模糊控制理論

1、引言一、模糊控制的發(fā)展二、模糊控制的特點1、無需知道被控對象的數(shù)學模型2、是一種反映人類智慧思維的智能控制。3、易于被人們所接受（核心：控制規(guī)則）4、構(gòu)造容易5、魯棒性好。 模糊控制采用人類思維中的模糊量，如“高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊推理導(dǎo)出。1模糊控制器構(gòu)造技術(shù)1、硬件：采用傳統(tǒng)的單片機 軟件：實現(xiàn)模糊推理和控制2、模糊單片機或集成電路芯片3、可編程門陣列2模糊集合論基礎(chǔ)一、模糊集的概念二、模糊集合的運算三、隸屬函數(shù)的建立四、模糊關(guān)系3 經(jīng)典集合論中任意一個元素與任意一個集合之間的關(guān)系，只是“屬于”或“不屬于”兩種，兩者必居其一而且只居其一。它描述的是有明確分界線的元素的組合。

2、 用經(jīng)典集合來處理模糊性概念時，就不行。 對于諸如“速度的快慢”、“年齡的大小”、“溫度的高低”等模糊概念沒有明確的界限。經(jīng)典集合對事物只用1、0簡單地表示“屬于”或“不屬于”的分類；而模糊集合則用“隸屬度(Degree of membership)”來描述元素的隸屬程度，隸屬度是0到1之間連續(xù)變化的值。模糊集合特征函數(shù)隸屬度函數(shù)（01連續(xù)變化值）一、模糊集的概念4例：人對溫度的感覺(0C 40C的感覺)：“舒適”的溫度：15C 25C“熱”：25C以上“冷”：15C 以下經(jīng)典集合對溫度的定義0 15 25 40冷熱(T)1.0舒適溫度C0 15 25 40(T)1.0冷熱舒適溫度C模糊集合對

3、溫度的定義經(jīng)典集合：14.99C屬于“冷”；15.01 C屬于舒適。與人的感覺一致嗎？5設(shè)U為一可能是離散或連續(xù)的集合，用u表示，論域（Universe of Discourse）： U 所有元素組成的全集元素：u 定義1 模糊集合：論域U中的模糊集合F用一個在區(qū)間0,1上的取值的隸屬函數(shù)F來表示，即： F ：U 0,1F (u)=1：u完全屬于U；F (u)= 0：u完全不屬于U；0 F (u)07 1、論域U為離散域（即論域U是有限集合）(1)查德表示法(2)序偶表示法F =(u1,(u1),(u2 , (u2),(un , (un)(3)向量表示法F =(u1),(u2),(un) （元

4、素u按次序排列）F =例：F =(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4 ,0.2), (5 ,0.1) 例：F =1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 模糊集合的表示方法：例：集合F表示接近于0的整數(shù)（已知論域U=0,1,2,3,4,5）82、論域為連續(xù)域例 以年齡為論域，取 。Zadeh給出了“年輕”的模糊集F，其隸屬函數(shù)為 “年輕”的隸屬函數(shù)曲線模糊集合表示為：模糊集合的表示方法：9二、模糊集合的運算（1）空集 模糊集合的空集的隸屬度為0，即（2）全集 模糊集合的全集的隸屬度為1，即（4）等集 兩個模糊集A和B，若對所有元素u，它

5、們的隸屬函數(shù)相等，則A和B也相等。即（3）子集（包含于） 若B為A的子集，則定義：10設(shè)A、B為U中的兩個模糊子集，隸屬函數(shù)分別為A 和B，則模糊集合中的并、交、補等運算按如下定義：AB= A(u)B(u) 式中，符號“”為取大值運算。AB= A(u)B(u) 式中，符號“”為取小值運算。 定義6 補：模糊集合A的補隸屬函數(shù) 對所有的u U 被逐點定義為： 定義4 并：并(AB)的隸屬函數(shù)AB對所有的u U 被逐點定義為取大運算，即： 定義5 交：交(AB)的隸屬函數(shù)AB對所有的u U 被逐點定義為取小運算，即： =1- A(u)11則A、B的并運算：則A、B的交運算：例設(shè)論域U=u1, u2

6、, u3, u4, u5中的兩個模糊子集為：A的補運算：12定理1 模糊集運算的基本定律：設(shè)U為論域，A，B，C為U中的任意模糊子集,則下列等式成立：（2）分配律（1）結(jié)合律（3）同一律（4）零一律上面定義的模糊集合運算是采用Zadeh算子來進行的。13引入概率算子和有界算子：定義7 稱 、+ 為概率算子，對a,b0,1,有：a b=aba+b=a+b-ab由定義可知，如a,b0,1,則a b 0,1, a+b 0,1。定義8 設(shè)A,B F(U),則定義代數(shù)運算：(1)A與B的代數(shù)積記作A B，運算規(guī)則由下式確定：A B(u)= A(u)B(u) u UA + B(u)= A(u)+B(u)-

