理論力學(xué)基礎(chǔ)-動(dòng)能定理和綜合應(yīng)用

1、1理論力學(xué)基礎(chǔ)動(dòng)能定理和綜合應(yīng)用2 131 力的功 132 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 133 動(dòng)能定理 134 功率 功率方程 135 勢(shì)力場(chǎng) 勢(shì)能 機(jī)械能守恒定理 136 動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用第十四章 動(dòng)能定理3動(dòng)力學(xué)一常力的功 13-1力的功二變力的功 三常見(jiàn)力的功 1重力的功2彈性力的功3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功，力偶的功4動(dòng)力學(xué)力的功是代數(shù)量: 時(shí),正功； 時(shí),功為零； 時(shí),負(fù)功。質(zhì)點(diǎn)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，路程為S, (M1M2)，力在位移方向上的投影為Fcos，力F在路程S中所作的功為：一常力的功5動(dòng)力學(xué)元功：設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F的作用下作曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。將曲線(xiàn)分成無(wú)限多個(gè)微小段ds，力F在微段上可視為常

2、力，所作的微小的功稱(chēng)為元功：二變力的功（ds的方向在曲線(xiàn)的切線(xiàn)方向，與dr同向，）6動(dòng)力學(xué)力在全路程中作功為7三常見(jiàn)力的功質(zhì)點(diǎn)系： 質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影：與運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)式中：zc1、zc2為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)1重力的功8F的方向指向彈簧自然位置。當(dāng)彈簧長(zhǎng)度增加d時(shí)，彈性力的元功：動(dòng)力學(xué)k彈簧的剛度系數(shù)，2彈性力的功質(zhì)點(diǎn)M與彈簧聯(lián)接，彈簧自然長(zhǎng)l0，現(xiàn)伸長(zhǎng)，彈簧作用于質(zhì)點(diǎn)的彈性力 的大小與彈簧的變形量 成正比，即 ：l0FdM21M1M29 彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路

3、徑無(wú)關(guān)。動(dòng)力學(xué)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線(xiàn)時(shí)也成立：10動(dòng)力學(xué) 3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功 力偶的功設(shè)剛體繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在M點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過(guò)一角度 時(shí)力所作的功。元功：當(dāng)F 是常力時(shí)，得 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功等于：力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩乘以轉(zhuǎn)過(guò)的角度 。質(zhì)點(diǎn)的軌跡為圓，圓的切線(xiàn)方向?yàn)?。 11動(dòng)力學(xué)若m = 常量, 則如果作用力偶m , 且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸注意：功的符號(hào)的確定。12二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)力學(xué)動(dòng)能是瞬時(shí)量,是與速度方向無(wú)關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位也是J。13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能132定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛

4、體動(dòng)力學(xué)三剛體的動(dòng)能rivimiz（vi=ri）1平動(dòng)剛體（vi=vC）14（P為速度瞬心 ）3平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)CvCPd15動(dòng)力學(xué)例1圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤(pán)A、B質(zhì)量均為m，半徑均為R, 重物D質(zhì)量為m1，下降速度為v。求重物D、圓盤(pán)A、B的動(dòng)能。解：重物D：圓盤(pán)A：m1gmgmgvC16動(dòng)力學(xué)圓盤(pán)B：m1gmgmgvC171質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：動(dòng)能定理的微分形式將上式沿路徑積分，動(dòng)能定理的積分形式動(dòng)力學(xué)兩邊點(diǎn)乘以，13-3動(dòng)能定理18對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn) ：將上式沿路徑 積分，可得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式動(dòng)力學(xué)對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有：2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式193.理想約束約束反力

