出現(xiàn)分裂前后不相等。如，應(yīng)該是。(6)等比數(shù)列求和公式: ;如: 1.已知數(shù)列的前項和為,那么這個數(shù)列的通項為 .2.已知等差數(shù)列an前三項的和為-3，前三項的積為8.求等差數(shù)列an的通項公式；（或）（2）若a2,a3,a1成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和。（）3

11、.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n，nN，數(shù)列bn滿足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求數(shù)列anbn的前n項和Tn.第五部分【不等式】【不等式】（1）不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，要討論這個數(shù)的正負(fù)。（2）解不等式中易忽視的問題解含參數(shù)一元二次不等式時，不注意二次項系數(shù)正負(fù)的討論；解含參數(shù)不等式易忽視對兩根大小比較的討論；不等式的解集，只寫出不等關(guān)系不用集合的形式表示；解絕對值不等式不注意符號討論或零點(diǎn)分區(qū)間討論。（3）基本不等式求最值時，注意驗證“一正、二定、三相等”條件。（4）解線性規(guī)劃問題時出現(xiàn)以下失誤不注意虛實邊界；不等式表示的區(qū)域搞

12、錯；不注意目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)的正負(fù)，導(dǎo)致最大值與最小值搞錯；求最優(yōu)整數(shù)解搞錯。如:1. 若正數(shù)滿足,則的取值范圍是 ; （）的取值范圍是 ;（）2.已知，且滿足，則的最小值為 3 3.若關(guān)于不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍為.4.若關(guān)于的不等式存在實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 ;第六部分【立體幾何】【立體幾何】（1）平面圖形的直觀圖面積等于原圖形面積的倍。()（2）幾何體的擺放位置不同，其三視圖也不同；三視圖中的側(cè)視圖的寬度對應(yīng)幾何體的寬度。（3）由三視圖確定幾何體的形狀，先由俯視圖確定其底面，然后根據(jù)側(cè)視圖和主視圖確定頂點(diǎn)或上底面。（4）注意表面積與側(cè)面積的區(qū)別，側(cè)面積只是表面積的一部分，不包括

13、底面。（5）使用判定定理或性質(zhì)定理時，列舉的條件不全，易造成步驟失分。（6）求異面直線所成角或線面角時，忽視角的范圍，從而求解出錯。（7）求線面角時，得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦，容易錯以為是線面夾角的余弦。（8）求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析。如: 【易錯題型類】判斷下列命題真假1)線線平行: ;2)線線垂直: ;3)線面平行: ;4)線面垂直: ;5)面面平行: ;6)面面垂直: ;第七部分【直線與圓】【直線與圓】（1）設(shè)直線的傾斜角，直線的斜率為。當(dāng)時，不存在；當(dāng)時，且0，）時，隨著的增大而增大，當(dāng)（，）時，隨著的增大而增大。（2）注意直

14、線方程五種形式的局限性點(diǎn)斜式和斜截式不適用于斜率不存在的直線；兩點(diǎn)式不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線；截距式不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線；任何直線均可寫成的形式，但A，B不同時為0。（3）對截距理解截距式不是距離，直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0。截距相等時不要忘了過原點(diǎn)的特殊情形。直線兩截距相等直線的斜率為或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點(diǎn)。（4）討論兩直線的位置關(guān)系應(yīng)注意斜率不存在或斜率為0的情況。當(dāng)兩條直線中的一條斜率不存在，另一條斜率為0時，這兩條直線也垂直。（5）已知直線：（A、B不能同時為零），則：與

15、直線平行的直線方程可設(shè)為：；與直線垂直的直線方程可設(shè)為：。（6）求圓的切線方程時漏掉斜率不存在的情況。（7）在圓的一般方程中易忽視條件。如: 1.知點(diǎn)M（3，1），直線及圓.1)求過點(diǎn)M的圓的切線方程;(x=3或3x-4y-5=0)2)若直線與圓相切,求的值;(0或4/3)3)若直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),且弦AB的長為,求的值.(-3/4)2.已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,則圓的方程為 3.已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)A（4，2）和B（-1，3），且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，求圓C的方程.(利用一般式完成, )第八部分【橢圓、雙曲線、拋物線】【橢圓、雙曲線、拋物線】（1）在橢圓與雙

16、曲線定義中，要注意與焦距的關(guān)系；在拋物線定義中應(yīng)注意定點(diǎn)不在直線上。（2）用圓錐曲線方程與直線方程聯(lián)立求解時，在得到方程中要注意到這一條件。（3）圓錐曲線部分設(shè)直線時要注意討論斜率存在與否;切記先特殊后一般.（4）圓錐曲線與直線相交時，消去后，弦長應(yīng)為。( 5 ) 1)四種弦長計算:圓中弦: 半弦2+圓心距2=半徑2;過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸利用通徑: 橢圓和雙曲線通徑:;拋物線通徑:;過焦點(diǎn)弦長:利用焦半徑公式;一般弦長:利用公式: 2)弦中點(diǎn)問題:已知弦中點(diǎn),求曲線方程;已知曲線,求弦中點(diǎn)軌跡;3）向量與圓錐曲線綜合應(yīng)用；4）對稱問題（得到不等及相等方程組即可求解）及利用韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo).如

17、: 1.設(shè)圓錐曲線r的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿足=4:3:2，則曲線r的離心率等于AA. B.或2 C.2 D.2.已知橢圓C: 的離心率為,其中左焦點(diǎn)F(-2,0).1)求橢圓C的方程;( )2)若直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求的值.( )3.已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率.1)求橢圓的方程；()2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，求直線的方程.(或)第九部分【計數(shù)原理、二項式定理(理)】（1）排列與組合的主要區(qū)別是有序還是無序，有序的問題是排列問題，無序的問題是組合問題。（2）解排列組合問題的主要

18、方法有：相鄰問題捆綁法；不相鄰（相間）問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序問題用除法（組合法）；選取問題先選后排法；至多、至少問題間接法，特別地，還要注意隔板法。（3）二項式與的展開式相同，但通項公式不同，對應(yīng)項也不相同，在遇到類似問題時，要注意區(qū)分。（4）二項式展開式中的項的系數(shù)與二項式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆，導(dǎo)致出錯。第十部分【概率、隨機(jī)變量及分布列（理）】【概率、隨機(jī)變量及分布列（理）】（1）解概率類問題容易忽視解題步驟。注意格式規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，必須配上適當(dāng)?shù)奈淖纸獯?，用一些字母表示事件。?）較為復(fù)雜的古典概型問題，要分析清楚各類事件所含基本事件總數(shù)。（3）公式中，事件A、B必須是互斥事件；公式中，事件A、B必須是獨(dú)立事件；如果不是，要弄清A+B表示事件的含義（A，B中至少有一個要發(fā)生），AB表示事件的含義（A，B同時發(fā)生），再去求。（4）求分布列，要檢驗概率的和是否為1，如果不是，要重新檢查修正。（5）區(qū)分條件概率與概率：它