7、 A(u)B(u) u U(2)A與B的代數(shù)和記作A + B，運算規(guī)則由下式確定：14定義9 稱 、為有界算子，對a,b0,1,有：a b= max(0,a+b-1)a b= min(1,a+b)可以證明： a,b0,1, 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1定義10 設(shè)A,B F(U),則定義有界運算：(1)A與B的有界積記作A B，運算規(guī)則由下式確定：A B(u)=max (0, A(u)+B(u) -1) u U(2)A與B的有界和記作A B，運算規(guī)則由下式確定：A B(u)= min(1, A(u)+B(u) ) u U15模糊集合是用隸屬函數(shù)描述的。三、隸屬度

8、函數(shù)的建立隸屬度函數(shù)：模糊集合的特征函數(shù)（取值范圍在0,1區(qū)間） 確定隸屬度函數(shù)的方法具有主觀性，但主觀的反映和客觀的存在有一定的聯(lián)系，是受客觀制約的。 由于模糊集理論的研究對象具有”模糊性”和經(jīng)驗性,因此找到一種統(tǒng)一的隸屬度計算方法是不現(xiàn)實的。確定隸屬函數(shù)應(yīng)遵守的一些基本原則：1、表示隸屬度函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合例:適中速度的集合是模糊集合。可表示為:“適中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 從最大隸屬度函數(shù)點向兩邊延伸時,其隸屬函數(shù)的值是必須是單調(diào)遞減的,而不允許有波浪形。凸模糊集合：隸屬函數(shù)呈單峰饅頭形。16203050709500.20.40.6

9、0.81速度（語言變量）Degree of membership適中低高51002、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對稱和平衡的。很低很高標稱名：語言值(個數(shù)適中：39個（奇數(shù)）)語言值的個數(shù)和規(guī)則數(shù)成正比。173、隸屬度函數(shù)要符合人們的語言順序，避免不恰當?shù)闹丿B注意：間隔的兩個模糊集合隸屬度函數(shù)盡量不相交。18重疊指數(shù)：衡量隸屬度函數(shù)與模糊控制器性能關(guān)系的一個重要指標。重疊指數(shù)：重疊率、重疊魯棒性重疊指數(shù)的定義附近隸屬函數(shù)的范圍LUA1A2x00.51.0重疊范圍LU例：(0.20.6為宜)(0.30.7為宜) 重疊率和重疊魯棒性越大，模糊控制模塊模糊性越強，規(guī)則越多，越復(fù)雜，精度越高。解：求重疊率

10、和重疊魯棒性191、模糊統(tǒng)計法 通常的方法是，初步確立粗略的隸屬函數(shù)，然后在通過“學習”和不斷的實踐來修整、完善。隸屬度函數(shù)確立的方法：四種方法： 基本思想：論域U上的一個確定的元素v0是否屬于一個可變動的清晰集合A*作出清晰的判斷。 對于不同的實驗者，清晰集合A*可以有不同的邊界。但它們都對應(yīng)于同一個模糊集A。年輕人17-30歲20-35歲模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人論域Uv020隸屬度函數(shù)確立的方法：計算步驟：在每次統(tǒng)計中，v0是固定的（如某一年齡），A*的值是可變的，作n次試驗,則模糊統(tǒng)計公式：例：求中等身材的集合A及 A (1.64)選10人，每人確定A*的元素，假設(shè)10個人

11、所確定的A*分別是：1.601.69 1.631.70 1.651.75 1.561.70 1.621.731.651.72 1.641.73 1.601.69 1.691.75 1.691.7721隨著n的增大，隸屬頻率會趨向穩(wěn)定，這個穩(wěn)定值就是v0對A的隸屬度。計算量大。模糊統(tǒng)計法的特點：2、例證法 ：從有限個隸屬度值，來估計U上的模糊集A 的隸屬度函數(shù)。3、專家經(jīng)驗法：根據(jù)專家的經(jīng)驗對每一現(xiàn)象產(chǎn)生的各種結(jié)果的可能性程度，來決定其隸屬度函數(shù)。22模糊控制中，隸屬度函數(shù)基本圖形分為三大類：1.左大右小的偏小型下降函數(shù)（Z函數(shù)）：適用于輸入值比較小時的隸屬度函數(shù)確定。2.左小右大的偏大型上升函

12、數(shù)（S函數(shù)）：適用于輸入值比較大時的隸屬度函數(shù)確定。0 x1.0(x)矩形分布0 x1.0(x)梯形分布0 x1.0(x)曲線分布01.0(x)x矩形分布0 x1.0(x)梯形分布0 x1.0曲線分布3.對稱型凸函數(shù)（函數(shù)）：適用于輸入值位于中間時隸屬度函數(shù)確定。01.0(x)x矩形分布(x)0 x1.0三角形分布01.0(x)梯形分布x01.0(x)曲線分布x23四、模糊關(guān)系（用于模糊推理決策）1.模糊關(guān)系的定義關(guān)系：客觀事物間的相互聯(lián)系。普通關(guān)系：二元關(guān)系（是、否）例：父子、師生、同事模糊關(guān)系：多元關(guān)系，像父子。 A、B兩集合的直積：例：設(shè)A=0,1，B=a,b,c則AB=(0,a)，(1