5、元功為零或元功之和為零的約束稱(chēng)為理想約束。2)活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承3)剛體沿固定面作純滾動(dòng)5)柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）和二力桿動(dòng)力學(xué)拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。1)光滑固定面約束4)聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）20 卷?yè)P(yáng)機(jī),鼓輪上作用常力偶M，鼓輪半徑為R1,質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱半徑為R2，質(zhì)量為m2 ，質(zhì)量均勻分布。求圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程s 時(shí)的速度與加速度。(盤(pán)C作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)動(dòng)力學(xué)例13-2 P295解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象MCm2gOm1g2122將式（a)兩端對(duì)時(shí)間 求一階導(dǎo)數(shù)，有求得圓柱中心C 的加速度為：23 圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤(pán)A、B質(zhì)

6、量均為m，半徑均為R, 兩盤(pán)中心線(xiàn)為水平線(xiàn), 盤(pán)A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D質(zhì)量為m1。求下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤(pán)B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)動(dòng)力學(xué)例2解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象m1gmgmgvCa24m1gmgmgvCa25將（1）式兩邊對(duì) t 求導(dǎo)得：(1)m1gmgmgvCa26 圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k =3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？解：研究OA桿由動(dòng)力學(xué)例3 動(dòng)能定理的應(yīng)用練習(xí)題27 行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu), 放在水平面內(nèi)。 動(dòng)齒輪半徑r ,

7、質(zhì)量為m1, 視為均質(zhì)圓盤(pán)；曲柄質(zhì)量為m2, 長(zhǎng)l ，視為均質(zhì)桿, 作用一力偶矩為M(常量)的力偶。 曲柄由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)； 求曲柄的角速度 (以轉(zhuǎn)角 的函數(shù)表示) 和角加速度。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象根據(jù)動(dòng)能定理，得習(xí)題13-13（P317）28將(1)式兩邊對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)，則得29 兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計(jì)，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B 端的速度。動(dòng)力學(xué)解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象， AB桿質(zhì)量為m。例4vBvA30一功率：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。

8、作用力的功率：力矩的功率：功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。動(dòng)力學(xué)13-4功率 功率方程31二功率方程：由 的兩邊同除以dt 得動(dòng)力學(xué)分析：起動(dòng)階段（加速）：即制動(dòng)階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即機(jī)器穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，機(jī)械效率是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)之一。一般情況下 。32一勢(shì)力場(chǎng)1力場(chǎng)：若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱(chēng)為力場(chǎng)。動(dòng)力學(xué) 重力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中受到的場(chǎng)力稱(chēng)為有勢(shì)力(保守力),如重力、彈力等。2勢(shì)力場(chǎng)： 在力場(chǎng)中, 如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)

9、，這種力場(chǎng)稱(chēng)為勢(shì)力場(chǎng)。13-5勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律33二勢(shì)能在勢(shì)力場(chǎng)中, 質(zhì)點(diǎn)從位置M 運(yùn)動(dòng)到任選位置M0, 有勢(shì)力所作的功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在位置M 相對(duì)于位置M0的勢(shì)能，用V 表示。M0作為基準(zhǔn)位置，勢(shì)能為零，稱(chēng)為零勢(shì)能點(diǎn)。勢(shì)能具有相對(duì)性。是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。等勢(shì)面：質(zhì)點(diǎn)位于該面上任何地方，勢(shì)能都相等。質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能：動(dòng)力學(xué)341.重力場(chǎng) 質(zhì)點(diǎn)： 質(zhì)點(diǎn)系：2. 彈性力場(chǎng)：取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)3. 萬(wàn)有引力場(chǎng)：取與引力中心相距無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能位置有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的始末位置的勢(shì)能之差。動(dòng)力學(xué)三有勢(shì)力的功在M1位置：M2位置：M1M2：35設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到有勢(shì)力(或同時(shí)受到不作功的非

10、有勢(shì)力) 作用，則機(jī)械能守恒定律對(duì)非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為W12 , 則有動(dòng)力學(xué)四機(jī)械能守恒定律機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和。這樣的系統(tǒng)成為保守系統(tǒng)。36 長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。例537解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不作功, 主動(dòng)力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡(jiǎn)后得動(dòng)力學(xué)初瞬時(shí)：任一瞬時(shí)：38 動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他

