理論力學基礎-動能定理和綜合應用

1、1理論力學基礎動能定理和綜合應用2 131 力的功 132 質點和質點系的動能 133 動能定理 134 功率 功率方程 135 勢力場 勢能 機械能守恒定理 136 動力學普遍定理及綜合應用第十四章 動能定理3動力學一常力的功 13-1力的功二變力的功 三常見力的功 1重力的功2彈性力的功3定軸轉動剛體上作用力的功，力偶的功4動力學力的功是代數(shù)量: 時,正功； 時,功為零； 時,負功。質點作直線運動，路程為S, (M1M2)，力在位移方向上的投影為Fcos，力F在路程S中所作的功為：一常力的功5動力學元功：設質點M在變力F的作用下作曲線運動。將曲線分成無限多個微小段ds，力F在微段上可視為常

2、力，所作的微小的功稱為元功：二變力的功（ds的方向在曲線的切線方向，與dr同向，）6動力學力在全路程中作功為7三常見力的功質點系： 質點系重力的功，等于質點系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質點的路徑無關。動力學質點：重力在三軸上的投影：與運動軌跡無關式中：zc1、zc2為質點系的質心坐標1重力的功8F的方向指向彈簧自然位置。當彈簧長度增加d時，彈性力的元功：動力學k彈簧的剛度系數(shù)，2彈性力的功質點M與彈簧聯(lián)接，彈簧自然長l0，現(xiàn)伸長，彈簧作用于質點的彈性力 的大小與彈簧的變形量 成正比，即 ：l0FdM21M1M29 彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關，而與質點運動的路

3、徑無關。動力學當質點的運動軌跡為曲線時也成立：10動力學 3定軸轉動剛體上作用力的功 力偶的功設剛體繞 z 軸轉動，在M點作用有力，計算剛體轉過一角度 時力所作的功。元功：當F 是常力時，得 定軸轉動剛體上作用力的功等于：力對轉軸的矩乘以轉過的角度 。質點的軌跡為圓，圓的切線方向為 。 11動力學若m = 常量, 則如果作用力偶m , 且力偶的作用面垂直轉軸注意：功的符號的確定。12二質點系的動能動力學動能是瞬時量,是與速度方向無關的正標量,具有與功相同的量綱,單位也是J。13-2質點和質點系的動能 物體的動能是由于物體運動而具有的能量，是機械運動強弱的又一種度量。一質點的動能132定軸轉動剛

4、體動力學三剛體的動能rivimiz（vi=ri）1平動剛體（vi=vC）14（P為速度瞬心 ）3平面運動剛體動力學CvCPd15動力學例1圖示系統(tǒng)中,均質圓盤A、B質量均為m，半徑均為R, 重物D質量為m1，下降速度為v。求重物D、圓盤A、B的動能。解：重物D：圓盤A：m1gmgmgvC16動力學圓盤B：m1gmgmgvC171質點的動能定理：動能定理的微分形式將上式沿路徑積分，動能定理的積分形式動力學兩邊點乘以，13-3動能定理18對質點系中的一質點 ：將上式沿路徑 積分，可得質點系動能定理的積分形式動力學對整個質點系，有：2質點系的動能定理 質點系動能定理的微分形式193.理想約束約束反力

5、元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。2)活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承3)剛體沿固定面作純滾動5)柔索約束（不可伸長的繩索）和二力桿動力學拉緊時，內部拉力的元功之和恒等于零。1)光滑固定面約束4)聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）20 卷揚機,鼓輪上作用常力偶M，鼓輪半徑為R1,質量為m1，質量分布在輪緣上；圓柱半徑為R2，質量為m2 ，質量均勻分布。求圓柱中心C經(jīng)過路程s 時的速度與加速度。(盤C作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)動力學例13-2 P295解：取系統(tǒng)為研究對象MCm2gOm1g2122將式（a)兩端對時間 求一階導數(shù)，有求得圓柱中心C 的加速度為：23 圖示系統(tǒng)中,均質圓盤A、B質

6、量均為m，半徑均為R, 兩盤中心線為水平線, 盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D質量為m1。求下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)動力學例2解：取系統(tǒng)為研究對象m1gmgmgvCa24m1gmgmgvCa25將（1）式兩邊對 t 求導得：(1)m1gmgmgvCa26 圖示的均質桿OA的質量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設彈簧常數(shù)k =3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉到水平位置OA，在鉛直位置時的角速度至少應為多大？解：研究OA桿由動力學例3 動能定理的應用練習題27 行星齒輪傳動機構, 放在水平面內。 動齒輪半徑r ,

7、質量為m1, 視為均質圓盤；曲柄質量為m2, 長l ，視為均質桿, 作用一力偶矩為M(常量)的力偶。 曲柄由靜止開始轉動； 求曲柄的角速度 (以轉角 的函數(shù)表示) 和角加速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象根據(jù)動能定理，得習題13-13（P317）28將(1)式兩邊對t 求導數(shù)，則得29 兩根均質直桿組成的機構及尺寸如圖示；OA桿質量是AB桿質量的兩倍，各處摩擦不計，如機構在圖示位置從靜止釋放，求當OA桿轉到鉛垂位置時，AB桿B 端的速度。動力學解：取整個系統(tǒng)為研究對象， AB桿質量為m。例4vBvA30一功率：力在單位時間內所作的功（它是衡量機器工作能力的一個重要指標）。功率是代數(shù)量，并有瞬時性。