13、,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c)BA=(a, 0)，(a, 1)，(b, 0)，(b, 1)，(c, 0)，(c, 1)注意： AB BA序偶：24關(guān)系R：AB的子集，記為例：甲、乙、丙3人參加考試，考試的成績?yōu)閮?yōu)、良、中、差，則A=甲,乙,丙，B=優(yōu),良,中,差A(yù)B：12種序偶的集合。一次考試：R=(甲,優(yōu))，(乙,中)，(丙,差)A、B間的關(guān)系可通過矩陣形式直觀地表示出來，關(guān)系之間地運算可轉(zhuǎn)換為矩陣間運算。矩陣：A甲 乙 丙B優(yōu) 良 中 差關(guān)系對應(yīng)25模糊關(guān)系R：以AB為論域的一個模糊子集且有：且定義：模糊矩陣：有限集A，B，有即序偶模糊矩陣中的元素記為模糊矩陣R記為

14、: 一致(一一對應(yīng))其中26例設(shè)求模糊關(guān)系RAB，模糊矩陣解：求方法1：方法2：對應(yīng)元素取小27例已知兩個模糊集合A、B的隸屬度函數(shù)分別為求它們的模糊關(guān)系CA其中，C，A分別屬于兩個不同的論域 U，V 解：模糊關(guān)系作用：模糊推理ABR=ABA/B/ =?B/=A / R模糊關(guān)系實際上反映的是模糊系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。28定義 笛卡爾積 若A1 、A2分別是論域U1、U2 中的模糊集，則A1 、A2的笛卡兒積是在積空間U1U2中的一個模糊子集，其隸屬度函數(shù)為 A1, A2 直積（極小算子）： A1 A2 (u1, u2 )=min A1 (u1), A2 (u2) 或代數(shù)積 ： A1 A2 (u1

15、, u2 ) = A1 (u1) A2 (u2)對于連續(xù)情況，關(guān)系矩陣可定義為：R=A B =為了區(qū)分直積、代數(shù)積 ，用 min表示直積；用AP表示代數(shù)積。記號t算子：表示笛卡兒積29定義14 模糊關(guān)系的合成：如果R和S分別為笛卡兒空間UV和VW上的模糊關(guān)系，則R和S的合成是定義在空間U W上的模糊關(guān)系，并記為RS。其隸屬度函數(shù)的計算方法：模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的合成來表示2、模糊關(guān)系的合成上確界（Sup)算子30S祖父祖母父0.50.7母0.10用模糊矩陣S可表示為R父母子0.20.8女0.60.1例某家中子女與父母的長像相似關(guān)系R為模糊關(guān)系，可表示為也可以用模糊矩陣R來表示該家中父母與

16、祖父母的相似關(guān)系也是模糊關(guān)系，可表示為求孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度？（即求 ）解： 此模糊關(guān)系表明：孫子與祖父、祖母的相似程度為0.2、0.2;孫女與祖父、祖母的相似程度為0.5、0.6。31模糊關(guān)系運算：例：求：解：32結(jié)合律：分配律：模糊關(guān)系合成算子sup-min的性質(zhì)：33模糊化算子作用：清晰概念的單詞如“大概”、“近似于”、“大約”等精確數(shù)：5例設(shè)論域X上的清晰集A(x)的特征函數(shù)為“大約是5”（模糊數(shù)）x圖214模糊數(shù)5參數(shù)的取值大小決定于模糊化算子的強弱程度越大，模糊化程度越？答：越強模糊詞34在模糊控制中，實際系統(tǒng)的輸入采樣值一般總是精確量，要利用模糊邏輯推理方法，就必須首

17、先把精確量進行模糊化，而模糊化過程實質(zhì)上是使用模糊化算子來實現(xiàn)的。35判定化算子（清晰化算子）作用：模糊詞清晰概念的詞例如：“傾向于”、“大半是”、 “偏向”等判定化算子與模糊化算子的作用相反表示： ，一般取 ，即 ，表示“傾向于”50例：求傾向于老：36模糊推理一、模糊語句將含有模糊概念的語法規(guī)則所構(gòu)成的語句稱為模糊語句。根據(jù)其語義和構(gòu)成的語法規(guī)則不同，可分為以下幾種類型：（1）模糊陳述句：語句本身具有模糊性，又稱為模糊命題。如：“今天天氣很熱”。（2）模糊判斷句：是模糊邏輯中最基本的語句。語句形式：“是a”，記作（a），且a所表示的概念是模糊的。如“張三是好學生”。37（3）模糊推理句：語句形式：若是，則是。則為模糊推理語句。如“今天是晴天，則今天暖和”。二、模糊推理 常用的有兩種模糊條件推理語句：If A then B else C；If A AND B then C下面以第二種推理語句為例進行探討，該語句可構(gòu)成一個簡單的模糊控制器，如圖所示。38圖 二輸入單輸出模糊控制器其中A，B，C分別為論域x，y，z上的模糊集合，A為誤差信號上的模糊子集，B為誤差變化率上的模糊子集，C為控制器輸出上的模糊子集。39 模糊推理語句“If A AND B then C”確定了三元模糊關(guān)系R，即：R=(AB)T1C其中(AB)T