11、們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可以研究其它形式的運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題。 動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問(wèn)題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼猓ǜ鞣N守恒情況的判斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開(kāi)那些無(wú)關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。二是對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，能根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)合求解。 求解過(guò)程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析, 提供正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。 動(dòng)力學(xué)13-6動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用39舉例說(shuō)明動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用： 兩根均質(zhì)桿AC和BC質(zhì)量均為m，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線(xiàn)始終在

12、鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。動(dòng)力學(xué) 例6 vAmgmg40討論 （1）用 動(dòng)量守恒定理動(dòng)能定理求解。 （2）計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。動(dòng)力學(xué)解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開(kāi)。研究對(duì)象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。代入動(dòng)能定理：vAmgmgmg41A、B二輪子質(zhì)量皆為m1，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J，大輪子半徑為R，小輪子半徑 為 R/2 ，齒輪壓力角為，重物質(zhì)量為m2，彈簧剛度為k，現(xiàn)于彈簧的原長(zhǎng)處釋放重物，求重物下降h 時(shí)的速度、加速度以及齒輪間的切向嚙合力和軸承B處的約束反力。動(dòng)力學(xué) 例7 解:(1)取整體為研究對(duì)象，利用動(dòng)能定理4

13、2動(dòng)力學(xué) 由動(dòng)能定理：（1）43動(dòng)力學(xué) 解得速度：將（1）式兩端對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)：解得加速度：44動(dòng)力學(xué)（2）取B 輪和重物為研究對(duì)象：由動(dòng)量矩定理：解得切向嚙合力：徑向嚙合力：對(duì)B軸的動(dòng)量矩為：對(duì)B軸的外力矩為：45由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：xy46 均質(zhì)圓盤(pán)A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤(pán)作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。動(dòng)力學(xué)解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象，由動(dòng)能定理求解。例847運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：由動(dòng)能定理：等式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得注：B處摩擦力作功，A處摩擦力不作功。作功為：48 解：（1）取圓盤(pán)為研究對(duì)象圓盤(pán)平動(dòng)。動(dòng)力學(xué)例9m1g質(zhì)量為m1=15kg的均質(zhì)圓

14、盤(pán)與質(zhì)量為m2=6kg、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置B點(diǎn)時(shí)，圓盤(pán)質(zhì)心的速度、加速度及其角速度、角加速度； 桿的角速度、角加速度； 支座A的約束反力。49（2）用動(dòng)能定理求速度。動(dòng)力學(xué) 取系統(tǒng)研究。初始時(shí)T1=0 ， 最低位置時(shí)：vBm1gm2g50代入數(shù)據(jù)，得：桿的角速度：51（3）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度 。動(dòng)力學(xué)桿質(zhì)心 C的加速度：m1gm2g盤(pán)質(zhì)心加速度：桿的角速度：52動(dòng)力學(xué)（4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。 研究整個(gè)系統(tǒng)。代入數(shù)據(jù)，得:m1gm2g桿質(zhì)心 C的加速度：盤(pán)質(zhì)心加速度：桿的角速度：53例10A勻質(zhì)桿AB和OD，長(zhǎng)

15、都為l，質(zhì)量均為m，D為AB的中點(diǎn)，置于鉛垂面內(nèi)，開(kāi)始時(shí)靜止，OD桿鉛垂，在一常力偶 的作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，求OD桿轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，支座O處的反力。MOBDFoxFoya1ya2ya1xa2x解題思路1、應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求反力2、應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求角加速度3、應(yīng)用動(dòng)能定理求角速度54AMOBD解：FoxFoya1ya2ya1xa2x1、應(yīng)用動(dòng)能定理求角速度mgmgmgmg552、應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求角加速度AmgMOBDFoxFoya1ya2ya1xa2xmgmgmg563、應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求反力AmgMOBDFoxFoya1ya2ya1xa2xmgmg解得：57 相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守恒定理+動(dòng)能定理+動(dòng)量