8、作用力的功率：力矩的功率：功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。動力學13-4功率 功率方程31二功率方程：由 的兩邊同除以dt 得動力學分析：起動階段（加速）：即制動階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即機器穩(wěn)定運行時，機械效率是評定機器質量優(yōu)劣的重要指標之一。一般情況下 。32一勢力場1力場：若質點在某空間內的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。動力學 重力場、萬有引力場、彈性力場都是勢力場。質點在勢力場中受到的場力稱為有勢力(保守力),如重力、彈力等。2勢力場： 在力場中, 如果作用于質點的場力作功只決定于質點的始末位置，與運動路徑無關

9、，這種力場稱為勢力場。13-5勢力場、勢能、機械能守恒定律33二勢能在勢力場中, 質點從位置M 運動到任選位置M0, 有勢力所作的功稱為質點在位置M 相對于位置M0的勢能，用V 表示。M0作為基準位置，勢能為零，稱為零勢能點。勢能具有相對性。是坐標的單值連續(xù)函數(shù)。等勢面：質點位于該面上任何地方，勢能都相等。質點系的勢能：動力學341.重力場 質點： 質點系：2. 彈性力場：取彈簧的自然位置為零勢能點3. 萬有引力場：取與引力中心相距無窮遠處為零勢能位置有勢力的功等于質點系在運動的始末位置的勢能之差。動力學三有勢力的功在M1位置：M2位置：M1M2：35設質點系只受到有勢力(或同時受到不作功的非

10、有勢力) 作用，則機械能守恒定律對非保守系統(tǒng)，設非保守力的功為W12 , 則有動力學四機械能守恒定律機械能：系統(tǒng)的動能與勢能的代數(shù)和。這樣的系統(tǒng)成為保守系統(tǒng)。36 長為l，質量為m的均質直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當桿無初速度地傾倒后，求質心的速度（用桿的傾角和質心的位置表達）。例537解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質心C鉛垂下降。由于約束反力不作功, 主動力為有勢力，因此可用機械能守恒定律求解。由機械能守恒定律：將代入上式，化簡后得動力學初瞬時：任一瞬時：38 動力學普遍定理包括質點和質點系的動量定理、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標量形式，他

11、們都可應用研究機械運動，而動能定理還可以研究其它形式的運動能量轉化問題。 動力學普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法。動力學普遍定理的綜合應用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當?shù)亩ɡ砬蠼猓ǜ鞣N守恒情況的判斷，相應守恒定理的應用。避開那些無關的未知量，直接求得需求的結果。二是對比較復雜的問題，能根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián)合求解。 求解過程中,要正確進行運動分析, 提供正確的運動學補充方程。 動力學13-6動力學普遍定理及綜合應用39舉例說明動力學普遍定理的綜合應用： 兩根均質桿AC和BC質量均為m，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設兩桿軸線始終在

12、鉛垂面內，初始靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的速度。動力學 例6 vAmgmg40討論 （1）用 動量守恒定理動能定理求解。 （2）計算動能時，利用平面運動的運動學關系。動力學解：由于不求系統(tǒng)的內力，可以不拆開。研究對象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質心位置守恒。代入動能定理：vAmgmgmg41A、B二輪子質量皆為m1，轉動慣量皆為J，大輪子半徑為R，小輪子半徑 為 R/2 ，齒輪壓力角為，重物質量為m2，彈簧剛度為k，現(xiàn)于彈簧的原長處釋放重物，求重物下降h 時的速度、加速度以及齒輪間的切向嚙合力和軸承B處的約束反力。動力學 例7 解:(1)取整體為研究對象，利用動能定理4

13、2動力學 由動能定理：（1）43動力學 解得速度：將（1）式兩端對時間求一次導數(shù)：解得加速度：44動力學（2）取B 輪和重物為研究對象：由動量矩定理：解得切向嚙合力：徑向嚙合力：對B軸的動量矩為：對B軸的外力矩為：45由質心運動定理：xy46 均質圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。動力學解：選系統(tǒng)為研究對象，由動能定理求解。例847運動學關系：由動能定理：等式兩邊對求導，得注：B處摩擦力作功，A處摩擦力不作功。作功為：48 解：（1）取圓盤為研究對象圓盤平動。動力學例9m1g質量為m1=15kg的均質圓

14、盤與質量為m2=6kg、長24cm的均質桿AB在B處用鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置B點時，圓盤質心的速度、加速度及其角速度、角加速度； 桿的角速度、角加速度； 支座A的約束反力。49（2）用動能定理求速度。動力學 取系統(tǒng)研究。初始時T1=0 ， 最低位置時：vBm1gm2g50代入數(shù)據(jù)，得：桿的角速度：51（3）用動量矩定理求桿的角加速度 。動力學桿質心 C的加速度：m1gm2g盤質心加速度：桿的角速度：52動力學（4）由質心運動定理求支座反力。 研究整個系統(tǒng)。代入數(shù)據(jù)，得:m1gm2g桿質心 C的加速度：盤質心加速度：桿的角速度：53例10A勻質桿AB和OD，長

15、都為l，質量均為m，D為AB的中點，置于鉛垂面內，開始時靜止，OD桿鉛垂，在一常力偶 的作用下轉動，求OD桿轉至水平位置時，支座O處的反力。MOBDFoxFoya1ya2ya1xa2x解題思路1、應用質心運動定理可求反力2、應用定軸轉動微分方程求角加速度3、應用動能定理求角速度54AMOBD解：FoxFoya1ya2ya1xa2x1、應用動能定理求角速度mgmgmgmg552、應用定軸轉動微分方程求角加速度AmgMOBDFoxFoya1ya2ya1xa2xmgmgmg563、應用質心運動定理求反力AmgMOBDFoxFoya1ya2ya1xa2xmgmg解得：57 相對質心動量矩守恒定理+動能定理+動量